Combinatoriaidad - Combinatoriality

No confundir con Combinatoria .

En la música que utiliza la técnica de los doce tonos , la combinatoria es una cualidad compartida por las filas de doce tonos mediante la cual cada sección de una fila y un número proporcional de sus transformaciones se combinan para formar agregados (los doce tonos). Por mucho que los tonos de un agregado creado por una fila de tonos no tengan que ocurrir simultáneamente, los tonos de un agregado creado combinatoriamente no necesitan ocurrir simultáneamente. Arnold Schoenberg , creador de la técnica de los doce tonos, a menudo combinaba P-0 / I-5 para crear "dos agregados, entre los primeros hexacordes de cada uno y los segundos hexacordes de cada uno, respectivamente".

La combinatoria es un efecto secundario de las filas derivadas , donde el segmento o conjunto inicial puede combinarse con sus transformaciones (T, R, I, RI) para crear una fila completa. "La derivación se refiere a un proceso mediante el cual, por ejemplo, el tricordio inicial de una fila se puede usar para llegar a una nueva fila 'derivada' empleando las operaciones estándar de doce tonos de transposición , inversión , retrógrado e inversión retrógrada . "

Las propiedades combinatorias no dependen del orden de las notas dentro de un conjunto, sino solo del contenido del conjunto, y la combinatoria puede existir entre tres conjuntos tetracordales y entre cuatro tricordales , así como entre pares de hexacordes y seis díadas . Un complemento en este contexto es la mitad de un conjunto de clases de tono combinatorio y, en general, es la "otra mitad" de cualquier par, incluidos los conjuntos de clases de tono, texturas o rango de tono.

Definición

La complementación más general es la separación de las colecciones de clases de tono en dos conjuntos complementarios, uno que contiene las clases de tono y no el otro. La complementación más restrictiva es "el proceso de emparejar entidades a ambos lados de un centro de simetría".

Filas de tonos combinatorios de Moses und Aron de Arnold Schoenberg emparejando hexacordes complementarios de P-0 / I-3

El término "'combinatoria' parece haber sido aplicado por primera vez a la música de doce tonos por Milton Babbitt " en 1950, cuando publicó una reseña de los libros de René Leibowitz Schoenberg et son école y Qu'est-ce que la musique de douze hijos? Babbitt también introdujo el término fila derivada .

Combinatoriaidad hexacordal

Hexacordes combinatorios de tricordio del Concierto para piano de Elliott Carter , mm. 59–60

Una fila de 12 tonos tiene combinatoria hexacordal con otra fila de 12 tonos si su respectivo primer (así como el segundo, porque una fila de 12 tonos en sí misma forma un agregado por definición) los hexacordes forman un agregado.

Hay cuatro tipos principales de combinatoria. Un hexacordo puede ser:

y por lo tanto:

  • Semi-combinatorio (por uno de los anteriores)
  • Todo combinatorio (por todos)

La combinatoria prima (transposicional) de un hexacordo se refiere a la propiedad de un hexacordo mediante la cual forma un agregado con una o más de sus transposiciones. Alternativamente, la combinatoria transposicional es la falta de clases de tono compartidas entre un hexacordo y una o más de sus transposiciones. Por ejemplo, 0 2 4 6 8 t, y su transposición hacia arriba un semitono (+1): 1 3 5 7 9 e, no tienen notas en común.

La combinatoria hexacordal retrógrada se considera trivial, ya que cualquier fila tiene combinatoria hexacordal retrógrada consigo misma ( todas las filas de tonos tienen combinatoriaidad retrógrada).

La combinatoria inversa es una relación entre dos filas, una fila principal y su inversión. La primera mitad de la fila principal, o seis notas, son las últimas seis notas de la inversión, aunque no necesariamente en el mismo orden. Por lo tanto, la primera mitad de cada fila es el complemento de la otra . La misma conclusión se aplica también a la segunda mitad de cada fila. Cuando se combinan, estas filas aún mantienen una sensación completamente cromática y no tienden a reforzar ciertos tonos como centros tonales como podría suceder con las filas combinadas libremente. Por ejemplo, la fila de Moses und Aron de Schoenberg , arriba contiene: 0 1 4 5 6 7, esto se invierte a: 0 e 8 7 6 5, suma tres = 2 3 8 9 t e. 

