Operador estrella Hodge - Hodge star operator

En matemáticas , el operador de estrella de Hodge o la estrella de Hodge es un mapa lineal definido en el álgebra exterior de un espacio vectorial orientado de dimensión finita dotado de una forma bilineal simétrica no degenerada . Aplicar el operador a un elemento del álgebra produce el dual de Hodge del elemento. Este mapa fue presentado por WVD Hodge .

Por ejemplo, en un espacio euclidiano tridimensional orientado, un plano orientado puede ser representado por el producto exterior de dos vectores base, y su dual de Hodge es el vector normal dado por su producto cruzado ; a la inversa, cualquier vector es dual al plano orientado perpendicular a él, dotado de un bivector adecuado. Generalizando esto a un espacio vectorial n- dimensional, la estrella de Hodge es un mapeo uno a uno de k -vectores a ( n - k ) -vectores; las dimensiones de estos espacios son los coeficientes binomiales . ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{n-k}}}$

La naturalidad de los medios de operador estrella que puede desempeñar un papel en la geometría diferencial, cuando se aplica a la cotangente haz de una variedad pseudoriemanniana , y por lo tanto a diferencia de k -formas . Esto permite la definición del codiferencial como el adjunto de Hodge de la derivada exterior , lo que lleva al operador de Laplace-de Rham . Esto generaliza el caso del espacio euclidiano tridimensional, en el que la divergencia de un campo vectorial puede realizarse como el opuesto codiferencial del operador de gradiente , y el operador de Laplace en una función es la divergencia de su gradiente. Una aplicación importante es la descomposición de Hodge de formas diferenciales en una variedad Riemanniana cerrada .

Definición formal para k -vectores

Sea V un espacio vectorial n- dimensional con una forma bilineal simétrica no degenerada, al que nos referiremos aquí como un producto interno. Esto induce un producto interno en k -vectores , porque , al definirlo en k -vectores descomponibles e igualar el determinante de Gram${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\textstyle \alpha ,\beta \in \bigwedge ^{\!k}V}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\det \left(\left\langle \alpha _{i},\beta _{j}\right\rangle _{i,j=1}^{k}\right)}$

extendido a través de la linealidad. ${\textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$

La unidad n -vector se define en términos de una base ortonormal orientada de V como: ${\displaystyle \omega \in {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle \omega \ :=\ e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}.}$

El operador de estrella de Hodge es un operador lineal en el álgebra exterior de V , mapeando k -vectores a ( n - k ) -vectores, para . Tiene la siguiente propiedad, que lo define completamente: ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle \alpha \wedge ({\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \,\omega }$por cada par de k -vectores${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.}$

Dually, en el espacio de n -formas (alternando n funciones -multilinear sobre ), la doble a es la forma de volumen , la función cuyo valor en es el determinante de la matriz de ensamblado a partir de los vectores columna de en coordenadas x. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V^{*}}$${\displaystyle V^{n}}$${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \det }$${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

Aplicando la ecuación anterior, obtenemos la definición dual: ${\displaystyle \det }$

${\displaystyle \det(\alpha \wedge {\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle .}$

o equivalentemente, la toma , y : ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$${\displaystyle \star \beta =\beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }}$

${\displaystyle \det \left(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }\right)\ =\ \det \left(\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle \right).}$

Esto significa que, al escribir una base ortonormal de k -vectores como sobre todos los subconjuntos de , el dual de Hodge es el ( n - k ) -vector correspondiente al conjunto complementario : ${\displaystyle e_{I}\ =\ e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$${\displaystyle I=\{i_{1}<\cdots <i_{k}\}}$${\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle {\bar {I}}=[n]\setminus I=\left\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{n-k}\right\}}$

${\displaystyle {\star }e_{I}=(-1)^{\sigma (I)}e_{\bar {I}},}$

donde está el signo de la permutación . ${\displaystyle (-1)^{\sigma (I)}}$${\displaystyle \sigma (I)=i_{1}\cdots i_{k}{\bar {i}}_{1}\cdots {\bar {i}}_{n-k}}$

Dado que la estrella de Hodge toma una base ortonormal a una base ortonormal, es una isometría en el álgebra exterior . ${\textstyle \bigwedge V}$

