Elemento Casimir - Casimir element

En matemáticas , un elemento de Casimir (también conocido como invariante de Casimir o operador de Casimir ) es un elemento distinguido del centro del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie . Un ejemplo prototípico es el operador de momento angular al cuadrado , que es un elemento de Casimir del grupo de rotación tridimensional .

El elemento Casimir lleva el nombre de Hendrik Casimir , quien los identificó en su descripción de la dinámica del cuerpo rígido en 1931.

Definición

El invariante de Casimir más utilizado es el invariante cuadrático. Es el más simple de definir, por lo que se da primero. Sin embargo, también se pueden tener invariantes de Casimir de orden superior, que corresponden a polinomios simétricos homogéneos de orden superior; su definición se da al final.

Elemento Casimir cuadrático

Suponga que es un álgebra de Lie -dimensional . Sea B una forma bilineal no degenerada en que es invariante bajo la acción adjunta de en sí mismo, lo que significa que para todo X, Y, Z en . (La elección más típica de B es la forma Killing si es semisimple ). ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle B (\ operatorname {ad} _ {X} Y, Z) + B (Y, \ operatorname {ad} _ {X} Z) = 0}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n}}$

ser cualquier base de , y ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ {X ^ {i} \} _ {i = 1} ^ {n}}$

ser la base dual de respecto a B . El elemento de Casimir para B es el elemento del álgebra envolvente universal dado por la fórmula ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$

${\ Displaystyle \ Omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} X ^ {i}.}$

Aunque la definición se basa en una elección de base para el álgebra de Lie, es fácil demostrar que Ω es independiente de esta elección. Por otro lado, Ω no depende de la forma bilineal B . La invariancia de B implica que el elemento Casimir conmuta con todos los elementos del álgebra de Lie y, por lo tanto, se encuentra en el centro del álgebra envolvente universal . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$

Casimir invariante de una representación lineal y de una acción suave

Dada una representación ρ de en un espacio vectorial V, posiblemente de dimensión infinita, el invariante de Casimir de ρ se define como ρ (Ω), el operador lineal en V dado por la fórmula ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ rho (\ Omega) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ rho (X_ {i}) \ rho (X ^ {i}).}$

Una forma específica de esta construcción juega un papel importante en la geometría diferencial y el análisis global. Supongamos que un Lie conexo grupo G con álgebra de Lie actúa sobre una variedad diferenciable M . Considere la representación correspondiente ρ de G en el espacio de funciones suaves en M. Entonces los elementos de están representados por operadores diferenciales de primer orden en M. En esta situación, el invariante de Casimir de ρ es el operador diferencial de segundo orden G-invariante en M definido por la fórmula anterior. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Especializándonos aún más, si sucede que M tiene una métrica de Riemann en la que G actúa transitivamente por isometrías, y el subgrupo estabilizador G _x de un punto actúa irreductiblemente en el espacio tangente de M en x , entonces el invariante de Casimir de ρ es un múltiplo escalar del operador laplaciano procedente de la métrica.

También se pueden definir invariantes de Casimir más generales, que ocurren comúnmente en el estudio de operadores pseudo-diferenciales en la teoría de Fredholm .

Caso general

El artículo sobre álgebras envolventes universales ofrece una definición detallada y precisa de los operadores de Casimir y una exposición de algunas de sus propiedades. En particular, todos los operadores de Casimir corresponden a polinomios homogéneos simétricos en el álgebra simétrica de la representación adjunta Es decir, en general, se tiene que cualquier operador de Casimir tendrá la forma ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {\ mathfrak {g}}.}$

${\ Displaystyle C _ {(m)} = \ kappa ^ {ij \ cdots k} X_ {i} \ otimes X_ {j} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {k}}$

donde m es el orden del tensor simétrico y la forma un espacio vectorial base de Esto corresponde a un polinomio simétrico homogéneo ${\ Displaystyle \ kappa ^ {ij \ cdots k}}$${\ Displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}.}$

${\ Displaystyle c _ {(m)} = \ kappa ^ {ij \ cdots k} t_ {i} t_ {j} \ cdots t_ {k}}$

en m variables de indeterminados en el álgebra polinomio sobre un campo K . La razón de la simetría se deriva del teorema PBW y se analiza con mucho más detalle en el artículo sobre álgebras envolventes universales . ${\ Displaystyle t_ {i}}$ ${\ Displaystyle K [t_ {i}, t_ {j}, \ cdots, t_ {k}]}$

