Enlace de Chebyshev - Chebyshev linkage

El enlace Chebyshev es un enlace mecánico que convierte el movimiento de rotación en un movimiento aproximado en línea recta .

Fue inventado por el matemático del siglo XIX Pafnuty Chebyshev , quien estudió problemas teóricos en mecanismos cinemáticos . Uno de los problemas fue la construcción de un enlace que convierte un movimiento giratorio en un movimiento en línea recta aproximada. Esto también fue estudiado por James Watt en sus mejoras a la máquina de vapor .

El enlace en línea recta limita el punto P - el punto medio en el enlace L ₃ - en una línea recta en los dos extremos y en el centro del recorrido. ( L ₁ , L ₂ , L ₃ y L ₄ son como se muestran en la ilustración). Entre esos puntos, el punto P se desvía ligeramente de una línea recta perfecta. Las proporciones entre los enlaces son

${\ Displaystyle L_ {1}: L_ {2}: L_ {3} = 2: 2.5: 1 = 4: 5: 2. \,}$

El punto P está en el medio de  L ₃ . Esta relación asegura que el enlace  L _{3 se} encuentra verticalmente cuando se encuentra en uno de los extremos de su recorrido.

Las longitudes están relacionadas matemáticamente de la siguiente manera:

${\ Displaystyle L_ {4} = L_ {3} + {\ sqrt {L_ {2} ^ {2} -L_ {1} ^ {2}}}. \,}$

Se puede demostrar que si las proporciones base descritas anteriormente se toman como longitudes, entonces para todos los casos,

${\ Displaystyle L_ {4} = L_ {2}. \,}$

y esto contribuye a la perciben movimiento en línea recta del punto P .

Ecuaciones de movimiento

El movimiento del enlace puede limitarse a un ángulo de entrada que puede cambiarse mediante velocidades, fuerzas, etc. Los ángulos de entrada pueden ser el enlace  L ₂ con la horizontal o el enlace  L ₄ con la horizontal. Independientemente del ángulo de entrada, es posible calcular el movimiento de dos puntos finales para el enlace  L ₃ que llamaremos A y B, y el punto medio P.

${\ Displaystyle x_ {A} = L_ {2} \ cos (\ varphi _ {1}) \,}$

${\ Displaystyle y_ {A} = L_ {2} \ sin (\ varphi _ {1}) \,}$

mientras que el movimiento del punto B se calculará con el otro ángulo,

${\ Displaystyle x_ {B} = L_ {1} -L_ {4} \ cos (\ varphi _ {2}) \,}$

${\ Displaystyle y_ {B} = L_ {4} \ sin (\ varphi _ {2}) \,}$

Y finalmente, escribiremos el ángulo de salida en términos del ángulo de entrada,

${\ Displaystyle \ varphi _ {2} = \ arcsin \ left [{\ frac {L_ {2} \, \ sin (\ varphi _ {1})} {\ overline {AO_ {2}}}} \ right] - \ arccos \ left ({\ frac {L_ {4} ^ {2} + {\ overline {AO_ {2}}} ^ {2} -L_ {3} ^ {2}} {2 \, L_ {4 } \, {\ overline {AO_ {2}}}}} \ right) \,}$

En consecuencia, podemos escribir el movimiento del punto P, usando los dos puntos definidos anteriormente y la definición del punto medio.

${\ Displaystyle x_ {P} = {\ frac {x_ {A} + x_ {B}} {2}} \,}$

${\ Displaystyle y_ {P} = {\ frac {y_ {A} + y_ {B}} {2}} \,}$

Ángulos de entrada

Ilustración de los límites

Los límites de los ángulos de entrada, en ambos casos, son:

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ text {min}} = \ arccos \ left ({\ frac {4} {5}} \ right) \ approx 36.8699 ^ {\ circ}. \,}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ text {max}} = \ arccos \ left ({\ frac {-1} {5}} \ right) \ approx 101.537 ^ {\ circ}. \,}$

Uso

Los acoplamientos Chebyshev no recibieron un uso generalizado en las máquinas de vapor, pero se usan comúnmente como el diseño de 'cabeza de caballo' de la grúa de nivelación . En esta aplicación, el movimiento recto aproximado se traslada lejos del punto medio de la línea, pero sigue siendo esencialmente el mismo mecanismo.

Ver también

El mecanismo Lambda de Chebyshev (uno azul y uno verde) muestra una trayectoria de movimiento idéntica

• Mecanismo Lambda de Chebyshev
• Enlace de Watt , un mecanismo de línea recta similar con la dirección de uno de los brazos invertida.
• Mecanismo de línea recta
• Enlace de Scott Russell
• Varillaje Hoeckens ( varillaje de 4 barras que convierte el movimiento de rotación en un movimiento aproximado en línea recta)
• Enlace Peaucellier-Lipkin (un enlace de 8 barras que proporciona un movimiento lineal perfecto)
• Varillaje de cuatro barras

Referencias

enlaces externos

• Universidad de Cornell, "Cómo dibujar una línea recta, por AB Kempe, BA"
• Una simulación utilizando el software Molecular Workbench
• Una simulación de Geogebra del enlace.