Explicación geométrica

La estrella de Hodge está motivada por la correspondencia entre un subespacio W de V y su subespacio ortogonal (con respecto al producto interno), donde cada espacio está dotado de una orientación y un factor de escala numérico. Específicamente, un k -vector descomponible distinto de cero corresponde por la incrustación de Plücker al subespacio con base orientada , dotado de un factor de escala igual al volumen k- dimensional del paralelepípedo generado por esta base (igual al Gramian , el determinante de la matriz de productos internos ). La estrella de Hodge que actúa sobre un vector descomponible se puede escribir como un vector descomponible ( n - k ): ${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in \textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k}}$${\displaystyle \langle w_{i},w_{j}\rangle }$

${\displaystyle \star (w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k})\,=\,u_{1}\wedge \cdots \wedge u_{n-k},}$

donde forman una base orientada del espacio ortogonal . Además, el ( n - k ) -volumen de la necesidad -parallelepiped igual a la k -volumen de la -parallelepiped, y deben formar una base orientada de V . ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$ ${\displaystyle U=W^{\perp }\!}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$

Un vector k general es una combinación lineal de vectores k descomponibles , y la definición de la estrella de Hodge se extiende a los vectores k generales definiéndola como lineal.

Ejemplos de

Dos dimensiones

En dos dimensiones con la métrica euclidiana normalizada y la orientación dada por el orden ( x , y ) , la estrella de Hodge en las formas k viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,1&=dx\wedge dy\\{\star }\,dx&=dy\\{\star }\,dy&=-dx\\{\star }(dx\wedge dy)&=1.\end{aligned}}}$

En el plano complejo considerado como un espacio vectorial real con la forma sesquilínea estándar como métrica, la estrella Hodge tiene la propiedad notable de que es invariante bajo cambios holomórficos de coordenadas. Si z = x + iy es una función holomórfica de w = u + iv , entonces por las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos que ∂ x/∂ u = ∂ y/∂ v y ∂ y/∂ u = -∂ x/∂ v. En las nuevas coordenadas

${\displaystyle \alpha \ =\ p\,dx+q\,dy\ =\ \left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)\,du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)\,dv\ =\ p_{1}du+q_{1}\,dv,}$

así que eso

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\alpha &=-q_{1}\,du+p_{1}\,dv\\[4pt]&=-\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)dv\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)+p\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right)\\[4pt]&=-q\,dx+p\,dy,\end{aligned}}}$

probando la invariancia declarada.

Tres dimensiones

Un ejemplo común del operador de estrella de Hodge es el caso n = 3 , cuando se puede tomar como la correspondencia entre vectores y bivectores. Específicamente, para Euclidean R ³ con la base de formas uno a menudo utilizadas en el cálculo vectorial , se encuentra que ${\displaystyle dx,dy,dz}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,dx&=dy\wedge dz\\{\star }\,dy&=dz\wedge dx\\{\star }\,dz&=dx\wedge dy.\end{aligned}}}$

La estrella de Hodge relaciona el producto exterior y transversal en tres dimensiones:

${\displaystyle {\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .}$

Aplicada a tres dimensiones, la estrella Hodge proporciona un isomorfismo entre vectores axiales y bivectores , por lo que cada vector axial una se asocia con un bivector A y viceversa, que es: . La estrella de Hodge también se puede interpretar como una forma de correspondencia geométrica entre un eje y una rotación infinitesimal alrededor del eje, con una velocidad igual a la longitud del vector del eje. Un producto interno en un espacio vectorial da un isomorfismo que se identifica con su espacio dual , y el espacio de todos los operadores lineales es naturalmente isomorfo al producto tensorial . Así , para , el mapeo de estrellas lleva cada vector a un bivector , que corresponde a un operador lineal . Específicamente, es un operador simétrico sesgado , que corresponde a una rotación infinitesimal : es decir, las rotaciones macroscópicas alrededor del eje vienen dadas por la matriz exponencial . Con respecto a la base de , el tensor corresponde a una matriz de coordenadas con 1 en la fila y columna, etc., y la cuña es la matriz sesgada-simétrica , etc. Es decir, podemos interpretar el operador estrella como:${\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} ,\ \ \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\cong V^{*}\!}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L:V\to V}$ ${\displaystyle V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \textstyle \star :V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \star \mathbf {v} \in V\otimes V}$${\displaystyle L_{\mathbf {v} }:V\to V}$${\displaystyle L_{\mathbf {v} }}$${\displaystyle \mathbb {v} }$ ${\displaystyle \exp(tL_{\mathbf {v} })}$${\displaystyle dx,dy,dz}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle dx\otimes dy}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx}$${\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]}$