01  4567     : 1st hexachord P0/2nd hexachord I3
  23    89te : 2nd hexachord P0/1st hexachord I3
complete chromatic scale

La combinatoria retrógrada-inversa es una falta de tonos compartidos entre los hexacordes de una fila y su inversión retrógrada.

Babbitt también describió la fila semi-combinatoria y la fila totalmente combinatoria, siendo esta última una fila combinatoria con cualquiera de sus derivaciones y sus transposiciones. Los conjuntos semi-combinatorios son conjuntos cuyos hexacordes son capaces de formar un agregado con una de sus transformaciones básicas (R, I, RI) transpuesta. Hay trece hexacordes que son semi-combinatorios solo por inversión. 

(0)  0 1 2 3 4 6 // e t 9 8 7 5
(1)  0 1 2 3 5 7 // e t 9 8 6 4
(2)  0 1 2 3 6 7 // e t 9 8 5 4
(3)  0 1 2 4 5 8 // e t 9 7 6 3
(4)  0 1 2 4 6 8 // e t 9 7 5 3
(5)  0 1 2 5 7 8 // e t 9 6 4 3
(6)  0 1 3 4 6 9 // e t 8 7 5 2
(7)  0 1 3 5 7 9 // e t 8 6 4 2
(8)  0 1 3 5 8 9 // 7 6 4 2 e t
(9)  0 1 3 6 7 9 // e t 8 5 4 2
(10) 0 1 4 5 6 8 // 3 2 e t 9 7
(11) 0 2 3 4 6 8 // 1 e t 9 7 5
(12) 0 2 3 5 7 9 // 1 e t 8 6 4

Cualquier hexacordo que contenga un cero en su vector de intervalo posee combinatoria transposicional (en otras palabras: para lograr la combinatoria, un hexacordo no puede ser transpuesto por un intervalo igual a una nota que contiene). Por ejemplo, hay un hexacordo que es combinatorio por transposición (T6): 

(0) 0 1 3 4 5 8 // 6 7 9 t e 2

Ninguno de los hexacordes contiene tritonos.

Gruppen ' principal de primer orden de las filas tono de todo combinatoria s, aunque esta propiedad no se explota compositivamente en ese trabajo.
Hexachord "Oda-a-Napoleón" en su forma principal Uno de los seis "conjuntos fuente" combinatorios de hexachord de Babbitt.

Los conjuntos totalmente combinatorios son conjuntos cuyos hexacordes son capaces de formar un agregado con cualquiera de sus transformaciones básicas transpuestas. Hay seis conjuntos de fuentes, o conjuntos básicos hexacordales totalmente combinatorios, cada uno de los cuales se puede reordenar dentro de sí mismo: 

(A)  0 1 2 3 4 5 // 6 7 8 9 t e
(B)  0 2 3 4 5 7 // 6 8 9 t e 1
(C)  0 2 4 5 7 9 // 6 8 t e 1 3
(D)  0 1 2 6 7 8 // 3 4 5 9 t e
(E)  0 1 4 5 8 9 // 2 3 6 7 t e
(F)  0 2 4 6 8 t // 1 3 5 7 9 e

Nota: t = 10, e = 11.

Debido a que los primeros tres conjuntos ( A , B y C ) satisfacen cada uno los cuatro criterios para un solo valor de transposición, el conjunto D los satisface para dos valores de transposición, E para tres valores y F , para seis transposiciones, Babbitt designa estos cuatro grupos como hexacordes combinatorios de "primer orden", "segundo orden", "tercer orden" y "sexto orden", respectivamente. Observe que el primer conjunto, el conjunto "A", son las primeras seis notas de una escala cromática ascendente, y que el último conjunto, el conjunto "F", es una escala de tono completo.

La combinatoria se puede usar para crear un agregado de los doce tonos, aunque el término a menudo se refiere simplemente a filas combinatorias expresadas juntas.

