Colisión de Coulomb - Coulomb collision

Una colisión de Coulomb es una colisión elástica binaria entre dos partículas cargadas que interactúan a través de su propio campo eléctrico . Como ocurre con cualquier ley del inverso del cuadrado , las trayectorias resultantes de las partículas en colisión son una órbita hiperbólica kepleriana . Este tipo de colisión es común en plasmas donde la energía cinética típica de las partículas es demasiado grande para producir una desviación significativa de las trayectorias iniciales de las partículas en colisión, y en su lugar se considera el efecto acumulativo de muchas colisiones.

Tratamiento matemático para plasmas

En un plasma, una colisión de Coulomb rara vez resulta en una gran desviación. Sin embargo, el efecto acumulativo de las muchas colisiones de ángulos pequeños es a menudo mayor que el efecto de las pocas colisiones de ángulos grandes que ocurren, por lo que es instructivo considerar la dinámica de la colisión en el límite de las deflexiones pequeñas.

Podemos considerar un electrón de carga y masa que pasa por un ion de carga estacionario y una masa mucho mayor a una distancia con una velocidad . La fuerza perpendicular está en la aproximación más cercana y la duración del encuentro es aproximadamente . El producto de estas expresiones dividido por la masa es el cambio en la velocidad perpendicular: ${\ Displaystyle -e}$ ${\ Displaystyle m_ {e}}$ ${\ Displaystyle + Ze}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle v}$ ${\ Displaystyle Ze ^ {2} / 4 \ pi \ epsilon _ {0} b ^ {2}}$ ${\ Displaystyle b / v}$

{\ Displaystyle \ Delta m_ {e} v _ {\ perp} \ approx {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \, {\ frac {1} {vb}} }

Tenga en cuenta que el ángulo de deflexión es proporcional a . Las partículas rápidas son "resbaladizas" y, por lo tanto, dominan muchos procesos de transporte. La eficiencia de las interacciones adaptadas a velocidades es también la razón por la que los productos de fusión tienden a calentar los electrones en lugar de (como sería deseable) los iones. Si hay un campo eléctrico, los electrones más rápidos se sienten menos arrastrados y se vuelven aún más rápidos en un proceso de "fuga". ${\ Displaystyle 1 / v ^ {2}}$

Al pasar por un campo de iones con densidad , un electrón tendrá muchos de estos encuentros simultáneamente, con varios parámetros de impacto (distancia al ion) y direcciones. El efecto acumulativo se puede describir como una difusión del momento perpendicular. La constante de difusión correspondiente se encuentra integrando los cuadrados de los cambios individuales en la cantidad de movimiento. La tasa de colisiones con parámetro de impacto entre y es , por lo que la constante de difusión está dada por ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle (b + \ mathrm {d} b)}$ ${\ Displaystyle nv (2 \ pi b \ mathrm {d} b)}$

{\ Displaystyle D_ {v \ perp} = \ int \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right) ^ {2} \, {\ frac { 1} {v ^ {2} b ^ {2}}} \, nv (2 \ pi b \, {\ mathrm {d}} b) = \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right) ^ {2} \, {\ frac {2 \ pi n} {v}} \, \ int {\ frac {{\ mathrm {d}} b} { B}}}

Obviamente, la integral diverge hacia parámetros de impacto tanto pequeños como grandes. La divergencia en los parámetros de impacto pequeño es claramente poco física, ya que bajo los supuestos utilizados aquí, el impulso perpendicular final no puede tomar un valor más alto que el impulso inicial. Al establecer la estimación anterior en igual a , encontramos que el límite inferior del parámetro de impacto es aproximadamente ${\ Displaystyle \ Delta m_ {e} v _ {\ perp}}$ ${\ displaystyle mv}$

{\ displaystyle b_ {0} = {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \, {\ frac {1} {m_ {e} v ^ {2}}} }

También podemos usarlo como una estimación de la sección transversal para colisiones de ángulos grandes. En algunas condiciones, existe un límite inferior más estricto debido a la mecánica cuántica, a saber, la longitud de onda de De Broglie del electrón, donde es la constante de Planck . ${\ Displaystyle \ pi b_ {0} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle h / m_ {e} v}$ ${\ Displaystyle h}$

A grandes parámetros de impacto, la carga del ion está protegida por la tendencia de los electrones a agruparse en la vecindad del ion y otros iones para evitarlo. Por tanto, el límite superior del parámetro de impacto debería ser aproximadamente igual a la longitud de Debye :

{\ Displaystyle \ lambda _ {D} = {\ sqrt {\ frac {\ epsilon _ {0} kT_ {e}} {n_ {e} e ^ {2}}}}}

Logaritmo de coulomb

Por tanto, la integral de produce el logaritmo de la relación de los límites superior e inferior. Este número se conoce como logaritmo de Coulomb y se designa con o . Es el factor por el cual las colisiones de ángulo pequeño son más efectivas que las colisiones de ángulo grande. Para muchos plasmas de interés, toma valores entre y . (Para obtener fórmulas convenientes, consulte las páginas 34 y 35 del formulario de NRL Plasma .) Los límites de la integral del parámetro de impacto no son precisos, pero son inciertos por factores del orden de la unidad, lo que genera incertidumbres teóricas del orden de . Por esta razón, a menudo se justifica simplemente elegir la opción más conveniente . El análisis aquí arroja las escalas y los órdenes de magnitud. ${\ Displaystyle 1 / b}$ ${\ Displaystyle \ ln \ Lambda}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle 5}$ ${\ Displaystyle 15}$ ${\ Displaystyle 1 / \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ lambda = 10}$