Ecuación de Boltzmann - Boltzmann equation

El lugar de la ecuación cinética de Boltzmann en las escaleras de la reducción del modelo de la dinámica microscópica a la dinámica macroscópica del continuo (ilustración del contenido del libro)

La ecuación de Boltzmann o ecuación de transporte de Boltzmann ( BTE ) describe el comportamiento estadístico de un sistema termodinámico que no se encuentra en un estado de equilibrio , ideado por Ludwig Boltzmann en 1872. El ejemplo clásico de tal sistema es un fluido con gradientes de temperatura en el espacio que provocan que el calor se fluyen de las regiones más calientes a las más frías, por el transporte aleatorio pero sesgado de las partículas que componen ese fluido. En la literatura moderna, el término ecuación de Boltzmann se usa a menudo en un sentido más general, refiriéndose a cualquier ecuación cinética que describa el cambio de una cantidad macroscópica en un sistema termodinámico, como energía, carga o número de partículas.

La ecuación surge no analizando las posiciones y momentos individuales de cada partícula en el fluido, sino más bien considerando una distribución de probabilidad para la posición y el momento de una partícula típica, es decir, la probabilidad de que la partícula ocupe una región del espacio muy pequeña dada. (matemáticamente el elemento de volumen ) centrado en la posición , y tiene un momento casi igual a un vector de momento dado (ocupando así una región muy pequeña del espacio de momento ), en un instante de tiempo.

La ecuación de Boltzmann se puede utilizar para determinar cómo cambian las cantidades físicas, como la energía térmica y el momento , cuando un fluido está en transporte. También se pueden derivar otras propiedades características de los fluidos tales como viscosidad , conductividad térmica y conductividad eléctrica (tratando los portadores de carga en un material como un gas). Consulte también la ecuación de convección-difusión .

La ecuación es una ecuación integro-diferencial no lineal , y la función desconocida en la ecuación es una función de densidad de probabilidad en el espacio de seis dimensiones de la posición y el momento de una partícula. El problema de la existencia y unicidad de las soluciones aún no está completamente resuelto, pero algunos resultados recientes son bastante prometedores.

Visión general

La función de densidad y espacio de fase

El conjunto de todas las posiciones posibles ry los momentos p se denomina espacio de fase del sistema; en otras palabras, un conjunto de tres coordenadas para cada coordenada de posición x, y, z , y tres más para cada componente de momento p x , p y , p z . Todo el espacio es de 6 dimensiones : un punto en este espacio es ( r , p ) = ( x, y, z, p x , p y , p z ), y cada coordenada está parametrizada por el tiempo t . El volumen pequeño (" elemento de volumen diferencial ") se escribe

Dado que la probabilidad de N moléculas que todos tienen r y p dentro está en cuestión, en el corazón de la ecuación es una cantidad f que da a esta probabilidad por volumen de espacio de fase de la unidad, o la probabilidad por unidad de longitud al cubo por unidad de impulso en cubos, en un instante de tiempo t . Esta es una función de densidad de probabilidad : f ( r , p , t ), definida de modo que,  

es el número de moléculas que todos tienen posiciones que están dentro de un elemento de volumen sobre r y momentos acostado dentro de un espacio de momentos elemento sobre p , en el tiempo t . La integración sobre una región de espacio de posición y espacio de momento da el número total de partículas que tienen posiciones y momentos en esa región:

que es una integral de 6 veces . Mientras que f está asociado con un número de partículas, el espacio de fases es para una sola partícula (no todos ellos, que suele ser el caso con deterministas de muchos cuerpos sistemas), ya que sólo una r y p está en cuestión. No es parte del análisis con el uso de r 1 , p 1 para la partícula 1, r 2 , p 2 para la partícula 2, etc. hasta r N , p N para partículas N .

Se supone que las partículas del sistema son idénticas (por lo que cada una tiene una masa m idéntica ). Para una mezcla de más de una especie química , se necesita una distribución para cada una, ver más abajo.

