Fórmula de d'Alembert - d'Alembert's formula

En matemáticas , y específicamente en ecuaciones diferenciales parciales (PDE), la fórmula de d'Alembert es la solución general a la ecuación de onda unidimensional (donde los índices de subíndices indican diferenciación parcial , utilizando el operador de d'Alembert , la PDE se convierte en:) . ${\ Displaystyle u_ {tt} (x, t) = c ^ {2} u_ {xx} (x, t)}$ ${\ Displaystyle \ Box u = 0}$

La solución depende de las condiciones iniciales en : y . Consiste en términos separados para las condiciones iniciales y : ${\ Displaystyle t = 0}$ ${\ Displaystyle u (x, 0)}$ ${\ Displaystyle u_ {t} (x, 0)}$ ${\ Displaystyle u (x, 0)}$ ${\ Displaystyle u_ {t} (x, 0)}$

{\ Displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {2}} \ left [u (x-ct, 0) + u (x + ct, 0) \ right] + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} u_ {t} (\ xi, 0) \, d \ xi.}

Lleva el nombre del matemático Jean le Rond d'Alembert , quien lo derivó en 1747 como una solución al problema de una cuerda vibrante .

Detalles

Las características del PDE son (donde el signo indica las dos soluciones de la ecuación cuadrática), por lo que podemos usar el cambio de variables (para la solución positiva) y (para la solución negativa) para transformar el PDE en . La solución general de este PDE es dónde y son funciones. De vuelta en coordenadas ${\ Displaystyle x \ pm ct = \ mathrm {constante} \,}$ ${\ Displaystyle \ pm \,}$ ${\ Displaystyle \ mu = x + ct \,}$ ${\ Displaystyle \ eta = x-ct \,}$ ${\ Displaystyle u _ {\ mu \ eta} = 0 \,}$ ${\ Displaystyle u (\ mu, \ eta) = F (\ mu) + G (\ eta) \,}$ ${\ Displaystyle F \,}$ ${\ Displaystyle G \,}$ ${\ Displaystyle C ^ {1} \,}$ ${\ Displaystyle x, t \,}$

{\ Displaystyle u (x, t) = F (x + ct) + G (x-ct) \,}

{\ Displaystyle u \,}

es si y son .

{\ Displaystyle C ^ {2} \,}

{\ Displaystyle F \,}

{\ Displaystyle G \,}

{\ Displaystyle C ^ {2} \,}

Esta solución se puede interpretar como dos ondas con velocidad constante que se mueven en direcciones opuestas a lo largo del eje x. ${\ Displaystyle u \,}$ ${\ Displaystyle c \,}$

Ahora considere esta solución con los datos de Cauchy . ${\ Displaystyle u (x, 0) = g (x), u_ {t} (x, 0) = h (x) \,}$

Usando obtenemos . ${\ Displaystyle u (x, 0) = g (x) \,}$ ${\ Displaystyle F (x) + G (x) = g (x) \,}$

Usando obtenemos . ${\ Displaystyle u_ {t} (x, 0) = h (x) \,}$ ${\ Displaystyle cF '(x) -cG' (x) = h (x) \,}$

Podemos integrar la última ecuación para obtener

{\ Displaystyle cF (x) -cG (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} h (\ xi) \, d \ xi + c_ {1}. \,}

Ahora podemos resolver este sistema de ecuaciones para obtener

{\ Displaystyle F (x) = {\ frac {-1} {2c}} \ left (-cg (x) - \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {x} h (\ xi) \, d \ xi + c_ {1} \ right) \ right) \,}

{\ Displaystyle G (x) = {\ frac {-1} {2c}} \ left (-cg (x) + \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {x} h (\ xi) d \ xi + c_ {1} \ derecha) \ derecha). \,}

Ahora, usando

{\ Displaystyle u (x, t) = F (x + ct) + G (x-ct) \,}

La fórmula de d'Alembert se convierte en:

{\ Displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {2}} \ left [g (x-ct) + g (x + ct) \ right] + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} h (\ xi) \, d \ xi.}

Generalización para ecuaciones diferenciales hiperbólicas canónicas no homogéneas

La forma general de una ecuación diferencial canónica de tipo hiperbólico no homogénea toma la forma de:

${\ Displaystyle u_ {tt} -c ^ {2} u_ {xx} = f (x, t), \, u (x, 0) = g (x), \, u_ {t} (x, 0) = h (x),}$

para . ${\ Displaystyle - \ infty <x <\ infty, \, \, t> 0, f \ in C ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {2}, \ mathbb {R})}$

Todas las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes se pueden transformar en sus respectivas formas canónicas . Esta ecuación es uno de estos tres casos: Ecuación diferencial parcial elíptica , Ecuación diferencial parcial parabólica y Ecuación diferencial parcial hiperbólica .

La única diferencia entre una ecuación diferencial homogénea y no homogénea (parcial) es que en la forma homogénea solo permitimos que 0 esté en el lado derecho ( ), mientras que la no homogénea es mucho más general, ya que en podría ser cualquier función siempre que ya que es continuo y se puede diferenciar continuamente dos veces. ${\ Displaystyle f (x, t) = 0}$ ${\ Displaystyle f (x, t)}$

La solución de la ecuación anterior viene dada por la fórmula:

${\ Displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {2}} {\ Bigl (} g (x + ct) + g (x-ct) {\ biggr)} + {\ frac {1} {2c}} \ int \ limits _ {x-ct} ^ {x + ct} h (s) \, {\ text {d}} s + {\ frac {1} {2c}} \ int \ limits _ { 0} ^ {t} \ int \ limits _ {xc (t- \ tau)} ^ {x + c (t- \ tau)} f (s, \ tau) \, {\ text {d}} s { \ text {d}} \ tau}$ .

Si , la primera parte desaparece, si , la segunda parte desaparece, y si , la tercera parte desaparece de la solución, ya que la integración de la función 0 entre dos límites cualesquiera siempre da como resultado 0. ${\ Displaystyle g (x) = 0}$ ${\ Displaystyle h (x) = 0}$ ${\ Displaystyle f (x) = 0}$