Diagrama conmutativo - Commutative diagram

El diagrama conmutativo utilizado en la demostración de los cinco lemas .

En matemáticas , y especialmente en teoría de categorías , un diagrama conmutativo es un diagrama tal que todos los caminos dirigidos en el diagrama con los mismos puntos de inicio y final conducen al mismo resultado. Se dice que los diagramas conmutativos juegan el papel en la teoría de categorías que las ecuaciones juegan en álgebra (ver Barr y Wells (2002 , Sección 1.7)).

Descripción

Un diagrama conmutativo a menudo consta de tres partes:

• objetos (también conocidos como vértices )
• morfismos (también conocidos como flechas o bordes )
• caminos o compuestos

Símbolos de flecha

En los textos de álgebra, el tipo de morfismo se puede denotar con diferentes usos de flechas:

• Un monomorfismo (homomorfismo inyectivo) puede etiquetarse con a .${\ Displaystyle \ hookrightarrow}$
• Un epimorfismo (homomorfismo sobreyectivo) puede etiquetarse con a .${\ Displaystyle \ twoheadrightarrow}$
• Un isomorfismo (homomorfismo biyectivo) puede etiquetarse con a .${\ Displaystyle {\ overset {\ sim} {\ rightarrow}}}$
• La flecha punteada representa típicamente la afirmación de que existe el morfismo indicado (siempre que se mantenga el resto del diagrama); la flecha se puede etiquetar opcionalmente como . ${\ Displaystyle \ existe}$
  • Si el morfismo es además único, entonces la flecha punteada puede etiquetarse como o .${\ Displaystyle!}$${\ Displaystyle \ existe!}$

Verificando conmutatividad

La conmutatividad tiene sentido para un polígono de cualquier número finito de lados (incluidos solo 1 o 2), y un diagrama es conmutativo si cada subdiagrama poligonal es conmutativo.

Tenga en cuenta que un diagrama puede ser no conmutativo, es decir, la composición de diferentes caminos en el diagrama puede no dar el mismo resultado.

Frases

Se pueden utilizar frases como "este diagrama conmutativo" o "el diagrama conmuta".

Ejemplos de

En el diagrama de la izquierda, que expresa el primer teorema del isomorfismo , la conmutatividad del triángulo significa eso . En el diagrama de la derecha, la conmutatividad del cuadrado significa . ${\ Displaystyle f = {\ tilde {f}} \ circ \ pi}$${\ Displaystyle h \ circ f = k \ circ g}$

Para que el diagrama a continuación se conmute, se deben satisfacer tres igualdad:

1. ${\ Displaystyle r \ circ h \ circ g = H \ circ G \ circ l}$
2. ${\ Displaystyle m \ circ g = G \ circ l}$
3. ${\ Displaystyle r \ circ h = H \ circ m}$

Aquí, dado que la primera igualdad se deriva de las dos últimas, basta con mostrar que (2) y (3) son verdaderas para que el diagrama se conmute. Sin embargo, dado que la igualdad (3) generalmente no se sigue de los otros dos, generalmente no es suficiente tener solo igualdades (1) y (2) si uno mostrara que el diagrama conmuta.

Diagrama persiguiendo

La búsqueda de diagramas (también llamada búsqueda de diagramas ) es un método de demostración matemática que se utiliza especialmente en álgebra homológica , donde se establece una propiedad de algún morfismo al trazar los elementos de un diagrama conmutativo. Una prueba por persecución de diagramas generalmente implica el uso formal de las propiedades del diagrama, como mapas inyectivos o sobreyectivos , o secuencias exactas . Se construye un silogismo , para el cual la representación gráfica del diagrama es solo una ayuda visual. De ello se deduce que uno termina "persiguiendo" elementos alrededor del diagrama, hasta que se construye o verifica el elemento o resultado deseado.

Ejemplos de demostraciones por persecución de diagramas incluyen las que se dan típicamente para el lema de los cinco , el lema de la serpiente , el lema en zig-zag y el lema de los nueve .

En la teoría de categorías superiores

En la teoría de categorías superiores, uno considera no solo los objetos y las flechas, sino también las flechas entre las flechas, las flechas entre las flechas entre las flechas, etc. ad infinitum . Por ejemplo, la categoría de categorías pequeñas Cat es naturalmente una categoría 2, con functors como flechas y transformaciones naturales como flechas entre functors. En esta configuración, los diagramas conmutativos pueden incluir estas flechas superior, así, que a menudo se representan en el estilo siguiente: . Por ejemplo, el siguiente diagrama (algo trivial) muestra dos categorías C y D , junto con dos functores F , G  : C → D y una transformación natural α  : F ⇒ G : ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

Hay dos tipos de composición en una categoría 2 (denominada composición vertical y composición horizontal ), y también se pueden representar mediante diagramas de pegado (consulte la definición de 2 categorías # para ver ejemplos).

Diagramas como functores

Un diagrama conmutativo en una categoría C puede interpretarse como un funtor de una categoría de índice J a C; se llama diagrama al functor .

Más formalmente, un diagrama conmutativo es una visualización de un diagrama indexado por una categoría poset . Un diagrama de este tipo suele incluir:

• un nodo para cada objeto en la categoría de índice,
• una flecha para un conjunto generador de morfismos (omitiendo mapas de identidad y morfismos que pueden expresarse como composiciones),
• la conmutatividad del diagrama (la igualdad de diferentes composiciones de mapas entre dos objetos), correspondiente a la unicidad de un mapa entre dos objetos en una categoría poset.

Por el contrario, dado un diagrama conmutativo, define una categoría poset, donde:

• los objetos son los nodos,
• hay un morfismo entre dos objetos si y solo si hay una ruta (dirigida) entre los nodos,
• con la relación de que este morfismo es único (cualquier composición de mapas se define por su dominio y destino: este es el axioma de conmutatividad).

Sin embargo, no todos los diagramas conmuta (la noción de diagrama generaliza estrictamente el diagrama conmutativo). Como ejemplo simple, el diagrama de un solo objeto con un endomorfismo ( ), o con dos flechas paralelas ( es decir , a veces llamado carcaj libre ), como se usa en la definición de ecualizador, no necesita conmutar. Además, los diagramas pueden ser confusos o imposibles de dibujar cuando el número de objetos o morfismos es grande (o incluso infinito). ${\ Displaystyle f \ colon X \ to X}$${\ Displaystyle \ bullet \ rightrightarrows \ bullet}$${\ Displaystyle f, g \ colon X \ to Y}$

Ver también

• Diagrama matemático

Referencias

Bibliografía

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990), Categorías abstractas y concretas (PDF) , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60922-6 Ahora disponible como edición gratuita en línea (4.2MB PDF).
• Barr, Michael ; Wells, Charles (2002), Toposes, Triples and Theories (PDF) , ISBN 0-387-96115-1Versión en línea gratuita revisada y corregida de Grundlehren der mathischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

enlaces externos

• Persiguiendo diagramas en MathWorld
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, functores , transformaciones naturales .