${\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad \star {\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].}$

Bajo esta correspondencia, producto cruzado de vectores corresponde a la del conmutador corchete de Lie de operadores lineales: . ${\displaystyle L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }-L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }}$

Cuatro dimensiones

En caso de que , la estrella de Hodge actúa como un endomorfismo del segundo poder exterior (es decir, mapea 2 formas a 2 formas, ya que 4 - 2 = 2 ). Si la firma del tensor métrico es toda positiva, es decir, en una variedad de Riemann , entonces la estrella de Hodge es una involución . Si la firma es mixta, es decir, pseudo-riemanniana , la aplicación dos veces devolverá el argumento a un signo; consulte § Dualidad a continuación. Esta propiedad de endomorfismo particular de 2 formas en cuatro dimensiones hace que sean objetos geométricos naturales de dos formas auto-dual y anti-auto-dual para estudiar. Es decir, se puede describir el espacio de 2 formas en cuatro dimensiones con una base que “diagonaliza” la operación de la estrella de Hodge con valores propios (o , dependiendo de la firma). ${\displaystyle n=4}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm i}$

En aras de la concreción, hablamos de Hodge dual en el espacio-tiempo de Minkowski donde con firma métrica y coordenadas . La forma de volumen está orientada como . Para una forma , ${\displaystyle n=4}$${\displaystyle (-+++)}$${\displaystyle (t,x,y,z)}$${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\star dt&=-dx\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dx&=-dt\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dy&=dt\wedge dx\wedge dz\,,\\\star dz&=-dt\wedge dx\wedge dy\,,\end{aligned}}}$

mientras que para 2 formas ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\,,\\\star (dt\wedge dy)&=-dz\wedge dx\,,\\\star (dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\,,\\\star (dx\wedge dy)&=dt\wedge dz\,,\\\star (dx\wedge dz)&=-dt\wedge dy\,,\\\star (dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{aligned}}}$

Estos se resumen en la notación de índice como

${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dx^{\mu })&=\eta ^{\mu \lambda }\varepsilon _{\lambda \nu \rho \sigma }{\frac {1}{3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,,\\\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })&=\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,.\end{aligned}}}$

Hodge dual para tres y cuatro formas se puede deducir fácilmente del hecho de que, en la firma de Lorentz, para formas de rango impar y para formas de rango par. Una regla fácil de recordar para estas operaciones de Hodge es que dada una forma , su dual de Hodge puede obtenerse escribiendo los componentes no involucrados en un orden tal que . Un signo menos adicional entrará solo si contiene . (Para (+ - - -) , se pone un signo menos solo si involucra un número impar de las formas asociadas al espacio , y .) ${\displaystyle (\star )^{2}=1}$${\displaystyle (\star )^{2}=-1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\star }\alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha \wedge (\star \alpha )=dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dt}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dz}$

Tenga en cuenta que las combinaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }:={\frac {1}{2}}{\big (}dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\mp i\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}\end{aligned}}}$

toma como valor propio para Hodge dual, es decir, ${\displaystyle \pm i}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }=\pm i(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }\,,\end{aligned}}}$

y por lo tanto merecen el nombre de dos formas auto-dual y anti-auto-dual. Comprender la geometría, o cinemática, del espacio-tiempo de Minkowski en los sectores auto-dual y anti-auto-dual resulta ser revelador tanto en perspectivas matemáticas como físicas , haciendo contactos con el uso del lenguaje de dos espinor en la física moderna como el espinor. -formalismo de helicidad o teoría de twistor .

Invariancia conforme

La estrella de Hodge es conforme invariante en n formas en un espacio vectorial de 2n dimensión V, es decir, si es una métrica en y , entonces las estrellas de Hodge inducidas ${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle \star _{g},\star _{\lambda g}\colon \Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V}$

son lo mismo.

