Dimensión (espacio vectorial) - Dimension (vector space)

En matemáticas , la dimensión de un espacio vectorial V es la cardinalidad (es decir, el número de vectores) de una base de V sobre su campo base . A veces se le llama dimensión de Hamel (después de Georg Hamel ) o dimensión algebraica para distinguirla de otros tipos de dimensión .

Para cada espacio vectorial existe una base, y todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad; como resultado, la dimensión de un espacio vectorial se define de forma única. Decimos que V es de dimensión finita si la dimensión de V es finita , y de dimensión infinita si su dimensión es infinita .

La dimensión del espacio vectorial V sobre el campo F se puede escribir como dim _F ( V ) o como [V: F], leer "dimensión de V sobre F ". Cuando F se puede inferir del contexto, normalmente se escribe dim ( V ).

Ejemplos de

El espacio vectorial R ³ tiene

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}} \ right \}}

como una base estándar , y por lo tanto tenemos dim _R ( R ³ ) = 3. Más generalmente, dim _R ( R ⁿ ) = n , e incluso más en general, dim _F ( F ⁿ ) = n para cualquier campo F .

Los números complejos C son tanto un espacio vectorial real como complejo; tenemos dim _R ( C ) = 2 y dim _C ( C ) = 1. Entonces, la dimensión depende del campo base.

El único espacio vectorial con dimensión 0 es {0}, el espacio vectorial que consta únicamente de su elemento cero.

Hechos

Si W es un subespacio lineal de V , entonces dim ( W ) ≤ dim ( V ).

Para mostrar que dos espacios vectoriales de dimensión finita son iguales, a menudo se usa el siguiente criterio: si V es un espacio vectorial de dimensión finita y W es un subespacio lineal de V con dim ( W ) = dim ( V ), entonces W = V .

R ⁿ tiene la base estándar { e ₁ , ..., e _n }, donde e _i es la i -ésima columna de la matriz de identidad correspondiente . Por tanto, R ⁿ tiene dimensión n .

Cualesquiera dos espacios vectoriales sobre F que tengan la misma dimensión son isomorfos . Cualquier mapa biyectivo entre sus bases se puede extender de forma única a un mapa lineal biyectivo entre los espacios vectoriales. Si B es un conjunto, un espacio vectorial con dimensión | B | sobre F puede ser construido como sigue: tomar el conjunto F ^{( B )} de todas las funciones f : B → F tal que f ( b ) = 0 para todos, pero un número finito b en B . Estas funciones se pueden sumar y multiplicar con elementos de F , y obtenemos el espacio del vector F deseado .

Un resultado importante sobre las dimensiones viene dado por el teorema de rango-nulidad para mapas lineales .

Si F / K es una extensión de campo , entonces F es, en particular, el espacio de un vector sobre K . Además, cada espacio de vector F V es también un espacio de vector K. Las dimensiones están relacionadas por la fórmula

dim _K ( V ) = dim _K ( F ) dim _F ( V ).

En particular, todo espacio vectorial complejo de dimensión n es un espacio vectorial real de dimensión 2 n .

Algunas fórmulas sencillas relacionan la dimensión de un espacio vectorial con la cardinalidad del campo base y la cardinalidad del propio espacio. Si V es un espacio vectorial sobre un campo F , entonces, denotando la dimensión de V por dim V , tenemos:

Si dim V es finito, entonces | V | = | F | ^{dim V} .

Si dim V es infinito, entonces | V | = max (| F |, dim V ).

Generalizaciones

Se puede ver un espacio vectorial como un caso particular de matroide , y en este último hay una noción de dimensión bien definida. La longitud de un módulo y el rango de un grupo abeliano tienen varias propiedades similares a la dimensión de los espacios vectoriales.

La dimensión de Krull de un anillo conmutativo , que lleva el nombre de Wolfgang Krull (1899-1971), se define como el número máximo de inclusiones estrictas en una cadena creciente de ideales primos en el anillo.

Rastro

La dimensión de un espacio vectorial se puede caracterizar alternativamente como el rastro del operador de identidad . Por ejemplo, esta parece ser una definición circular, pero permite generalizaciones útiles. ${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ \ operatorname {id} _ {\ mathbf {R} ^ {2}} = \ operatorname {tr} \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {smallmatrix} } \ right) = 1 + 1 = 2.}$

En primer lugar, permite definir una noción de dimensión cuando se tiene un rastro pero no un sentido natural de base. Por ejemplo, uno puede tener un álgebra A con mapas (la inclusión de escalares, llamada unidad ) y un mapa (correspondiente a la traza, llamado contador ). La composición es un escalar (siendo un operador lineal en un espacio unidimensional) corresponde a "rastro de identidad", y da una noción de dimensión para un álgebra abstracta. En la práctica, en bialgebras se requiere que este mapa sea la identidad, que se puede obtener normalizando el recuento dividiendo por dimensión ( ), por lo que en estos casos la constante normalizadora corresponde a dimensión. ${\ Displaystyle \ eta \ colon K \ to A}$ ${\ Displaystyle \ epsilon \ colon A \ to K}$ ${\ Displaystyle \ epsilon \ circ \ eta \ colon K \ to K}$ ${\ Displaystyle \ epsilon: = \ textstyle {\ frac {1} {n}} \ operatorname {tr}}$

Alternativamente, se puede tomar el rastro de operadores en un espacio de dimensión infinita; en este caso se define una traza (finita), aunque no exista una dimensión (finita), y da una noción de "dimensión del operador". Estos caen bajo la rúbrica de " operadores de clase de rastreo " en un espacio de Hilbert , o más generalmente operadores nucleares en un espacio de Banach .

Una generalización más sutil es considerar el rastro de una familia de operadores como una especie de dimensión "retorcida". Esto ocurre significativamente en la teoría de la representación , donde el carácter de una representación es el rastro de la representación, por lo tanto, una función de valor escalar en un grupo cuyo valor en la identidad es la dimensión de la representación, ya que una representación envía la identidad en el grupo. a la matriz de identidad: uno puede ver los otros valores del personaje como dimensiones "retorcidas" y encontrar análogos o generalizaciones de declaraciones sobre dimensiones a declaraciones sobre personajes o representaciones. Un ejemplo sofisticado de esto ocurre en la teoría de la luz de la luna monstruosa : la j -invariante es la dimensión escalonada de una representación escalonada de dimensión infinita del grupo de monstruos , y al reemplazar la dimensión con el carácter se obtiene la serie de McKay-Thompson para cada elemento de el grupo Monster. ${\ Displaystyle \ chi \ colon G \ to K,}$ ${\ Displaystyle 1 \ in G}$ ${\ Displaystyle \ chi (1_ {G}) = \ operatorname {tr} \ I_ {V} = \ dim V.}$ ${\ Displaystyle \ chi (g)}$