DR Kaprekar - D. R. Kaprekar

Dattatreya Ramchandra Kaprekar
Dattatreya Ramchandra Kaprekar
Nació	17 de enero de 1905; Dahanu , Maharashtra
Murió	1986 (81 años); Devlali , Maharastra
Nacionalidad	indio
Ocupación	Profesor de escuela
Conocido por	Contribuciones a las matemáticas recreativas

Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) fue un indio matemático recreativo que describe varias clases de números naturales incluyendo las Kaprekar , Harshad y auto números y descubrió la constante de Kaprekar , que lleva su nombre. A pesar de no tener una formación de posgrado formal y trabajar como maestro de escuela, publicó extensamente y se hizo muy conocido en los círculos de las matemáticas recreativas.

Biografía

Kaprekar recibió su educación secundaria en Thane y estudió en Fergusson College en Pune . En 1927 ganó el Premio Matemático Wrangler RP Paranjpe por un trabajo original en matemáticas.

Asistió a la Universidad de Mumbai , donde recibió su licenciatura en 1929. Como nunca recibió ninguna formación de posgrado formal, durante toda su carrera (1930-1962) fue maestro de escuela en Nashik en Maharashtra , India. Publicó extensamente, escribiendo sobre temas como decimales recurrentes , cuadrados mágicos y números enteros con propiedades especiales. También se le conoce como "Ganitanand".

Descubrimientos

Trabajando en gran parte solo, Kaprekar descubrió una serie de resultados en la teoría de números y describió varias propiedades de los números. Además de la constante de Kaprekar y los números de Kaprekar que recibieron su nombre, también describió los números propios o Devlali , los números harshad y los números Demlo . También construyó ciertos tipos de cuadrados mágicos relacionados con el cuadrado mágico de Copérnico. Inicialmente, sus ideas no fueron tomadas en serio por los matemáticos indios, y sus resultados se publicaron en gran parte en revistas de matemáticas de bajo nivel o se publicaron en forma privada, pero la fama internacional llegó cuando Martin Gardner escribió sobre Kaprekar en su columna de marzo de 1975 de Mathematical Games for Scientific American . Hoy su nombre es bien conocido y muchos otros matemáticos han continuado el estudio de las propiedades que descubrió.

La constante de Kaprekar

En 1949, Kaprekar descubrió una propiedad interesante del número 6174, que posteriormente se denominó constante de Kaprekar. Mostró que 6174 se alcanza en el límite cuando uno resta repetidamente los números más altos y más bajos que se pueden construir a partir de un conjunto de cuatro dígitos que no son todos idénticos. Entonces, comenzando con 1234, tenemos:

4321-1234 = 3087, entonces

8730-0378 = 8352, y

8532-2358 = 6174.

Repetir a partir de este punto deja el mismo número (7641-1467 = 6174). En general, cuando la operación converge, lo hace como máximo en siete iteraciones.

Una constante similar para 3 dígitos es 495 . Sin embargo, en base 10, una única constante de este tipo solo existe para números de 3 o 4 dígitos; para otras longitudes de dígitos o bases distintas de 10, el algoritmo de rutina de Kaprekar descrito anteriormente puede terminar en general en múltiples constantes diferentes o ciclos repetidos, dependiendo del valor inicial.

Número de Kaprekar

Otra clase de números que describió Kaprekar son los números de Kaprekar. Un número Kaprekar es un número entero positivo con la propiedad de que si se eleva al cuadrado, su representación se puede dividir en dos partes enteras positivas cuya suma es igual al número original (por ejemplo, 45, ya que 45 ² = 2025 y 20 + 25 = 45, también 9, 55, 99, etc.) Sin embargo, tenga en cuenta la restricción de que los dos números son positivos; por ejemplo, 100 no es un número de Kaprekar aunque 100 ² = 10000 y 100 + 00 = 100. Esta operación, de tomar los dígitos más a la derecha de un cuadrado y sumarlos al número entero formado por los dígitos más a la izquierda, se conoce como la operación Kaprekar.

Algunos ejemplos de números Kaprekar en base 10, además de los números 9, 99, 999,…, son (secuencia A006886 en la OEIS ):

Número	Cuadrado	Descomposición
703	703² = 494209	494 + 209 = 703
2728	2728² = 7441984	744 + 1984 = 2728
5292	5292² = 28005264	28 + 005264 = 5292
857143	857143² = 734694122449	734694 + 122449 = 857143

Devlali o número propio

En 1963, Kaprekar definió la propiedad que ha llegado a conocerse como números propios, como los enteros que no se pueden generar tomando algún otro número y añadiéndole sus propios dígitos. Por ejemplo, 21 no es un número propio, ya que se puede generar a partir de 15: 15 + 1 + 5 = 21. Pero 20 es un número propio, ya que no se puede generar a partir de ningún otro entero. También dio una prueba para verificar esta propiedad en cualquier número. Estos a veces se conocen como números de Devlali (después de la ciudad donde vivía); aunque esta parece haber sido su designación preferida, el término "auto numeración" está más extendido. A veces, estos también se designan como números colombianos después de una designación posterior.

Número de Harshad

Kaprekar también describió los números harshad que llamó harshad, que significa "dar alegría" ( sánscrito harsha , alegría + da taddhita pratyaya, causativo ); estos se definen por la propiedad de que son divisibles por la suma de sus dígitos. Por tanto, 12, que es divisible por 1 + 2 = 3, es un número harshad. Más tarde, estos números también se llamaron números de Niven después de la conferencia de 1977 sobre estos por el matemático canadiense Ivan M. Niven . Los números que son harshad en todas las bases (solo 1, 2, 4 y 6) se denominan números all-harshad . Se ha trabajado mucho sobre los números harshad, y su distribución, frecuencia, etc. son un tema de considerable interés en la teoría de números actual.

Número demlo

Kaprekar también estudió los números Demlo , que llevan el nombre de una estación de tren (ahora llamada Dombivili) a 30 millas de Bombay en el entonces ferrocarril GIP, donde tuvo la idea de estudiarlos. Los más conocidos de estos son los Wonderful Demlo números 1, 121, 12321, 1234321,…, que son los cuadrados de los repunits 1, 11, 111,1111,….

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