Coeficiente de restitución - Coefficient of restitution

Una pelota que rebota capturada con un flash estroboscópico a 25 imágenes por segundo: ignorando la resistencia del aire , la raíz cuadrada de la relación entre la altura de un rebote y la del rebote anterior da el coeficiente de restitución del impacto de la bola / superficie.

El coeficiente de restitución ( COR , también denotado por e ), es la relación entre la velocidad relativa final e inicial entre dos objetos después de que chocan . Normalmente varía de 0 a 1, donde 1 sería una colisión perfectamente elástica . Una colisión perfectamente inelástica tiene un coeficiente de 0, pero un valor 0 no tiene por qué ser perfectamente inelástico. Se mide en la prueba de dureza de rebote de Leeb , expresada como 1000 veces la COR, pero solo es una COR válida para la prueba, no como una COR universal para el material que se está probando.

El valor es casi siempre menor que 1 debido a que la energía cinética de traslación inicial se pierde debido a la energía cinética de rotación , la deformación plástica y el calor. Puede ser más de 1 si hay una ganancia de energía durante la colisión a partir de una reacción química , una reducción en la energía de rotación u otra disminución de energía interna que contribuya a la velocidad posterior a la colisión .

${\ displaystyle {\ text {Coeficiente de restitución}} (e) = {\ frac {\ left | {\ text {Velocidad relativa después de la colisión}} \ right |} {\ left | {\ text {Velocidad relativa antes de la colisión} } \ right |}}}$

Las matemáticas fueron desarrolladas por Sir Isaac Newton en 1687. También se conoce como ley experimental de Newton.

Más detalles

Línea de impacto : es la línea a lo largo de la cual se define e o, en ausencia de una fuerza de reacción tangencial entre superficies en colisión, la fuerza de impacto se comparte a lo largo de esta línea entre los cuerpos. Durante el contacto físico entre cuerpos durante el impacto, su línea a lo largo de la normal común a un par de superficies en contacto de cuerpos en colisión. Por tanto, e se define como un parámetro unidimensional adimensional.

Rango de valores para e - tratado como una constante

e suele ser un número real positivo entre 0 y 1:

e = 0 : esta es una colisión perfectamente inelástica . Esto significa que la energía cinética a lo largo de la normal común es 0. La energía cinética se convierte en calor o trabajo realizado para deformar los objetos.

0 < e <1 : esta es una colisión inelástica del mundo real , en la que se disipa algo de energía cinética.

e = 1 : Se trata de unacolisiónperfectamente elástica , en la que no se disipa energía cinética y los objetos rebotan entre sí con la misma velocidad relativa con la que se acercaron.

e <0 : Un COR menor que cero representaría una colisión en la que la velocidad de separación de los objetos tiene la misma dirección (signo) que la velocidad de cierre, lo que implica que los objetos se atraviesan entre sí sin engancharse completamente. Esto también puede considerarse como una transferencia incompleta de impulso. Un ejemplo de esto podría ser un objeto pequeño y denso que atraviesa uno grande y menos denso, por ejemplo, una bala que atraviesa un objetivo.

e > 1 : Esto representaría una colisión en la que se libera energía, por ejemplo,las bolas de billar de nitrocelulosa pueden literalmente explotar en el punto de impacto. Además, algunos artículos recientes han descrito colisiones superelásticas en las que se argumenta que el COR puede tomar un valor superior a uno en un caso especial de colisiones oblicuas. Estos fenómenos se deben al cambio de trayectoria de rebote provocado por la fricción. En tal colisión, la energía cinética aumenta de una manera que se libera en algún tipo de explosión. Es posible quepara una perfecta explosión de un sistema rígido. ${\ Displaystyle e = \ infty}$

Fase de deformación máxima : en cualquier colisión para 0 < e ≤ 1, existe una condición en la que, por un momento corto a lo largo de la línea de impacto, los cuerpos en colisión tienen la misma velocidad cuando su condición de energía cinética se pierde en la fracción máxima como calor, sonido y luz con deformación. energía potencial. Para esta corta duración, esta colisión e = 0 y puede denominarse fase inelástica.

