Cadena (topología algebraica) - Chain (algebraic topology)

En la topología algebraica , un k - cadena es una combinación lineal formales de la k -Cells en un complejo célula . En los complejos simpliciales (respectivamente, complejos cúbicos ), k -cadenas son combinaciones de k -simplices (respectivamente, k -cubes), pero no necesariamente conectadas. Las cadenas se utilizan en homología ; los elementos de un grupo de homología son clases de equivalencia de cadenas.

Definición

Para un complejo simplicial , el grupo de cadenas -de viene dado por:

donde son -simplexes de . Tenga en cuenta que no es necesario que ningún elemento sea ​​un complejo simplicial conectado.

Integración en cadenas

La integración se define en cadenas tomando la combinación lineal de integrales sobre los simples en la cadena con coeficientes (que normalmente son números enteros). El conjunto de todas las k cadenas forma un grupo y la secuencia de estos grupos se denomina complejo de cadena .

Operador de límite en cadenas

El límite de una curva poligonal es una combinación lineal de sus nodos; en este caso, alguna combinación lineal de A 1 a A 6 . Suponiendo que todos los segmentos están orientados de izquierda a derecha (en orden creciente de A k a A k +1 ), el límite es A 6 - A 1 .
Una curva poligonal cerrada, asumiendo una orientación consistente, tiene un límite nulo.

El límite de una cadena es la combinación lineal de límites de los simples en la cadena. El límite de una cadena k es una cadena ( k −1). Tenga en cuenta que el límite de un simplex no es un simplex, sino una cadena con coeficientes 1 o −1; por lo tanto, las cadenas son el cierre de los simples bajo el operador de límite.

Ejemplo 1: El límite de una ruta es la diferencia formal de sus extremos: es una suma telescópica . Para ilustrar, si la cadena 1 es un camino de un punto a otro , donde , y son sus 1-simples constituyentes, entonces

Ejemplo 2: El límite del triángulo es una suma formal de sus bordes con signos dispuestos para hacer el cruce del límite en sentido antihorario.

Una cadena se llama ciclo cuando su límite es cero. Una cadena que es el límite de otra cadena se llama límite . Los límites son ciclos, por lo que las cadenas forman un complejo de cadena , cuyos grupos de homología (ciclos módulo límites) se denominan grupos de homología simplicial .

Ejemplo 3: Un ciclo 0 es una combinación lineal de puntos tal que la suma de todos los coeficientes es 0. Por tanto, el grupo de homología 0 mide el número de componentes del espacio conectados a la trayectoria.

Ejemplo 4: El plano perforado en el origen tiene un grupo de homología 1 no trivial ya que el círculo unitario es un ciclo, pero no un límite.

En geometría diferencial , la dualidad entre el operador de frontera en cadenas y la derivada exterior se expresa mediante el teorema general de Stokes .

Referencias