La combinatoria hexacordal es un concepto en la teoría post-tonal que describe la combinación de hexacordes, a menudo utilizado en referencia a la música de la Segunda escuela vienesa . En la música que utiliza consistentemente los doce tonos cromáticos (particularmente la música de doce tonos y en serie ), el agregado (colección de las 12 clases de tonos) puede dividirse en dos hexacordes (colecciones de 6 tonos). Esto rompe el agregado en dos partes más pequeñas, lo que facilita la secuenciación de notas, el progreso entre filas o agregados y la combinación de notas y agregados.

Las formas principales, P1 y 16, de la pieza para piano de Schoenberg , op. 33a, la fila de tonos presenta combinatoria hexacordal y contiene tres quintos perfectos cada uno, que es la relación entre P1 e I6.

Ocasionalmente, un hexacordo puede combinarse con una versión invertida o transpuesta de sí mismo en un caso especial que luego dará como resultado el agregado (juego completo de 12 tonos cromáticos).

Una fila (B ♭ = 0: 0 6 8 5 7 e 4 3 9 t 1 2) usada por Schoenberg puede dividirse en dos hexacordes: 

B♭ E  F♯ E♭ F  A // D  C♯ G  G♯ B  C

Cuando inviertes el primer hexacordo y lo transpones, se obtiene el siguiente hexacordo, una reordenación del segundo hexacordo: 

G  C♯ B  D  C  G♯ = D  C♯ G  G♯ B  C

Así, cuando superpone el hexacordo 1 original (P0) sobre la inversión transpuesta del hexacordo 1 (I9 en este caso), resulta la colección completa de 12 tonos. Si continuara con el resto de la fila invertida transpuesta (I9) y el hexacordo 2 original superpuesto, volvería a tener el complemento completo de 12 tonos cromáticos.

En Variaciones para orquesta de Schoenberg , op. 31, la segunda mitad de la fila de tonos de P1 tiene las mismas notas, en un orden diferente, que la primera mitad de I10: "Por lo tanto, es posible emplear P1 e I10 simultáneamente y en movimiento paralelo sin provocar la duplicación de notas".

La combinatoria hexacordal está estrechamente relacionada con la teoría de los 44 tropos creada por Josef Matthias Hauer en 1921, aunque parece que Hauer no tuvo ninguna influencia en Babbitt. Además, hay pocas pruebas que sugieran que Hauer tenía un conocimiento extenso sobre las propiedades de inversión de los tropos al menos antes de 1942. Los primeros registros sobre relaciones combinatorias de hexacordes, sin embargo, se pueden encontrar entre los escritos teóricos del compositor y teórico de la música austriaco Othmar Steinbauer . Realizó estudios elaborados sobre el sistema de tropos a principios de la década de 1930 que están documentados en un texto mecanografiado inédito Klang- und Meloslehre (1932). Los materiales de Steinbauer fechados entre 1932 y 1934 contienen datos completos sobre tricordios combinatorios, tetracordes y hexacordes, incluidos conjuntos semi-combinatorios y totalmente combinatorios. Por tanto, pueden ser los primeros discos de la historia de la música. Una compilación del material morfológico de Steinbauer se hizo pública en partes en 1960 con su guión Lehrbuch der Klangreihenkomposition (edición del autor) y se reimprimió en 2001.

Combinatoriaidad tricordal

{# (set-global-staff-size 18) \ override Score.TimeSignature # 'stencil = ## f \ override Score.SpacingSpanner.strict-note-spacing = ## t \ set Score.proportionalNotationDuration = # (ly: make -momento 2/1) \ relativo c '' {\ tiempo 3/1 \ set Score.tempoHideNote = ## t \ tempo 1 = 60 b1 bes d es, g fis aes efc 'cis a}}
Fila de tonos para el concierto de Webern para nueve instrumentos op. 24 .
Una fila derivada totalmente combinatoria compuesta por cuatro tricordios : P RI R I.

La combinatoria tricordal es la capacidad de una fila para formar agregados mediante la combinación de tricordios. "La combinatoria tricordal implica la presentación simultánea de cuatro filas en paquetes de tres piezas". La existencia de combinatoria tricordal, o cualquier otra forma, en una fila no excluye la existencia de otras formas de combinatoria (al menos existe una combinatoria hexacordal trivial entre cada forma de fila y su retrógrado). Todas las filas derivadas de tricordal poseen combinatoria tricordal.

Notas

Fuentes

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