No bastará cualquier tensor simétrico (polinomio homogéneo simétrico); debe conmutar explícitamente con el soporte de Lie. Es decir, uno debe tener eso

${\ Displaystyle [C _ {(m)}, X_ {i}] = 0}$

para todos los elementos base Cualquier polinomio simétrico propuesto se puede verificar explícitamente, haciendo uso de las constantes de estructura${\ Displaystyle X_ {i}.}$

${\ Displaystyle [X_ {i}, X_ {j}] = f_ {ij} ^ {\; \; k} X_ {k}}$

para obtener

${\ Displaystyle f_ {ij} ^ {\; \; k} \ kappa ^ {jl \ cdots m} + f_ {ij} ^ {\; \; l} \ kappa ^ {kj \ cdots m} + \ cdots + f_ {ij} ^ {\; \; m} \ kappa ^ {kl \ cdots j} = 0}$

Este resultado se debe originalmente a Israel Gelfand . La relación de conmutación implica que los operadores de Casimir se encuentran en el centro del álgebra envolvente universal y, en particular, siempre conmutan con cualquier elemento del álgebra de Lie. Es debido a esta propiedad de conmutación que permite que una representación de un álgebra de Lie sea ​​etiquetada por valores propios de los operadores de Casimir asociados.

Cualquier combinación lineal de los polinomios simétricos descritos anteriormente también se ubicará en el centro: por lo tanto, los operadores de Casimir están, por definición, restringidos a ese subconjunto que abarca este espacio (que proporciona una base para este espacio). Para un álgebra de Lie semisimple de rango r , habrá r invariantes de Casimir.

Propiedades

Unicidad

Dado que para un álgebra de mentira simple cada forma bilineal invariante es un múltiplo de la forma de Killing , el elemento de Casimir correspondiente se define de forma única hasta una constante. Para un álgebra de Lie semisimple general, el espacio de formas bilineales invariantes tiene un vector base para cada componente simple y, por lo tanto, lo mismo es cierto para el espacio de los operadores de Casimir correspondientes.

Relación con el laplaciano en G

Si es un grupo de Lie con álgebra de Lie , la elección de una forma bilineal invariante on corresponde a una elección de métrica riemanniana bi-invariante on . Luego, bajo la identificación del álgebra envolvente universal de con los operadores diferenciales invariantes izquierdos en , el elemento Casimir de la forma bilineal en los mapas al Laplaciano de (con respecto a la métrica bi-invariante correspondiente). ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$

Generalizaciones

El operador de Casimir es un elemento cuadrático distinguido del centro del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie. En otras palabras, es un miembro del álgebra de todos los operadores diferenciales que conmuta con todos los generadores del álgebra de Lie. De hecho, todos los elementos cuadráticos en el centro del álgebra envolvente universal surgen de esta manera. Sin embargo, el centro puede contener otros elementos no cuadráticos.

Según el teorema de Racah , para un álgebra de Lie semisimple, la dimensión del centro del álgebra envolvente universal es igual a su rango . El operador de Casimir da el concepto de laplaciano en un grupo general de Lie semisimple ; pero esta forma de contar muestra que puede no haber un análogo único del laplaciano, para rango> 1.

Por definición, cualquier miembro del centro del álgebra envolvente universal conmuta con todos los demás elementos del álgebra. Según el lema de Schur , en cualquier representación irreducible del álgebra de Lie, el operador de Casimir es proporcional a la identidad. Esta constante de proporcionalidad se puede utilizar para clasificar las representaciones del álgebra de Lie (y, por tanto, también de su grupo de Lie ). La masa física y el espín son ejemplos de estas constantes, al igual que muchos otros números cuánticos que se encuentran en la mecánica cuántica . Superficialmente, los números cuánticos topológicos forman una excepción a este patrón; aunque teorías más profundas apuntan a que se trata de dos facetas del mismo fenómeno.