Declaración principal

Entonces, la ecuación general se puede escribir como

donde el término "fuerza" corresponde a las fuerzas ejercidas sobre las partículas por una influencia externa (no por las partículas en sí), el término "diff" representa la difusión de partículas y "coll" es el término de colisión , lo que representa las fuerzas actuando entre partículas en colisiones. Las expresiones para cada término en el lado derecho se proporcionan a continuación.

Tenga en cuenta que algunos autores utilizan la velocidad de partícula v en lugar de la cantidad de movimiento p ; están relacionados en la definición de momento por p = m v .

Los términos de fuerza y ​​difusión

Considere las partículas descritas por f , cada una de las cuales experimenta una fuerza externa F no debida a otras partículas (consulte el término de colisión para este último tratamiento).

Suponga que en el tiempo t un cierto número de partículas tienen la posición r dentro del elemento y la cantidad de movimiento p dentro . Si una fuerza F actúa instantáneamente sobre cada partícula, entonces en el tiempo t + Δ t su posición será r + Δ r = y el momento p + Δ p = p + F Δ t . Entonces, en ausencia de colisiones, f debe satisfacer

Tenga en cuenta que hemos utilizado el hecho de que el elemento de volumen del espacio de fase es constante, lo que se puede demostrar utilizando las ecuaciones de Hamilton (consulte la discusión sobre el teorema de Liouville ). Sin embargo, dado que ocurren colisiones, la densidad de partículas en el volumen del espacio de fase cambia, por lo que   

 

 

 

 

( 1 )

donde Δ f es el cambio total en f . Dividiendo ( 1 ) por  Δ t y tomando los límites Δ t → 0 y Δ f → 0, tenemos  

 

 

 

 

( 2 )

El diferencial total de f es:

 

 

 

 

( 3 )

donde ∇ es el operador de gradiente , · es el producto escalar ,

es una abreviatura del análogo de momento de ∇, y ê x , ê y , ê z son vectores unitarios cartesianos .

Declaración final

Dividiendo ( 3 ) por dt y sustituyendo en ( 2 ) se obtiene:

En este contexto, F ( r , t ) es el campo de fuerza que actúa sobre las partículas en el fluido y m es la masa de las partículas. El término del lado derecho se agrega para describir el efecto de las colisiones entre partículas; si es cero, las partículas no chocan. La ecuación de Boltzmann sin colisiones, en la que las colisiones individuales se reemplazan con interacciones agregadas de largo alcance, por ejemplo , interacciones de Coulomb , a menudo se denomina ecuación de Vlasov .

Esta ecuación es más útil que la principal anterior, pero aún está incompleta, ya que f no se puede resolver a menos que se conozca el término de colisión en f . Este término no se puede encontrar tan fácil o generalmente como los demás: es un término estadístico que representa las colisiones de partículas y requiere conocimiento de las estadísticas a las que obedecen las partículas, como las distribuciones de Maxwell-Boltzmann , Fermi-Dirac o Bose-Einstein .

El término de colisión (Stosszahlansatz) y el caos molecular

Término de colisión de dos cuerpos

Una idea clave aplicada por Boltzmann fue determinar el término de colisión resultante únicamente de colisiones de dos cuerpos entre partículas que se supone que no están correlacionadas antes de la colisión. Boltzmann se refirió a esta suposición como la " Stosszahlansatz " y también se la conoce como la " suposición del caos molecular ". Bajo este supuesto, el término de colisión se puede escribir como una integral de espacio-momento sobre el producto de funciones de distribución de una partícula:

donde p A y p B son los momentos de dos partículas cualesquiera (etiquetadas como A y B por conveniencia) antes de una colisión, p ′ A y p ′ B son los momentos después de la colisión,

es la magnitud de los momentos relativos (ver velocidad relativa para más información sobre este concepto), e I ( g , Ω) es la sección transversal diferencial de la colisión, en la que los momentos relativos de las partículas en colisión se convierten en un ángulo θ en el elemento del ángulo sólido d Ω, debido a la colisión.