Objetos emparejados

El COR es una propiedad de un par de objetos en una colisión, no de un solo objeto. Si un objeto dado choca con dos objetos diferentes, cada colisión tendría su propio COR. Cuando se describe un objeto con un coeficiente de restitución, como si fuera una propiedad intrínseca sin referencia a un segundo objeto, se asume que está entre esferas idénticas o contra una pared perfectamente rígida.

Una pared perfectamente rígida no es posible, pero puede aproximarse mediante un bloque de acero si se investiga el COR de esferas con un módulo de elasticidad mucho menor. De lo contrario, el COR aumentará y luego disminuirá en función de la velocidad de colisión de una manera más complicada.

Relación con la conservación de la energía y el impulso.

En una colisión unidimensional, los dos principios clave son: conservación de la energía (conservación de la energía cinética si la colisión es perfectamente elástica) y conservación del momento (lineal). Una tercera ecuación se puede derivar de estos dos, que es la ecuación de restitución como se indicó anteriormente. Al resolver problemas, se pueden usar dos de las tres ecuaciones. La ventaja de utilizar la ecuación de restitución es que a veces proporciona una forma más conveniente de abordar el problema.

Sea , la masa del objeto 1 y el objeto 2 respectivamente. Sea , la velocidad inicial del objeto 1 y el objeto 2 respectivamente. Sea , la velocidad final del objeto 1 y el objeto 2 respectivamente. ${\ Displaystyle m_ {1}}$${\ Displaystyle m_ {2}}$${\ Displaystyle u_ {1}}$${\ Displaystyle u_ {2}}$${\ Displaystyle v_ {1}}$${\ Displaystyle v_ {2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {1} {2}} m_ {1} u_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} u_ {2} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} \\ m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2} \ end {cases}}}$

De la primera ecuación,

${\ Displaystyle m_ {1} (u_ {1} ^ {2} -v_ {1} ^ {2}) = m_ {2} (v_ {2} ^ {2} -u_ {2} ^ {2}) }$

${\ Displaystyle m_ {1} (u_ {1} + v_ {1}) (u_ {1} -v_ {1}) = m_ {2} (v_ {2} + u_ {2}) (v_ {2} -u_ {2})}$

De la segunda ecuación,

${\ Displaystyle m_ {1} (u_ {1} -v_ {1}) = m_ {2} (v_ {2} -u_ {2})}$

Después de la división,

${\ Displaystyle u_ {1} + v_ {1} = v_ {2} + u_ {2}}$

${\ Displaystyle u_ {1} -u_ {2} = - (v_ {1} -v_ {2})}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ left | v_ {1} -v_ {2} \ right |} {\ left | u_ {1} -u_ {2} \ right |}} = 1}$

La ecuación anterior es la ecuación de restitución y el coeficiente de restitución es 1, que es una colisión perfectamente elástica.

Equipo deportivo

Los conductores de palos de golf de cara delgada utilizan un "efecto de trampolín" que crea impulsos de una mayor distancia como resultado de la flexión y posterior liberación de la energía almacenada que imparte un mayor impulso a la pelota. La USGA (el organismo rector del golf en Estados Unidos) prueba a los conductores para detectar COR y ha establecido el límite superior en 0,83. COR es una función de las velocidades de la cabeza del palo y disminuye a medida que aumenta la velocidad de la cabeza del palo. En el informe, el COR oscila entre 0,845 a 90 mph y tan solo 0,797 a 130 mph. El "efecto trampolín" mencionado anteriormente lo demuestra, ya que reduce la tasa de estrés de la colisión al aumentar el tiempo de la colisión. Según un artículo (que aborda el COR en raquetas de tenis ), "[p] o las Condiciones de referencia, el coeficiente de restitución utilizado es 0,85 para todas las raquetas, eliminando las variables de tensión de las cuerdas y rigidez del marco que podrían sumar o restar del coeficiente de restitución."

La Federación Internacional de Tenis de Mesa especifica que la pelota rebotará hacia arriba de 24 a 26 cm cuando se la deje caer desde una altura de 30,5 cm sobre un bloque de acero estándar con un COR de 0,887 a 0,923.

