Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos - Characterizations of the category of topological spaces

En matemáticas , un espacio topológico generalmente se define en términos de conjuntos abiertos . Sin embargo, existen muchas caracterizaciones equivalentes de la categoría de espacios topológicos . Cada una de estas definiciones proporciona una nueva forma de pensar acerca de los conceptos topológicos, y muchas de ellas han dado lugar a nuevas líneas de investigación y generalización.

Definiciones

Formalmente, cada una de las siguientes definiciones define una categoría concreta , y se puede demostrar que cada par de estas categorías es concretamente isomórfico . Esto significa que para cada par de categorías definidas a continuación, hay un isomorfismo de categorías , para el cual los objetos correspondientes tienen el mismo conjunto subyacente y los morfismos correspondientes son idénticos a las funciones del conjunto.

Establecer realmente los isomorfismos concretos es más tedioso que esclarecedor. El enfoque más simple es probablemente construir pares de isomorfismos concretos inversos entre cada categoría y la categoría de espacios topológicos Top . Esto implicaría lo siguiente:

1. Definir funciones de objeto inverso, comprobar que sean inversas y comprobar que los objetos correspondientes tengan el mismo conjunto subyacente.
2. Comprobar que una función establecida es "continua" (es decir, un morfismo) en la categoría dada si y solo si es continua (un morfismo) en Top .

Definición mediante sets abiertos

Objetos : todos los espacios topológicos , es decir, todos los pares ( X , T ) del conjunto X junto con una colección T de subconjuntos de X que satisfacen:

1. El conjunto vacío y X están en T .
2. La unión de cualquier colección de conjuntos en T también está en T .
3. La intersección de cualquier par de conjuntos en T está también en T .

Los conjuntos en T son los conjuntos abiertos .

Morfismos : todas las funciones continuas ordinarias , es decir, todas las funciones tales que la imagen inversa de cada conjunto abierto es abierta.

Comentarios : esta es la categoría ordinaria de espacios topológicos .

Definición a través de conjuntos cerrados

Objetos : todos los pares ( X , T ) del conjunto X junto con una colección T de subconjuntos de X que satisfacen:

1. El conjunto vacío y X están en T .
2. La intersección de cualquier colección de conjuntos en T también está en T .
3. La unión de cualquier par de conjuntos en T también está en T .

Los conjuntos en T son los conjuntos cerrados .

Morfismos : todas funciones tales que la imagen inversa de todo conjunto cerrado sea cerrada.

Comentarios : Esta es la categoría que resulta de reemplazar cada celosía de conjuntos abiertos en un espacio topológico por su dual teórico de orden de conjuntos cerrados, la celosía de complementos de conjuntos abiertos. La relación entre las dos definiciones viene dada por las leyes de De Morgan .

Definición a través de operadores de cierre

Objetos : todos los pares ( X , cl) del conjunto X junto con un operador de cierre cl: P ( X ) → P ( X ) que satisfacen los axiomas de cierre de Kuratowski :

1. ${\ Displaystyle A \ subseteq \ operatorname {cl} (A)}$ (Extensividad)
2. ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} (\ operatorname {cl} (A)) = \ operatorname {cl} (A)}$( Idempotencia )
3. ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} (A \ cup B) = \ operatorname {cl} (A) \ cup \ operatorname {cl} (B)}$ (Preservación de uniones binarias)
4. ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} (\ varnothing) = \ varnothing}$ (Conservación de uniones nulares)

Morfismos : todas las funciones de preservación del cierre , es decir, todas las funciones f entre dos espacios de cierre

${\ Displaystyle f \ colon (X, \ operatorname {cl}) \ to (X ', \ operatorname {cl}')}$

tal que para todos los subconjuntos de${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle f (\ operatorname {cl} (A)) \ subseteq \ operatorname {cl} '(f (A))}$

Comentarios : Los axiomas de cierre de Kuratowski abstraen las propiedades del operador de cierre en un espacio topológico, que asigna a cada subconjunto su cierre topológico . Este operador de cierre topológico se ha generalizado en la teoría de categorías ; ver Operadores de cierre categórico por G. Castellini en "Perspectivas categóricas", que se hace referencia a continuación.

