Colector Calabi – Yau - Calabi–Yau manifold

Corte 2D de una variedad quíntica Calabi-Yau 6D.

En geometría algebraica , una variedad Calabi-Yau , también conocida como espacio Calabi-Yau , es un tipo particular de variedad que tiene propiedades, como la planitud de Ricci , que da lugar a aplicaciones en física teórica . Particularmente en la teoría de supercuerdas , a veces se conjetura que las dimensiones adicionales del espacio-tiempo toman la forma de una variedad Calabi-Yau de 6 dimensiones, lo que llevó a la idea de la simetría especular . Su nombre fue acuñado por Candelas et al. (1985) , después de Eugenio Calabi  ( 1954 , 1957 ) quien primero conjeturó que tales superficies podrían existir, y Shing-Tung Yau  ( 1978 ) quien demostró la conjetura de Calabi .

Las variedades Calabi-Yau son variedades complejas que son generalizaciones de superficies K3 en cualquier número de dimensiones complejas (es decir, cualquier número par de dimensiones reales ). Originalmente se definieron como variedades compactas de Kähler con una primera clase Chern que desaparece y una métrica Ricci-plana , aunque a veces se utilizan muchas otras definiciones similares pero no equivalentes.

Definiciones

La definición motivacional dada por Shing-Tung Yau es de un colector Kähler compacto con una primera clase Chern que desaparece, que también es plana de Ricci .

Hay muchas otras definiciones de una variedad Calabi-Yau utilizadas por diferentes autores, algunas no equivalentes. Esta sección resume algunas de las definiciones más comunes y las relaciones entre ellas.

Una variedad Calabi-Yau n- pliegue o Calabi-Yau de dimensión (compleja) n se define a veces como una variedad compacta n- dimensional de Kähler M que satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

• El paquete canónico de M es trivial.
• M tiene una forma n holomórfica que no desaparece en ninguna parte.
• El grupo de estructura del haz tangente de M se puede reducir de U ( n ) a SU ( n ).
• M tiene una métrica de Kähler con holonomía global contenida en SU ( n ) .

Estas condiciones implican que la primera clase Chern integral de M desaparece. Sin embargo, lo contrario no es cierto. Los ejemplos más simples en los que esto sucede son las superficies hiperelípticas , cocientes finitos de un toro complejo de dimensión compleja 2, que tienen una primera clase Chern integral que se desvanece pero un paquete canónico no trivial. ${\ Displaystyle c_ {1} (M)}$

Para una variedad de Kähler compacta n- dimensional M, las siguientes condiciones son equivalentes entre sí, pero son más débiles que las condiciones anteriores, aunque a veces se utilizan como la definición de una variedad Calabi-Yau:

• M ha desaparecido la primera clase Chern real.
• M tiene una métrica de Kähler con curvatura de Ricci que desaparece.
• M tiene una métrica de Kähler con holonomía local contenida en SU ( n ) .
• Un poder positivo del paquete canónico de M es trivial.
• M tiene una cubierta finita que tiene un paquete canónico trivial.
• M tiene una cubierta finita que es producto de un toro y una variedad simplemente conectada con un paquete canónico trivial.

Si simplemente se conecta un colector compacto de Kähler, entonces la definición débil anterior es equivalente a la definición más fuerte. Las superficies de Enriques dan ejemplos de variedades complejas que tienen métricas Ricci-flat, pero sus paquetes canónicos no son triviales, por lo que son variedades de Calabi-Yau de acuerdo con la segunda pero no la primera definición anterior. Por otro lado, sus cubiertas dobles son variedades Calabi-Yau para ambas definiciones (de hecho, superficies K3).

Con mucho, la parte más difícil de probar las equivalencias entre las diversas propiedades anteriores es probar la existencia de métricas Ricci-flat. Esto se sigue de la prueba de Yau de la conjetura de Calabi , que implica que una variedad Kähler compacta con una primera clase Chern real que desaparece tiene una métrica de Kähler en la misma clase con una curvatura de Ricci que desaparece. (La clase de una métrica de Kähler es la clase de cohomología de su forma 2 asociada). Calabi mostró que dicha métrica es única.