El COR de una pelota de baloncesto se designa exigiendo que la pelota rebote a una altura de entre 960 y 1160 mm cuando se deja caer desde una altura de 1800 mm, lo que da como resultado un COR de entre 0,53 y 0,64.

Ecuaciones

En el caso de una colisión unidimensional que involucre dos objetos, el objeto A y el objeto B, el coeficiente de restitución viene dado por:

${\ Displaystyle C_ {R} = {\ frac {\ left | v _ {\ text {b}} - v _ {\ text {a}} \ right |} {\ left | u _ {\ text {a}} - u_ {\ text {b}} \ right |}}}$, dónde:

${\ Displaystyle v _ {\ text {a}}}$ es la velocidad final del objeto A después del impacto

${\ Displaystyle v _ {\ text {b}}}$ es la velocidad final del objeto B después del impacto

${\ Displaystyle u _ {\ text {a}}}$ es la velocidad inicial del objeto A antes del impacto

${\ Displaystyle u _ {\ text {b}}}$ es la velocidad inicial del objeto B antes del impacto

Aunque no depende explícitamente de las masas de los objetos, es importante tener en cuenta que las velocidades finales dependen de la masa. Para colisiones bidimensionales y tridimensionales de cuerpos rígidos, las velocidades utilizadas son las componentes perpendiculares a la línea / plano tangente en el punto de contacto, es decir, a lo largo de la línea de impacto. ${\ Displaystyle C_ {R}}$

Para un objeto que rebota en un objetivo estacionario, se define como la relación entre la velocidad del objeto después del impacto y la anterior al impacto: ${\ Displaystyle C_ {R}}$

${\ Displaystyle C_ {R} = {\ frac {v} {u}}}$, dónde

${\ Displaystyle v}$ es la velocidad del objeto después del impacto

${\ Displaystyle u}$ es la velocidad del objeto antes del impacto

En un caso en el que las fuerzas de fricción pueden despreciarse y el objeto se deja caer desde el reposo sobre una superficie horizontal, esto es equivalente a:

${\ Displaystyle C_ {R} = {\ sqrt {\ frac {h} {H}}}}$, dónde

${\ Displaystyle h}$ es la altura de rebote

${\ Displaystyle H}$ es la altura de caída

El coeficiente de restitución se puede considerar como una medida del grado en que se conserva la energía mecánica cuando un objeto rebota en una superficie. En el caso de un objeto que rebota en un objetivo estacionario, el cambio en la energía potencial gravitacional , PE , durante el curso del impacto es esencialmente cero; por lo tanto, es una comparación entre la energía cinética, KE , del objeto inmediatamente antes del impacto con la inmediatamente después del impacto: ${\ Displaystyle C_ {R}}$

${\ displaystyle C_ {R} = {\ sqrt {\ frac {KE _ {\ text {(después del impacto)}}} {KE _ {\ text {(antes del impacto)}}}}} = {\ sqrt {\ frac { {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}} {{\ frac {1} {2}} mu ^ {2}}}} = {\ sqrt {\ frac {v ^ {2}} { u ^ {2}}}} = {\ frac {v} {u}}}$

En los casos en los que se pueden despreciar las fuerzas de fricción (casi todos los estudiantes de laboratorio sobre este tema) y el objeto se deja caer desde el reposo sobre una superficie horizontal, lo anterior es equivalente a una comparación entre el PE del objeto a la altura de caída con ese a la altura de rebote. En este caso, el cambio en KE es cero (el objeto está esencialmente en reposo durante el curso del impacto y también está en reposo en el vértice del rebote); por lo tanto:

${\ displaystyle C_ {R} = {\ sqrt {\ frac {PE _ {\ text {(a la altura de rebote)}}} {PE _ {\ text {(a la altura de caída)}}}}} = {\ sqrt {\ frac {mgh} {mgH}}} = {\ sqrt {\ frac {h} {H}}}}$

Velocidades después del impacto

Las ecuaciones para las colisiones entre partículas elásticas se pueden modificar para usar el COR, volviéndose aplicables también a las colisiones inelásticas y a todas las posibilidades intermedias.