Definición mediante una relación binaria entre puntos y subconjuntos

De manera similar al enfoque de axiomas de cierre de Kuratowski, también se puede definir un espacio topológico como un conjunto junto con una relación entre puntos y subconjuntos ( expresa intuitivamente que usar los elementos de uno puede acercarse arbitrariamente a ) satisfacer ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ prec}$${\ Displaystyle x \ prec A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle x}$

• No tiene sentido tal eso .${\ Displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle x \ prec \ emptyset}$
• Si , entonces .${\ Displaystyle a \ in A}$${\ Displaystyle a \ prec A}$
• Si , entonces o .${\ Displaystyle x \ prec A \ cup B}$${\ Displaystyle x \ prec A}$${\ Displaystyle x \ prec B}$
• Si cada elemento satisface y , entonces .${\ Displaystyle a \ in A}$${\ Displaystyle a \ prec B}$${\ Displaystyle x \ prec A}$${\ Displaystyle x \ prec B}$

Definición a través de operadores interiores

Objetos : todos los pares ( X , int) del conjunto X junto con un operador interior int: P ( X ) → P ( X ) satisfaciendo la siguiente dualización de los axiomas de cierre de Kuratowski :

1. ${\ Displaystyle A \ supseteq \ operatorname {int} (A)}$
2. ${\ Displaystyle \ operatorname {int} (\ operatorname {int} (A)) = \ operatorname {int} (A)}$( Idempotencia )
3. ${\ Displaystyle \ operatorname {int} (A \ cap B) = \ operatorname {int} (A) \ cap \ operatorname {int} (B)}$ (Conservación de intersecciones binarias)
4. ${\ Displaystyle \ operatorname {int} (X) = X}$ (Preservación de intersecciones nulares)

Morfismos : todas las funciones que preservan el interior , es decir, todas las funciones f entre dos espacios interiores

${\ Displaystyle f \ colon (X, \ operatorname {int}) \ to (X ', \ operatorname {int}')}$

tal que para todos los subconjuntos de${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X '}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ operatorname {int} '(A)) \ subset \ operatorname {int} (f ^ {- 1} (A))}$

Comentarios : El operador interior asigna a cada subconjunto su interior topológico , de la misma manera que el operador de cierre asigna a cada subconjunto su cierre topológico .

Definición a través de barrios

Objetos : todos los pares ( X , N ) del conjunto X junto con una función de vecindad N  : X → F ( X ), donde F ( X ) denota el conjunto de todos los filtros en X , satisfaciendo para cada x en X :

1. Si U es en N ( x ), entonces x es en U .
2. Si U es en N ( x ), entonces existe V en N ( x ) tal que T es en N ( Y ) para todos y en V .

Morfismos : todas las funciones que preservan la vecindad , es decir, todas las funciones f  : ( X , N ) → ( Y , N ' ) tales que si V está en N ( f ( x )), entonces existe U en N ( x ) tal que f ( U ) está contenida en V . Esto equivale a preguntar que siempre que V está en N ( f ( x )), entonces f ⁻¹ ( V ) está en N ( x ).

Comentarios : Esta definición axiomatiza la noción de vecindad . Decimos que U es una vecindad de x si U está en N ( x ). Los conjuntos abiertos se pueden recuperar declarando que un conjunto está abierto si es una vecindad de cada uno de sus puntos; el axioma final establece que cada vecindario contiene un conjunto abierto. Estos axiomas (junto con la condición de Hausdorff ) pueden remontarse a la definición original de Felix Hausdorff de un espacio topológico en Grundzüge der Mengenlehre .

Definición vía convergencia

La categoría de espacios topológicos también se puede definir mediante una relación de convergencia entre filtros en X y puntos de x . Esta definición demuestra que la convergencia de filtros puede verse como una noción topológica fundamental. Una topología en el sentido habitual se puede recuperar declarando que un conjunto A está cerrado si, siempre que F es un filtro en A , entonces A contiene todos los puntos a los que F converge.

De manera similar, la categoría de espacios topológicos también se puede describir a través de la convergencia neta . En cuanto a los filtros, esta definición muestra que la convergencia de redes puede verse como una noción topológica fundamental. Una topología en el sentido habitual se puede recuperar declarando que un conjunto A está cerrado si, siempre que ( x _α ) sea una red en A , entonces A contiene todos los puntos a los que ( x _α ) converge.

Ver también

• Espacio de Cauchy
• Espacio de convergencia  : generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general.
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Net (matemáticas)  : generalización de una secuencia de puntos
• Espacio secuencial  : un espacio topológico que se puede caracterizar en términos de secuencias.
• Espacio topológico: espacio  geométrico equipado con una noción de cercanía
• Topología  : rama de las matemáticas que se ocupa de las deformaciones continuas.

Referencias

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst y Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas . Originalmente publ. John Wiley e hijos. ISBN  0-471-60922-6 . (ahora edición gratuita en línea)
• Joshi, KD, Introducción a la topología general , New Age International, 1983, ISBN  0-85226-444-5
• Koslowsk y Melton, eds., Perspectivas categóricas , Birkhauser, 2001, ISBN  0-8176-4186-6
• Wyler, Oswald (1996). Axiomas de convergencia para topología. Ana. NY Acad. Sci. 806 , 465-475