Ejemplo: sl (2)

El álgebra de Lie consta de matrices complejas de dos por dos con traza cero. Hay tres elementos de la base estándar, , , y , con ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle e}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle h}$

${\ displaystyle e = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$, , .${\ displaystyle f = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle h = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}}}$

Los conmutadores son

${\ Displaystyle [e, f] = h}$, y${\ Displaystyle [h, f] = - 2f}$${\ Displaystyle [h, e] = 2e.}$

Se puede demostrar que el elemento Casimir es

Ejemplo: entonces (3)

El álgebra de Lie es el álgebra de Lie de SO (3) , el grupo de rotación para el espacio euclidiano tridimensional . Es simple de rango 1, por lo que tiene un solo Casimir independiente. La forma de Killing para el grupo de rotación es solo el delta de Kronecker , por lo que el invariante de Casimir es simplemente la suma de los cuadrados de los generadores del álgebra. Es decir, el invariante de Casimir está dado por ${\ Displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$${\ Displaystyle L_ {x}, \, L_ {y}, \, L_ {z}}$

${\ Displaystyle L ^ {2} = L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}.}$

Considere la representación irreductible de en el que el valor propio más grande de es , donde los posibles valores de son . La invariancia del operador de Casimir implica que es un múltiplo del operador de identidad . Esta constante se puede calcular explícitamente, dando el siguiente resultado ${\ Displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$${\ Displaystyle L_ {z}}$${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle 0,1 / 2,1,3 / 2, \ ldots}$${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle L ^ {2} = L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2} = \ ell (\ ell +1) I.}$

En mecánica cuántica , el valor escalar se conoce como el momento angular total . Para las representaciones de valores matriciales de dimensión finita del grupo de rotación, siempre toma valores enteros (para representaciones bosónicas ) o valores medio enteros (para representaciones fermiónicas ). ${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle \ ell}$

Para un valor dado de , la representación matricial es -dimensional. Así, por ejemplo, la representación tridimensional de corresponde ay viene dada por los generadores ${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle (2 \ ell +1)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$${\ Displaystyle \ ell \, = \, 1}$

${\ displaystyle L_ {x} = i {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}; \ quad L_ {y} = i {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ \ -1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}; \ quad L_ {z} = i {\ begin {pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}},}$

donde los factores de son necesarios para estar de acuerdo con la convención física (utilizada aquí) de que los generadores deben ser operadores autoadjuntos sesgados. ${\ Displaystyle i}$

El invariante cuadrático de Casimir se puede calcular fácilmente a mano, con el resultado de que

${\ displaystyle L ^ {2} = L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2} = 2 {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

como cuando . De manera similar, la representación bidimensional tiene una base dada por las matrices de Pauli , que corresponden al espín 1/2, y se puede verificar nuevamente la fórmula de Casimir mediante cálculo directo. ${\ Displaystyle \ ell (\ ell +1) \, = \, 2}$${\ Displaystyle \ ell \, = \, 1}$

Autovalores

Dado que es central en el álgebra envolvente, actúa sobre módulos simples mediante un escalar. Sea cualquier forma bilineal simétrica no degenerada, por la que definimos . Sea el módulo de peso de mayor peso de dimensión finita . Entonces el elemento Casimir actúa mediante la constante ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle L (\ lambda)}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle L (\ lambda)}$

${\ Displaystyle \ langle \ lambda, \ lambda +2 \ rho \ rangle = \ langle \ lambda + \ rho, \ lambda + \ rho \ rangle - \ langle \ rho, \ rho \ rangle,}$

donde es el peso definido por la mitad de la suma de las raíces positivas. ${\ Displaystyle \ rho}$

Un punto importante es que si no es trivial (es decir, si ), entonces la constante anterior es distinta de cero. Después de todo, ya que es dominante, si , entonces y , mostrando eso . Esta observación juega un papel importante en la demostración del teorema de Weyl sobre la reducibilidad completa . También es posible probar la no desaparición del valor propio de una manera más abstracta —sin utilizar una fórmula explícita para el valor propio— utilizando el criterio de Cartan; véanse las secciones 4.3 y 6.2 del libro de Humphreys. ${\ Displaystyle L (\ lambda)}$${\ Displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ Displaystyle \ langle \ lambda, \ lambda \ rangle> 0}$${\ Displaystyle \ langle \ lambda, \ rho \ rangle \ geq 0}$${\ Displaystyle \ langle \ lambda, \ lambda +2 \ rho \ rangle> 0}$

Ver también

• Isomorfismo de Harish-Chandra
• Pseudovector de Pauli – Lubanski

Referencias

Otras lecturas

• Humphreys, James E. (1978). Introducción a las álgebras de mentira y teoría de la representación . Textos de Posgrado en Matemáticas. 9 (Segunda impresión, edición revisada). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Jacobson, Nathan (1979). Álgebras de mentiras . Publicaciones de Dover. pp.  243 -249. ISBN 0-486-63832-4.
• https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element