${\ Displaystyle v_ {a} = {\ frac {m _ {\ text {a}} u _ {\ text {a}} + m _ {\ text {b}} u _ {\ text {b}} + m _ {\ text {b}} C_ {R} (u _ {\ text {b}} - u _ {\ text {a}})} {m _ {\ text {a}} + m _ {\ text {b}}}}}$

y

${\ Displaystyle v _ {\ text {b}} = {\ frac {m _ {\ text {a}} u _ {\ text {a}} + m _ {\ text {b}} u _ {\ text {b}} + m _ {\ text {a}} C_ {R} (u _ {\ text {a}} - u _ {\ text {b}})} {m _ {\ text {a}} + m _ {\ text {b}} }}}$

dónde

${\ Displaystyle v _ {\ text {a}}}$ es la velocidad final del primer objeto después del impacto

${\ Displaystyle v _ {\ text {b}}}$ es la velocidad final del segundo objeto después del impacto

${\ Displaystyle u _ {\ text {a}}}$ es la velocidad inicial del primer objeto antes del impacto

${\ Displaystyle u _ {\ text {b}}}$ es la velocidad inicial del segundo objeto antes del impacto

${\ Displaystyle m _ {\ text {a}}}$ es la masa del primer objeto

${\ Displaystyle m _ {\ text {b}}}$ es la masa del segundo objeto

Derivación

Las ecuaciones anteriores pueden derivarse de la solución analítica del sistema de ecuaciones formado por la definición del COR y la ley de conservación del momento (que se aplica a todas las colisiones). Usando la notación de arriba donde representa la velocidad antes y después de la colisión , se obtiene: ${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle v}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & m _ {\ text {a}} u _ {\ text {a}} + m _ {\ text {b}} u _ {\ text {b}} = m _ {\ text {a} } v _ {\ text {a}} + m _ {\ text {b}} v _ {\ text {b}} \\ & C_ {R} = {\ frac {\ left | v _ {\ text {b}} - v_ {\ text {a}} \ right |} {\ left | u _ {\ text {a}} - u _ {\ text {b}} \ right |}} \\\ end {alineado}}}$

Resolviendo la ecuación de conservación del momento y la definición del coeficiente de restitución para los rendimientos: ${\ Displaystyle v _ {\ text {a}}}$${\ Displaystyle v _ {\ text {b}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ frac {m _ {\ text {a}} u _ {\ text {a}} + m _ {\ text {b}} u _ {\ text {b}} - m_ { \ text {b}} v _ {\ text {b}}} {m _ {\ text {a}}}} = v _ {\ text {a}} \\ & v _ {\ text {b}} = C_ {R} (u _ {\ text {a}} - u _ {\ text {b}}) + v _ {\ text {a}} \\\ end {alineado}}}$

A continuación, la sustitución en la primera ecuación y luego la resolución de da: ${\ Displaystyle v _ {\ text {b}}}$${\ Displaystyle v _ {\ text {a}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ frac {m _ {\ text {a}} u _ {\ text {a}} + m _ {\ text {b}} u _ {\ text {b}} - m_ { \ text {b}} C_ {R} (u _ {\ text {a}} - u _ {\ text {b}}) - m _ {\ text {b}} v _ {\ text {a}}} {m_ { \ text {a}}}} = v _ {\ text {a}} \\ & \\ & {\ frac {m _ {\ text {a}} u _ {\ text {a}} + m _ {\ text {b }} u _ {\ text {b}} + m _ {\ text {b}} C_ {R} (u _ {\ text {b}} - u _ {\ text {a}})} {m _ {\ text {a }}}} = v _ {\ text {a}} \ left [1 + {\ frac {m _ {\ text {b}}} {m _ {\ text {a}}}} \ right] \\ & \\ & {\ frac {m _ {\ text {a}} u _ {\ text {a}} + m _ {\ text {b}} u _ {\ text {b}} + m _ {\ text {b}} C_ {R } (u _ {\ text {b}} - u _ {\ text {a}})} {m _ {\ text {a}} + m _ {\ text {b}}}} = v _ {\ text {a}} \\\ end {alineado}}}$

Una derivación similar produce la fórmula para . ${\ Displaystyle v _ {\ text {b}}}$

Variación de COR debido a la forma del objeto y colisiones descentradas

Cuando los objetos que chocan no tienen una dirección de movimiento que esté en línea con sus centros de gravedad y punto de impacto, o si sus superficies de contacto en ese punto no son perpendiculares a esa línea, algo de energía que habría estado disponible para el poste. -La diferencia de velocidad de colisión se perderá debido a la rotación y la fricción. Las pérdidas de energía por vibración y el sonido resultante suelen ser insignificantes.