Simplificaciones del término de colisión

Dado que gran parte del desafío para resolver la ecuación de Boltzmann se origina con el término complejo de colisión, se han hecho intentos de "modelar" y simplificar el término de colisión. La ecuación del modelo más conocida se debe a Bhatnagar, Gross y Krook. El supuesto en la aproximación BGK es que el efecto de las colisiones moleculares es forzar una función de distribución de no equilibrio en un punto del espacio físico a una función de distribución de equilibrio de Maxwell y que la velocidad a la que esto ocurre es proporcional a la frecuencia de colisión molecular. . Por tanto, la ecuación de Boltzmann se modifica a la forma BGK:

donde es la frecuencia de colisión molecular y es la función de distribución local de Maxwell dada la temperatura del gas en este punto en el espacio.

Ecuación general (para una mezcla)

Para una mezcla de especies químicas etiquetadas con índices i = 1, 2, 3, ..., n la ecuación para la especie i es

donde f i = f i ( r , p i , t ), y el término de colisión es

donde f ′ = f ′ ( p ′ i , t ), la magnitud de los momentos relativos es

y I ij es la sección transversal diferencial, como antes, entre las partículas i y j . La integración se realiza sobre los componentes del momento en el integrando (que se denominan i y j ). La suma de integrales describe la entrada y salida de partículas de la especie i dentro o fuera del elemento del espacio de fase.

Aplicaciones y extensiones

Ecuaciones de conservación

La ecuación de Boltzmann se puede utilizar para derivar las leyes de conservación de la dinámica de fluidos para masa, carga, momento y energía. Para un fluido que consta de un solo tipo de partícula, la densidad numérica n viene dada por

El valor promedio de cualquier función A es

Dado que las ecuaciones de conservación involucran tensores, se utilizará la convención de suma de Einstein cuando los índices repetidos en un producto indiquen la suma de esos índices. Por lo tanto , y , ¿dónde está el vector de velocidad de la partícula? Defina como alguna función del impulso únicamente, que se conserva en una colisión. Suponga también que la fuerza es función únicamente de la posición y que f es cero para . Al multiplicar la ecuación de Boltzmann por A e integrar sobre la cantidad de movimiento se obtienen cuatro términos que, utilizando la integración por partes, se pueden expresar como

donde el último término es cero, ya que A se conserva en una colisión. Dejando , la masa de la partícula, la ecuación de Boltzmann integrada se convierte en la ecuación de conservación de la masa:

donde es la densidad de masa y es la velocidad media del fluido.

Dejando , el momento de la partícula, la ecuación de Boltzmann integrada se convierte en la conservación de la ecuación de momento:

donde está el tensor de presión (el tensor de tensión viscoso más la presión hidrostática ).

Dejando , la energía cinética de la partícula, la ecuación de Boltzmann integrada se convierte en la ecuación de conservación de energía:

donde es la densidad de energía térmica cinética y es el vector de flujo de calor.

Mecánica hamiltoniana

En la mecánica hamiltoniana , la ecuación de Boltzmann a menudo se escribe de manera más general como

donde L es el operador de Liouville (hay una definición inconsistente entre el operador de Liouville como se define aquí y el del artículo vinculado) que describe la evolución de un volumen de espacio de fase y C es el operador de colisión. La forma no relativista de L es

Teoría cuántica y violación de la conservación del número de partículas

Es posible escribir ecuaciones cuánticas relativistas de Boltzmann para sistemas cuánticos relativistas en los que el número de partículas no se conserva en las colisiones. Esto tiene varias aplicaciones en cosmología física , incluida la formación de elementos ligeros en la nucleosíntesis del Big Bang , la producción de materia oscura y la bariogénesis . No está claro a priori que el estado de un sistema cuántico pueda caracterizarse por una densidad de espacio de fase clásica f . Sin embargo, para una amplia clase de aplicaciones existe una generalización bien definida de f que es la solución de una ecuación de Boltzmann efectiva que puede derivarse de los primeros principios de la teoría cuántica de campos .