Ejemplo: derivadas en tres dimensiones

La combinación del operador y la derivada exterior d genera los operadores clásicos grad , curl y div en campos vectoriales en el espacio euclidiano tridimensional. Esto funciona de la siguiente manera: d toma una forma 0 (una función) a una forma 1, una forma 1 a una forma 2 y una forma 2 a una forma 3 (y toma una forma 3 para cero). Para una forma 0 , el primer caso escrito en componentes da: ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle f=f(x,y,z)}$

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz.}$

El producto interno identifica formularios 1 con campos vectoriales como , etc., de modo que se convierte en . ${\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)}$${\displaystyle df}$${\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}$

En el segundo caso, un campo vectorial corresponde a la forma 1 , que tiene derivada exterior: ${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$

${\displaystyle d\varphi =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}$

Al aplicar la estrella de Hodge se obtiene la forma 1:

${\displaystyle \star d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,}$

que se convierte en el campo vectorial . ${\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,-{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial z}},\,{\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)}$

En el tercer caso, nuevamente corresponde a . Aplicando la estrella de Hodge, la derivada exterior y la estrella de Hodge nuevamente: ${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\star \varphi &=A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz,\\\star d{\star \varphi }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}}$

Una ventaja de esta expresión es que la identidad d ² = 0 , que es verdadera en todos los casos, tiene como casos especiales otras dos identidades: 1) curl grad f = 0 , y 2) div curl F = 0 . En particular, las ecuaciones de Maxwell adquieren una forma particularmente simple y elegante, cuando se expresan en términos de la derivada exterior y la estrella de Hodge. La expresión (multiplicada por una potencia apropiada de -1) se llama codiferencial ; se define con total generalidad, para cualquier dimensión, más adelante en el artículo siguiente. ${\displaystyle \star d\star }$

También se puede obtener el Laplaciano Δ  f  = div grad  f en términos de las operaciones anteriores:

${\displaystyle \Delta f=\star d{\star df}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

El laplaciano también puede verse como un caso especial del operador más general de Laplace-deRham donde es el codiferencial para -formas. Cualquier función es una forma 0, por lo que esto se reduce al laplaciano ordinario. Para la forma 1 anterior, el codiferencial es y después de un poco de plug and chug , se obtiene el Laplacian actuando . ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$${\displaystyle \delta =(-1)^{k}\star d\star }$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta f=0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \delta =-\star d\star }$${\displaystyle \varphi }$

Dualidad

Aplicar la estrella de Hodge dos veces deja un vector k sin cambios excepto por su signo: porque en un espacio n -dimensional V , uno tiene ${\displaystyle \eta \in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$

${\displaystyle {\star }{\star }\eta =(-1)^{k(n-k)}s\eta ,}$

donde s es la paridad de la firma del producto interno en V , es decir, el signo del determinante de la matriz del producto interno con respecto a cualquier base. Por ejemplo, si n = 4 y la firma del producto interno es (+ - - -) o (- + + +) entonces s = −1 . Para las variedades de Riemann (incluidos los espacios euclidianos), siempre tenemos s = 1 .

La identidad anterior implica que el inverso de puede darse como ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }^{-1}:~{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V&\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}V\\\eta &\mapsto (-1)^{k(n-k)}\!s{\star }\eta \end{aligned}}}$

Si n es impar, entonces k ( n - k ) es par para cualquier k , mientras que si n es par, entonces k ( n - k ) tiene la paridad de k . Por lo tanto:

${\displaystyle {\star }^{-1}={\begin{cases}s{\star }&n{\text{ is odd}}\\(-1)^{k}s{\star }&n{\text{ is even}}\end{cases}}}$

donde k es el grado del elemento sobre el que se opera.

En colectores

Para una variedad pseudo-Riemanniana orientada en n- dimensiones M , aplicamos la construcción anterior a cada espacio cotangente y sus poderes exteriores y, por lo tanto, a las formas k diferenciales , las secciones globales del paquete . La métrica de Riemann induce un producto interno en cada punto . Definimos el dual de Hodge de un k -forma , que define como el único ( n - k ) -forma satisfacer ${\displaystyle {\text{T}}_{p}^{*}M}$${\displaystyle \wedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$ ${\displaystyle \zeta \in \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\wedge ^{k}{\text{T}}^{*}\!M\right)}$ ${\displaystyle \wedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}\!M\to M}$${\displaystyle \wedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle {\star }\zeta }$

${\displaystyle \eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \eta ,\zeta \rangle \,\omega }$

para cada k -forma , donde es una función real sobre , y la forma de volumen es inducida por la métrica de Riemann. Integrando esta ecuación , el lado derecho se convierte en el producto interno ( integrable en cuadrado ) en las formas k , y obtenemos: ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \langle \eta ,\zeta \rangle }$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \!\langle \eta ,\zeta \rangle \!\rangle .}$

De manera más general, si no está orientada, se puede definir la estrella de Hodge de una forma k como una forma pseudo diferencial ( n - k ) ; es decir, una forma diferencial con valores en el paquete de líneas canónicas . ${\displaystyle M}$