Chocando diferentes materiales y medición práctica

Cuando un objeto blando golpea un objeto más duro, la mayor parte de la energía disponible para la velocidad posterior a la colisión se almacenará en el objeto blando. El COR dependerá de qué tan eficiente sea el objeto blando para almacenar la energía en compresión sin perderla por el calor y la deformación plástica. Una pelota de goma rebotará mejor en el concreto que una bola de vidrio, pero el COR de vidrio sobre vidrio es mucho más alto que el de goma sobre caucho porque parte de la energía del caucho se pierde en calor cuando se comprime. Cuando una bola de goma choca con una bola de vidrio, el COR dependerá completamente de la goma. Por esta razón, la determinación de la COR de un material cuando no hay material idéntico para la colisión se realiza mejor utilizando un material mucho más duro.

Dado que no existe un material perfectamente rígido, los materiales duros como los metales y la cerámica tienen su COR determinado teóricamente considerando la colisión entre esferas idénticas. En la práctica, se puede emplear un soporte de Newton de 2 bolas , pero tal configuración no es propicia para analizar muestras rápidamente.

La prueba de dureza de rebote de Leeb es la única prueba comúnmente disponible relacionada con la determinación del COR. Utiliza una punta de carburo de tungsteno, una de las sustancias más duras disponibles, que se deja caer sobre muestras de prueba desde una altura específica. Pero la forma de la punta, la velocidad de impacto y el carburo de tungsteno son todas variables que afectan el resultado que se expresa en términos de 1000 * COR. No proporciona un COR objetivo para el material que sea independiente de la prueba.

En Willert (2020) se puede encontrar un estudio completo de los coeficientes de restitución en función de las propiedades del material (módulos elásticos, reología), la dirección del impacto, el coeficiente de fricción y las propiedades adhesivas de los cuerpos impactantes.

Predecir a partir de las propiedades del material

El COR no es una propiedad del material porque cambia con la forma del material y los detalles de la colisión, pero se puede predecir a partir de las propiedades del material y la velocidad del impacto cuando se simplifican los detalles de la colisión. Para evitar las complicaciones de las pérdidas por rotación y fricción, podemos considerar el caso ideal de un par idéntico de objetos esféricos, chocando de modo que sus centros de masa y velocidad relativa estén todos alineados.

Se supone que muchos materiales como metales y cerámicas (pero no cauchos y plásticos) son perfectamente elásticos cuando no se alcanza su límite elástico durante el impacto. La energía del impacto se almacena teóricamente sólo en el efecto de resorte de la compresión elástica y da como resultado e = 1. Pero esto se aplica sólo a velocidades inferiores a aproximadamente 0,1 m / sa 1 m / s. El rango elástico se puede exceder a velocidades más altas porque toda la energía cinética se concentra en el punto de impacto. En concreto, el límite elástico suele superarse en parte del área de contacto, perdiendo energía por deformación plástica al no permanecer en la región elástica. Para tener en cuenta esto, lo siguiente estima el COR estimando el porcentaje de la energía de impacto inicial que no se perdió por deformación plástica. Aproximadamente, divide la facilidad con la que un volumen del material puede almacenar energía en compresión ( ) por lo bien que puede permanecer en el rango elástico ( ): ${\ displaystyle 1 / {\ text {módulo elástico}}}$${\ displaystyle 1 / {\ text {límite de rendimiento}}}$

${\ displaystyle \% {\ text {energía de impacto disponible para restitución}} \ propto {\ frac {\ text {límite de fluencia}} {\ text {módulo elástico}}}}$

Para una densidad y velocidad de material dada, esto da como resultado:

${\ displaystyle {\ text {coeficiente de restitución}} \ propto {\ sqrt {\ frac {\ text {límite de fluencia}} {\ text {módulo elástico}}}}}$

Un alto límite elástico permite que una mayor parte del "volumen de contacto" del material permanezca en la región elástica a energías más altas. Un módulo elástico más bajo permite que se desarrolle un área de contacto más grande durante el impacto, por lo que la energía se distribuye a un volumen más grande debajo de la superficie en el punto de contacto. Esto ayuda a evitar que se supere el límite elástico.

