Operador d'Alembert - d'Alembert operator

En la relatividad especial , electromagnetismo y agitar teoría , el operador Alembert d' (denotado por una caja: ), también llamado el d'Alembert , operador de onda , operador de caja o, a veces quabla operador ( cf . Símbolo nabla ) es el operador de Laplace de Minkowski espacio . El operador lleva el nombre del matemático y físico francés Jean le Rond d'Alembert .

En el espacio de Minkowski, en coordenadas estándar ( t , x , y , z ) , tiene la forma

Aquí está el Laplaciano tridimensional y g μν es la métrica inversa de Minkowski con

, , Para .

Tenga en cuenta que los índices de suma μ y ν varían de 0 a 3: consulte la notación de Einstein . Hemos asumido unidades tales que la velocidad de la luz c = 1.

(Algunos autores utilizan alternativamente la firma métrica negativa de (- + + +) , con .)

Las transformaciones de Lorentz dejan la métrica de Minkowski invariante, por lo que el d'Alembertian produce un escalar de Lorentz . Las expresiones de coordenadas anteriores siguen siendo válidas para las coordenadas estándar en cada marco inercial.

El símbolo del cuadro (☐) y notaciones alternativas

Hay una variedad de notaciones para el d'Alembertian. Los más comunes son el símbolo de la caja ( Unicode : U + 2610BOLETA BOLETA ) cuyos cuatro lados representan las cuatro dimensiones del espacio-tiempo y el símbolo de la caja al cuadrado que enfatiza la propiedad escalar a través del término al cuadrado (muy parecido al Laplaciano ). De acuerdo con la notación triangular del laplaciano , a veces se usa.

Otra forma de escribir el d'Alembertian en coordenadas planas estándar es . Esta notación se usa ampliamente en la teoría cuántica de campos , donde las derivadas parciales generalmente se indexan, por lo que la falta de un índice con la derivada parcial al cuadrado indica la presencia del d'Alembertian.

A veces, el símbolo de la caja se usa para representar la derivada covariante de Levi-Civita de cuatro dimensiones . Luego, el símbolo se usa para representar las derivadas espaciales, pero esto depende del gráfico de coordenadas .

Aplicaciones

La ecuación de onda para pequeñas vibraciones tiene la forma

donde u ( x , t ) es el desplazamiento.

La ecuación de onda para el campo electromagnético en el vacío es

donde A μ es el cuatro potencial electromagnético en el calibre de Lorenz .

En relatividad general , la ecuación para las ondas gravitacionales en el vacío es

donde es la desviación (suficientemente pequeña) del tensor métrico del tensor plano (Minkowskiano).

La ecuación de Klein-Gordon tiene la forma

Función de Green

La función de Green , por el d'Alembert que se define por la ecuación

donde es la función delta multidimensional de Dirac y y son dos puntos en el espacio de Minkowski.

La función de Green retardada da una solución especial que corresponde a la propagación de la señal solo hacia adelante en el tiempo.

donde es la función escalón Heaviside .

Ver también

Referencias

enlaces externos