Corte de Dedekind - Dedekind cut

Dedekind usó su corte para construir números reales e irracionales .

En matemáticas , los cortes de Dedekind , que llevan el nombre del matemático alemán Richard Dedekind pero considerados previamente por Joseph Bertrand , son un método de construcción de números reales a partir de números racionales . Un corte de Dedekind es una partición de los números racionales en dos conjuntos A y B , de modo que todos los elementos de A son menores que todos los elementos de B , y A no contiene ningún elemento mayor . El conjunto B puede tener o no un elemento más pequeño entre los racionales. Si B tiene un elemento más pequeño entre los racionales, el corte corresponde a ese racional. De lo contrario, ese corte define un número irracional único que, hablando en términos generales, se llena la "brecha" entre AB . En otras palabras, A contiene todos los números racionales menores que el corte y B contiene todos los números racionales mayores o iguales que el corte. Un corte irracional se equipara a un número irracional que no está en ninguno de los conjuntos. Cada número real, racional o no, se equipara a un solo corte de racionales.

Los cortes de Dedekind se pueden generalizar desde los números racionales a cualquier conjunto totalmente ordenado definiendo un corte de Dedekind como una partición de un conjunto totalmente ordenado en dos partes A y B no vacías , de modo que A se cierra hacia abajo (lo que significa que para todo a en A , xa implica que x también está en A ) y B está cerrado hacia arriba, y A no contiene ningún elemento mayor. Véase también integridad (teoría del orden) .

Es sencillo demostrar que un corte de Dedekind entre los números reales se define de forma única por el corte correspondiente entre los números racionales. De manera similar, cada corte de reales es idéntico al corte producido por un número real específico (que puede identificarse como el elemento más pequeño del conjunto B ). En otras palabras, la recta numérica donde cada número real se define como un corte de racionales de Dedekind es un continuo completo sin más espacios.

Definición

Un corte de Dedekind es una partición de los racionales en dos subconjuntos y tal que

  1. no está vacío.
  2. .
  3. Si , y , entonces . ( está "cerrado hacia abajo".)
  4. Si , entonces existe tal que . ( no contiene un elemento más grande).

Al relajar los dos primeros requisitos, obtenemos formalmente la recta numérica real extendida .

Representaciones

Es más simétrico usar la notación ( A , B ) para cortes de Dedekind, pero cada uno de A y B determina el otro. Puede ser una simplificación, en términos de notación, si nada más, concentrarse en una "mitad" - digamos, la inferior - y llamar a cualquier conjunto A cerrado hacia abajo sin el elemento mayor un "corte Dedekind".

Si el conjunto ordenado S está completo, entonces, para cada corte de Dedekind ( A , B ) de S , el conjunto B debe tener un elemento mínimo b , por lo tanto, debemos tener que A es el intervalo (−∞, b ) y B el intervalo [ b , + ∞). En este caso, decimos que b está representado por el corte ( A , B ).

El propósito importante del corte Dedekind es trabajar con conjuntos de números que no están completos. El corte en sí mismo puede representar un número que no está en la colección original de números (por lo general, números racionales ). El corte puede representar un número b , aunque los números contenidos en los dos conjuntos A y B en realidad no incluyen el número b que representa su corte.

Por ejemplo, si A y B solo contienen números racionales , aún pueden cortarse en 2 poniendo cada número racional negativo en A , junto con cada número no negativo cuyo cuadrado sea menor que 2; De manera similar, B contendría todos los números racionales positivos cuyo cuadrado sea mayor o igual a 2. Aunque no hay un valor racional para 2 , si los números racionales se dividen en A y B de esta manera, la partición en sí representa un número irracional .

Pedido de cortes

Regard un corte Dedekind ( A , B ) como menos de otro corte Dedekind ( C , D ) (de la misma superconjunto) si A es un subconjunto propio de C . De manera equivalente, si D es un subconjunto propio de B , el corte ( A , B ) es nuevamente menor que ( C , D ). De esta manera, la inclusión de conjuntos se puede usar para representar el orden de los números, y todas las demás relaciones ( mayor que , menor que o igual a , igual a , etc.) se pueden crear de manera similar a partir de relaciones de conjuntos.