Cálculo en notación de índice

Calculamos en términos de notación de índice tensorial con respecto a una base (no necesariamente ortonormal) en un espacio tangente y su base dual en , teniendo la matriz métrica y su matriz inversa . El dual de Hodge de una forma k descomponible es: ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$${\displaystyle V=T_{p}M}$${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$${\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx_{i},dx_{j}\rangle )}$

${\displaystyle \star \left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {|\det[g_{ab}]|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}$

Aquí está el símbolo de Levi-Civita con , e implícitamente tomamos la suma de todos los valores de los índices repetidos . El factorial representa el conteo doble y no está presente si los índices de suma están restringidos para que . El valor absoluto del determinante es necesario ya que puede ser negativo, como para los espacios tangentes a las variedades de Lorentz . ${\displaystyle \varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$${\displaystyle \varepsilon _{1\dots n}=1}$${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}}$${\displaystyle (n-k)!}$${\displaystyle j_{k+1}<\dots <j_{n}}$

Una forma diferencial arbitraria se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}$

El factorial se incluye de nuevo para tener en cuenta la doble contabilización cuando permitimos índices no crecientes. Nos gustaría definir el dual del componente de modo que el dual de Hodge de la forma esté dado por ${\displaystyle k!}$${\displaystyle \alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$

${\displaystyle \star \alpha ={\frac {1}{(n-k)!}}(\star \alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}dx^{i_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.}$

Usando la expresión anterior para el dual de Hodge , encontramos: ${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}}$

${\displaystyle (\star \alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}={\frac {\sqrt {|\det[g_{ab}]|}}{k!}}\alpha ^{i_{1},\dots ,i_{k}}\,\,\varepsilon _{i_{1},\dots ,i_{n}}.}$

Aunque se puede aplicar esta expresión a cualquier tensor , el resultado es antisimétrico, ya que la contracción con el símbolo Levi-Civita completamente antisimétrico cancela todo menos la parte totalmente antisimétrica del tensor. Por lo tanto, es equivalente a la antisimetrización seguida de la aplicación de la estrella de Hodge. ${\displaystyle \alpha }$

La forma de volumen unitario viene dada por: ${\displaystyle \omega =\star 1\in \wedge ^{n}V^{*}}$

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$

Codiferencial

La aplicación más importante de la estrella de Hodge en las variedades es definir el codiferencial en las formas k . Dejar ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k-1)+1}s\ {\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star }}$

donde es la derivada o diferencial exterior , y para las variedades de Riemann. Luego ${\displaystyle d}$${\displaystyle s=1}$

${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$

tiempo

${\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).}$

El codiferencial no es una antiderivación en el álgebra exterior, en contraste con la derivada exterior.

El codiferencial es el adjunto de la derivada exterior con respecto al producto interior cuadrado integrable:

${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle \ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle ,}$

donde es una forma ( k + 1) y una forma k . Esta identidad se sigue del teorema de Stokes para formas suaves: ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta )\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta -\eta \wedge {\star }(-1)^{k+1}\,{\star }^{-1}d{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,}$

siempre que M tenga un límite vacío, o tenga valores de límite cero. (La definición adecuada de lo anterior requiere especificar un espacio vectorial topológico que sea cerrado y completo en el espacio de formas suaves. El espacio de Sobolev se usa convencionalmente; permite intercambiar la convergencia de una secuencia de formas (as ) con la combinación de operaciones diferenciales e integrales, de modo que e igualmente para las secuencias que convergen a .) ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \star \zeta }$${\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta }$${\displaystyle i\to \infty }$${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle }$${\displaystyle \eta }$

Dado que el diferencial satisface , el codiferencial tiene la propiedad correspondiente ${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle \delta ^{2}=s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{k(n-k)}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.}$

El operador de Laplace-deRham viene dado por

${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta }$

y se encuentra en el corazón de la teoría de Hodge . Es simétrico:

${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \zeta ,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle \!\rangle }$

y no negativo:

${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.}$

La estrella de Hodge envía formas armónicas a formas armónicas. Como consecuencia de la teoría de Hodge , la cohomología de De Rham es naturalmente isomórfica al espacio de las formas k armónicas , por lo que la estrella de Hodge induce un isomorfismo de los grupos de cohomología.

${\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),}$

que a su vez da identificaciones canónicas a través de la dualidad de Poincaré de H ^k ( M ) con su espacio dual .

Citas

Referencias