Serie discreta de Fourier - Discrete Fourier series

En el procesamiento de señales digitales , el término serie discreta de Fourier (DFS) es cualquier señal periódica de tiempo discreto que comprende sinusoides reales discretas armónicamente relacionadas (es decir, Fourier ) o exponenciales complejas discretas, combinadas por una suma ponderada. Un ejemplo específico es la transformada de Fourier discreta inversa (DFT inversa).

Definición

La forma general de un DFS es :

Serie discreta de Fourier

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x [n] = \ sum _ {k} X [k] \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n}, \ quad n \ in \ mathbb {Z}, \ end {alineado}}}$

( Ecuación 1 )

que son armónicos de una frecuencia fundamental para algún entero positivo. El rango práctico de es porque la periodicidad hace que los valores mayores sean redundantes. Cuando los coeficientes se derivan de una DFT de longitud y se inserta un factor de , esto se convierte en una DFT inversa.  ${\ Displaystyle 1 / N,}$${\ Displaystyle N.}$${\ Displaystyle k,}$${\ Displaystyle [0, \ N-1],}$${\ Displaystyle X [k]}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle 1 / N}$

Una práctica común es crear una secuencia de longitud a partir de una secuencia más larga dividiéndola en segmentos de longitud y sumándolos juntos, puntualmente (ver DTFT § L = N × I ) Eso produce un ciclo de la suma periódica :${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle x [n]}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle x _ {_ {N}} [n] \ \ triangleq \ \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x [n-mN], \ quad n \ in \ mathbb {Z}. }$

Debido a la periodicidad, se puede representar como una DFS con coeficientes únicos que se pueden extraer mediante una DFT de longitud.    ${\ Displaystyle x _ {_ {N}}}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$

Los coeficientes son útiles porque son muestras de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de la secuencia :${\ Displaystyle x [n]}$

${\ Displaystyle X_ {1 / T} (f) \ triangleq \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi fnT} \ T \ x (nT) = \ sum _ { m = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left (f - {\ tfrac {m} {T}} \ right), \ quad f \ in \ mathbb {R}}$

Aquí, representa una muestra de una función continua con un intervalo de muestreo de y es la transformada de Fourier de La igualdad es el resultado de la fórmula de suma de Poisson . Con definiciones y :${\ Displaystyle x (nT)}$${\ Displaystyle x (t),}$${\ Displaystyle T,}$${\ Displaystyle X (f)}$${\ Displaystyle x (t).}$${\ Displaystyle x [n] \ triangleq T \ x (nT)}$${\ Displaystyle X_ {N} [k] \ triangleq X_ {1 / T} \ left ({\ tfrac {k} {NT}} \ right)}$

${\ Displaystyle X_ {N} [k] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi {\ tfrac {k} {N}} n} \ x [n] , \ quad k = 0, ..., N-1}$

Debido a la periodicidad N del kernel, la suma se puede "plegar" de la siguiente manera :${\ Displaystyle e ^ {- i2 \ pi {\ tfrac {k} {N}} n}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} X_ {N} [k] & = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {N-1} e ^ {- i2 \ pi {\ tfrac {k} {N}} n} \ x [n-mN] \ right) \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} e ^ { -i2 \ pi {\ tfrac {k} {N}} n} \ underbrace {\ left (\ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x [n-mN] \ right)} _ {x_ {_ {N}} [n]} \\ & = \ operatorname {DFT} \ {x _ {_ {N}} \}. \ End {alineado}}}$

Referencias