donde es el radio adimensional y está relacionado con la densidad de la esfera de gas como , donde es la densidad del gas en el centro. La ecuación no tiene una solución explícita conocida. Si se utiliza un fluido politrópico en lugar de un fluido isotérmico, se obtiene la ecuación de Lane-Emden . La suposición isotérmica generalmente se modela para describir el núcleo de una estrella. La ecuación se resuelve con las condiciones iniciales,
La ecuación también aparece en otras ramas de la física, por ejemplo, la misma ecuación aparece en la teoría de la explosión de Frank-Kamenetskii para una vasija esférica. La versión relativista de este modelo isotérmico de simetría esférica fue estudiada por Subrahmanyan Chandrasekhar en 1972.
La ecuación para el equilibrio de la estrella requiere un equilibrio entre la fuerza de presión y la fuerza gravitacional.
donde es el radio medido desde el centro y es la constante gravitacional . La ecuación se reescribe como
Solución real y solución asintótica
Introduciendo la transformación
donde está la densidad central de la estrella, conduce a
Las condiciones de contorno son
Porque , la solución es como
Limitaciones del modelo
Asumir que la esfera isotérmica tiene algunas desventajas. Aunque la densidad obtenida como solución de esta esfera de gas isotérmica disminuye desde el centro, disminuye demasiado lentamente para dar una superficie bien definida y una masa finita para la esfera. Se puede demostrar que, como ,
donde y son constantes que se obtendrán con solución numérica. Este comportamiento de la densidad da lugar a un aumento de masa con un aumento de radio. Así, el modelo suele ser válido para describir el núcleo de la estrella, donde la temperatura es aproximadamente constante.
Solución singular
La introducción de la transformación transforma la ecuación a