Relatividad general y astronomía

La ecuación de Boltzmann es útil en dinámica galáctica. Una galaxia, bajo ciertos supuestos, puede aproximarse como un fluido continuo; su distribución de masa se representa entonces por f ; en las galaxias, las colisiones físicas entre las estrellas son muy raras, y el efecto de las colisiones gravitacionales puede despreciarse durante tiempos mucho más largos que la edad del universo .

Su generalización en relatividad general . es

donde Γ α βγ es el símbolo de Christoffel de segundo tipo (esto supone que no hay fuerzas externas, por lo que las partículas se mueven a lo largo de las geodésicas en ausencia de colisiones), con la importante sutileza de que la densidad es una función en contravariante-covariante mixta ( x i , p i ) espacio de fase en oposición al espacio de fase totalmente contravariante ( x i , p i ).

En cosmología física, el enfoque totalmente covariante se ha utilizado para estudiar la radiación cósmica de fondo de microondas. De manera más genérica, el estudio de los procesos en el universo temprano a menudo intenta tomar en cuenta los efectos de la mecánica cuántica y la relatividad general . En el medio muy denso formado por el plasma primordial después del Big Bang , las partículas se crean y aniquilan continuamente. En tal entorno, la coherencia cuántica y la extensión espacial de la función de onda pueden afectar la dinámica, lo que hace cuestionable si la distribución clásica del espacio de fase f que aparece en la ecuación de Boltzmann es adecuada para describir el sistema. En muchos casos, sin embargo, es posible derivar una ecuación de Boltzmann efectiva para una función de distribución generalizada a partir de los primeros principios de la teoría cuántica de campos . Esto incluye la formación de los elementos ligeros en la nucleosíntesis del Big Bang , la producción de materia oscura y la bariogénesis .

Resolver la ecuación

Se ha demostrado que existen soluciones exactas a las ecuaciones de Boltzmann en algunos casos; este enfoque analítico proporciona información, pero generalmente no se puede utilizar en problemas prácticos.

En cambio, los métodos numéricos (incluidos los métodos de Boltzmann de celosía y elementos finitos ) se utilizan generalmente para encontrar soluciones aproximadas a las diversas formas de la ecuación de Boltzmann. Las aplicaciones de ejemplo van desde la aerodinámica hipersónica en flujos de gas enrarecido hasta flujos de plasma. Una aplicación de la ecuación de Boltzmann en electrodinámica es el cálculo de la conductividad eléctrica; el resultado es en orden inicial idéntico al resultado semiclásico.

Cerca del equilibrio local , la solución de la ecuación de Boltzmann se puede representar mediante una expansión asintótica en potencias de número de Knudsen (la expansión de Chapman-Enskog ). Los dos primeros términos de esta expansión dan las ecuaciones de Euler y las ecuaciones de Navier-Stokes . Los términos superiores tienen singularidades. El problema de desarrollar matemáticamente los procesos limitantes, que conducen desde la visión atomística (representada por la ecuación de Boltzmann) a las leyes del movimiento de los continuos, es una parte importante del sexto problema de Hilbert .

Ver también

Notas

Referencias

  • Harris, Stewart (1971). Introducción a la teoría de la ecuación de Boltzmann . Libros de Dover. pag. 221. ISBN 978-0-486-43831-3.. Introducción muy económica al marco moderno (a partir de una deducción formal de Liouville y la jerarquía Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon (BBGKY) en la que se coloca la ecuación de Boltzmann). La mayoría de los libros de texto de mecánica estadística como Huang todavía tratan el tema utilizando los argumentos originales de Boltzmann. Para derivar la ecuación, estos libros utilizan una explicación heurística que no resalta el rango de validez y los supuestos característicos que distinguen a la de Boltzmann de otras ecuaciones de transporte como las ecuaciones de Fokker-Planck o Landau .

enlaces externos