Un desarrollo teórico más preciso muestra que la velocidad y la densidad del material también son importantes al predecir el COR a velocidades moderadas más rápido que la colisión elástica (más de 0,1 m / s para los metales) y más lento que la gran deformación plástica permanente (menos de 100 m). /s). Una velocidad más baja aumenta el coeficiente al necesitar menos energía para ser absorbida. Una densidad más baja también significa que se necesita absorber menos energía inicial. Se usa la densidad en lugar de la masa porque el volumen de la esfera se cancela con el volumen del volumen afectado en el área de contacto. De esta forma, el radio de la esfera no afecta el coeficiente. Un par de esferas en colisión de diferentes tamaños pero del mismo material tienen el mismo coeficiente que a continuación, pero multiplicado por${\ Displaystyle \ left ({\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} \ right) ^ {\ frac {3} {8}}}$

Combinando estas cuatro variables, se puede hacer una estimación teórica del coeficiente de restitución cuando se deja caer una pelota sobre una superficie del mismo material.

• e = coeficiente de restitución
• S _y = límite elástico dinámico ("límite elástico" dinámico)
• E ′ = módulo elástico efectivo
• ρ = densidad
• v = velocidad en el impacto
• μ = relación de Poisson

${\ Displaystyle e = 3.1 \ left ({\ frac {S _ {\ text {y}}} {1}} \ right) ^ {\ frac {5} {8}} \ left ({\ frac {1} { E '}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {v}} \ right) ^ {\ frac {1} {4}} \ left ({\ frac {1} {\ rho}} \ right) ^ {\ frac {1} {8}}}$

${\ Displaystyle E '= {\ frac {E} {1- \ mu ^ {2}}}}$

Esta ecuación sobreestima el COR real. Para metales, se aplica cuando v está aproximadamente entre 0,1 m / sy 100 m / sy en general cuando:

${\ Displaystyle 0.001 <{\ frac {\ rho v ^ {2}} {S _ {\ text {y}}}} <0.1}$

A velocidades más lentas, el COR es más alto de lo que predice la ecuación anterior, alcanzando teóricamente e = 1 cuando la fracción anterior es menor que m / s. Da el siguiente coeficiente teórico de restitución para esferas sólidas caídas 1 metro ( v = 4,5 m / s). Los valores superiores a 1 indican que la ecuación tiene errores. Se utilizó el límite elástico en lugar del límite elástico dinámico. ${\ displaystyle 10 ^ {- 6}}$

Los COR para plásticos y cauchos son mayores que sus valores reales porque no se comportan tan idealmente elásticos como los metales, vidrios y cerámicas debido al calentamiento durante la compresión. Por tanto, la siguiente es solo una guía para la clasificación de polímeros.

Polímeros (sobreestimados en comparación con metales y cerámicas):

• polibutadieno (cascarón de pelotas de golf)
• caucho butílico
• EVA
• elastómeros de silicona
• policarbonato
• nylon
• polietileno
• Teflón
• polipropileno
• abdominales
• acrílico
• MASCOTA
• poliestireno
• CLORURO DE POLIVINILO

Para los metales, el rango de velocidades a las que se puede aplicar esta teoría es de aproximadamente 0,1 a 5 m / s, que es una caída de 0,5 mm a 1,25 metros (página 366).

Ver también

• Pelota que rebota
• Colisión
• Resiliencia

Referencias

Trabajos citados

enlaces externos

• Artículo de Wolfram sobre COR
• Bennett y Meepagala (2006). "Coeficientes de restitución" . El libro de datos de física .
• Introducción a la física de Chris Hecker
• "Obtener un rebote extra" por Chelsea Wald
• Conceptos de calidad de la FIFA para balones de fútbol: rebote uniforme
• Bowley, Roger (2009). "Coeficiente de restitución" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .