Principio de D'Alembert - D'Alembert's principle

Traité de dynamique de Jean Le Rond d'Alembert , 1743. En él, el erudito francés enunció el principio de la cantidad de movimiento, también conocido como el "principio de D'Alembert".
Jean d'Alembert (1717-1783)

El principio de D'Alembert , también conocido como el principio de Lagrange-d'Alembert , es una declaración de las leyes clásicas fundamentales del movimiento. Lleva el nombre de su descubridor, el físico y matemático francés Jean le Rond d'Alembert . Es una extensión del principio del trabajo virtual de sistemas estáticos a dinámicos . d'Alembert separa las fuerzas totales que actúan sobre un sistema en fuerzas de inercia (debido al movimiento de un sistema de referencia no inercial , ahora conocidas como fuerzas ficticias ) e impresas (todas las demás fuerzas). Aunque el principio de d'Alembert se formula de muchas formas diferentes, en esencia significa que cualquier sistema de fuerzas está en equilibrio si se añaden fuerzas impresas a las fuerzas inerciales. El principio no se aplica a los desplazamientos irreversibles, como la fricción por deslizamiento , y se requiere una especificación más general de la irreversibilidad. El principio de D'Alembert es más general que el principio de Hamilton, ya que no está restringido a las restricciones holonómicas que dependen solo de las coordenadas y el tiempo, pero no de las velocidades.

Declaración del principio

El principio establece que la suma de las diferencias entre las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas masivas y las derivadas temporales de los momentos del propio sistema proyectadas sobre cualquier desplazamiento virtual consistente con las restricciones del sistema es cero. Así, en notación matemática, el principio de d'Alembert se escribe de la siguiente manera:

dónde :

es un número entero que se usa para indicar (a través de un subíndice) una variable correspondiente a una partícula particular en el sistema,
es la fuerza total aplicada (excluidas las fuerzas de restricción) sobre la -ésima partícula,
es la masa de la -ésima partícula,
es la velocidad de la -ésima partícula,
es el desplazamiento virtual de la -ésima partícula, consistente con las restricciones.

La notación de puntos de Newton se utiliza para representar la derivada con respecto al tiempo. Esta ecuación anterior a menudo se llama principio de d'Alembert, pero fue escrita por primera vez en esta forma variacional por Joseph Louis Lagrange . La contribución de D'Alembert fue demostrar que en la totalidad de un sistema dinámico las fuerzas de restricción se desvanecen. Es decir, las fuerzas generalizadas no necesitan incluir fuerzas restrictivas. Es equivalente al principio de mínima restricción del algo más engorroso de Gauss .

Derivaciones

Caso general con masa variable

El enunciado general del principio de D'Alembert menciona "las derivadas temporales de los momentos del sistema". Según la segunda ley de Newton, la primera derivada temporal del momento es la fuerza. El momento de la -ésima masa es el producto de su masa y velocidad:

y su derivada del tiempo es

.

En muchas aplicaciones, las masas son constantes y esta ecuación se reduce a

.

Sin embargo, algunas aplicaciones involucran masas cambiantes (por ejemplo, cadenas enrolladas o desenrolladas) y en esos casos ambos términos y deben permanecer presentes, dando

Caso especial con masa constante

Considerar las leyes de Newton para un sistema de partículas de masa constante, . La fuerza total sobre cada partícula es

dónde

son las fuerzas totales que actúan sobre las partículas del sistema,
  son las fuerzas inerciales que resultan de las fuerzas totales.

Mover las fuerzas inerciales hacia la izquierda da una expresión que se puede considerar que representa un equilibrio cuasiestático, pero que en realidad es solo una pequeña manipulación algebraica de la ley de Newton:

Teniendo en cuenta el trabajo virtual , , realizado por las fuerzas totales y de inercia juntos a través de un desplazamiento virtual arbitraria, , de los cables del sistema para una identidad cero, ya que las fuerzas suma implicado a cero para cada partícula.

La ecuación vectorial original podría recuperarse reconociendo que la expresión de trabajo debe ser válida para desplazamientos arbitrarios. Al separar las fuerzas totales en fuerzas aplicadas , y fuerzas de restricción , se obtiene

Si se supone que los desplazamientos virtuales arbitrarios están en direcciones que son ortogonales a las fuerzas de restricción (que no suele ser el caso, por lo que esta derivación funciona solo para casos especiales), las fuerzas de restricción no funcionan ,. Se dice que tales desplazamientos son consistentes con las limitaciones. Esto conduce a la formulación del principio de d'Alembert , que establece que la diferencia de fuerzas aplicadas y fuerzas de inercia para un sistema dinámico no tiene ningún trabajo virtual:

También existe un principio correspondiente para los sistemas estáticos llamado principio de trabajo virtual para fuerzas aplicadas .

Principio de fuerzas inerciales de D'Alembert

D'Alembert demostró que se puede transformar un cuerpo rígido en aceleración en un sistema estático equivalente agregando la llamada " fuerza de inercia " y el " par de inercia " o momento. La fuerza de inercia debe actuar a través del centro de masa y el par de inercia puede actuar en cualquier lugar. El sistema puede entonces analizarse exactamente como un sistema estático sometido a esta "fuerza y ​​momento de inercia" y las fuerzas externas. La ventaja es que, en el sistema estático equivalente, uno puede tomar momentos en cualquier punto (no solo en el centro de masa). Esto a menudo conduce a cálculos más simples porque cualquier fuerza (a su vez) puede eliminarse de las ecuaciones de momento eligiendo el punto apropiado sobre el cual aplicar la ecuación de momento (suma de momentos = cero). Incluso en el curso de Fundamentos de Dinámica y Cinemática de máquinas, este principio ayuda a analizar las fuerzas que actúan sobre un eslabón de un mecanismo cuando está en movimiento. En los libros de texto de dinámica de la ingeniería, esto a veces se denomina principio de d'Alembert .

Equilibrio dinámico

La forma de D'Alembert del principio de trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas inerciales es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por lo tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas requiere que sea

para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales con ser una fuerza aplicada generalizada y ser una fuerza de inercia generalizada. Esta condición produce m ecuaciones,

que también se puede escribir como

El resultado es un conjunto de m ecuaciones de movimiento que definen la dinámica del sistema de cuerpo rígido.

Referencias

  1. ^ Cornelius Lanczos (1970). pag. 90 . ISBN 978-0-486-65067-8.
  2. ^ Udwadia, FE; Kalaba, RE (2002). "Sobre las bases de la dinámica analítica" (PDF) . Intl. Journ. Mecánica no lineal . 37 (6): 1079–1090. Código Bibliográfico : 2002IJNLM..37.1079U . CiteSeerX  10.1.1.174.5726 . doi : 10.1016 / S0020-7462 (01) 00033-6 . Archivado desde el original (PDF) el 13 de junio de 2010.
  3. ^ Lanczos, Cornelius (1970). Los Principios Variacionales de la Mecánica (4ª ed.). Nueva York: Dover Publications Inc. p. 92. ISBN 978-0-486-65067-8.
  4. ^ Arnold Sommerfeld (1956), Mecánica: Conferencias sobre física teórica , Vol 1, p. 53
  5. a b c d e Torby, Bruce (1984). "Métodos energéticos". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en Ingeniería Mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 978-0-03-063366-9.
  6. ^ Jong, Ing-Chang (2005). "Mejora de la mecánica de los materiales". Enseñar a los estudiantes el trabajo y el método de trabajo virtual en estática: una estrategia orientadora con ejemplos ilustrativos . 2005 Conferencia y exposición anual de la Sociedad Estadounidense de Educación en Ingeniería . Consultado el 24 de junio de 2014 .