El conjunto de todos los cortes de Dedekind es en sí mismo un conjunto (de conjuntos) ordenado linealmente. Además, el conjunto de cortes de Dedekind tiene la propiedad de límite superior mínimo , es decir, cada subconjunto no vacío que tenga un límite superior tiene un límite superior mínimo . Por lo tanto, la construcción del conjunto de cortes de Dedekind tiene el propósito de incrustar el conjunto ordenado original S , que podría no haber tenido la propiedad del límite superior mínimo, dentro de un conjunto ordenado linealmente (generalmente más grande) que sí tiene esta propiedad útil.

Construcción de los números reales

Un corte típico de Dedekind de los números racionales viene dado por la partición con

Este corte representa el número irracional 2 en la construcción de Dedekind. La idea esencial es que usamos un conjunto , que es el conjunto de todos los números racionales cuyos cuadrados son menores que 2, para "representar" el número 2 , y además, definiendo correctamente operadores aritméticos sobre estos conjuntos (suma, resta, multiplicación , y división), estos conjuntos (junto con estas operaciones aritméticas) forman los conocidos números reales.

Para establecer esto, se debe demostrar que realmente es un corte (según la definición) y el cuadrado de , es decir (consulte el enlace anterior para la definición precisa de cómo se define la multiplicación de cortes), es (tenga en cuenta que rigurosamente hablando, esto es un corte ). Para mostrar la primera parte, mostramos que para cualquier racional positivo con , hay un racional con y . La elección funciona, por lo tanto, es de hecho un corte. Ahora armado con la multiplicación entre cortes, es fácil verificar eso (esencialmente, esto se debe a ). Por lo tanto, para mostrar que , mostramos que , y es suficiente para mostrar que para cualquier , existe , . Para esto notamos que si , entonces para lo construido arriba, esto significa que tenemos una secuencia en cuyo cuadrado se puede acercar arbitrariamente , lo que termina la demostración.

Tenga en cuenta que la igualdad b 2  = 2 no se puede mantener ya que 2 no es racional .

Generalizaciones

Conjuntos arbitrarios linealmente ordenados

En el caso general de un conjunto X arbitrario linealmente ordenado , un corte es un par tal que y , implican . Algunos autores añaden el requisito de que tanto A como B no estén vacíos.

Si ni A tiene un máximo ni B tiene un mínimo, el corte se llama brecha . Un conjunto ordenado linealmente dotado de la topología de orden es compacto si y solo si no tiene espacio.

Números surrealistas

Una construcción que se asemeja a los cortes de Dedekind se utiliza para (una entre muchas posibles) construcciones de números surrealistas . La noción relevante en este caso es un corte de Cuesta-Dutari, que lleva el nombre del matemático español Norberto Cuesta Dutari .

Conjuntos parcialmente ordenados

Más en general, si S es un conjunto parcialmente ordenado , una realización de S significa un retículo completo L con una orden-incrustación de S en L . La noción de celosía completa generaliza la propiedad de límite mínimo superior de los reales.

Una terminación de S es el conjunto de sus subconjuntos cerrados hacia abajo , ordenados por inclusión . Una terminación relacionada que conserva todas las sups e infs existentes de S se obtiene mediante la siguiente construcción: Para cada subconjunto A de S , sea A u el conjunto de límites superiores de A , y sea A l el conjunto de límites inferiores de A . (Estos operadores forman una conexión de Galois .) Entonces la terminación Dedekind-MacNeille de S consta de todos los subconjuntos A para los cuales ( A u ) l = A ; está ordenado por inclusión. La terminación Dedekind-MacNeille es la celosía completa más pequeña con S incrustada en ella.

Notas

Referencias

  • Dedekind, Richard, Ensayos sobre la teoría de los números , "Continuidad y números irracionales", Publicaciones de Dover: Nueva York, ISBN  0-486-21010-3 . También disponible en Project Gutenberg.

enlaces externos