Hay muchas otras definiciones desiguales de las variedades Calabi-Yau que se utilizan a veces, que difieren en las siguientes formas (entre otras):

• La primera clase Chern puede desaparecer como clase integral o como clase real.
• La mayoría de las definiciones afirman que las variedades Calabi-Yau son compactas, pero algunas permiten que no sean compactas. En la generalización a variedades no compactas, la diferencia debe desaparecer asintóticamente. Aquí está la forma de Kähler asociada con la métrica de Kähler, ( Gang Tian ; Shing-Tung Yau 1990 , 1991 ). ${\ Displaystyle (\ Omega \ wedge {\ bar {\ Omega}} - \ omega ^ {n} / n!)}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle g}$ 
• Algunas definiciones imponen restricciones al grupo fundamental de una variedad Calabi-Yau, como exigir que sea finito o trivial. Cualquier variedad Calabi-Yau tiene una cubierta finita que es el producto de un toro y una variedad Calabi-Yau simplemente conectada.
• Algunas definiciones requieren que la holonomía sea exactamente igual a SU ( n ) en lugar de un subgrupo de ella, lo que implica que los números de Hodge desaparecen . Las superficies abelianas tienen una métrica plana de Ricci con holonomía estrictamente menor que SU (2) (de hecho, trivial) por lo que no son variedades Calabi-Yau de acuerdo con tales definiciones. ${\ Displaystyle h ^ {i, 0}}$${\ Displaystyle 0 <i <\ dim (M)}$
• La mayoría de las definiciones asumen que una variedad Calabi-Yau tiene una métrica de Riemann, pero algunas las tratan como variedades complejas sin métrica.
• La mayoría de las definiciones asumen que la variedad no es singular, pero algunas permiten singularidades leves. Si bien la clase Chern no está bien definida para el singular Calabi-Yau, el paquete canónico y la clase canónica aún pueden definirse si todas las singularidades son Gorenstein , por lo que se puede usar para extender la definición de una variedad suave Calabi-Yau a una variedad Calabi-Yau posiblemente singular.

Ejemplos

El hecho fundamental más importante es que cualquier variedad algebraica uniforme incrustada en un espacio proyectivo es una variedad de Kähler, porque existe una métrica natural de Fubini-Study en un espacio proyectivo que se puede restringir a la variedad algebraica. Por definición, si ω es la métrica de Kähler en la variedad algebraica X y el paquete canónico K _X es trivial, entonces X es Calabi – Yau. Además, existe una métrica única de Kähler ω en X tal que [ ω ₀ ] = [ ω ] ∈  H ² ( X , R ), un hecho que fue conjeturado por Eugenio Calabi y probado por Shing-Tung Yau (ver la conjetura de Calabi ).

Curvas algebraicas de Calabi-Yau

En una dimensión compleja, los únicos ejemplos compactos son tori , que forman una familia de un solo parámetro. La métrica Ricci-flat en un toro es en realidad una métrica plana , por lo que la holonomía es el grupo trivial SU (1). Una variedad Calabi-Yau unidimensional es una curva elíptica compleja y, en particular, algebraica .

Superficies algebraicas CY

En dos dimensiones complejas, las superficies K3 proporcionan los únicos colectores Calabi-Yau compactos y simplemente conectados. Estos pueden construirse como superficies cuarticas en , como la variedad algebraica compleja definida por el locus de fuga de ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$

${\ Displaystyle x_ {0} ^ {4} + x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4} = 0}$ para ${\ Displaystyle [x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}] \ in \ mathbb {P} ^ {3}}$

Otros ejemplos se pueden construir como fibraciones elípticas ^{pg 4} , como cocientes de superficies abelianas ^{pg 4} o como intersecciones completas .

Las superficies abelianas dan ejemplos no simplemente conectados , que son cuatro toros reales equipados con una estructura múltiple compleja. Las superficies de Enriques y las superficies hiperelípticas tienen la primera clase Chern que desaparece como un elemento del grupo de cohomología real, pero no como un elemento del grupo de cohomología integral, por lo que el teorema de Yau sobre la existencia de una métrica de Ricci-flat todavía se aplica a ellas pero son a veces no se consideran variedades Calabi-Yau. Las superficies abelianas a veces se excluyen de la clasificación de Calabi-Yau, ya que su holonomía (nuevamente el grupo trivial) es un subgrupo propio de SU (2), en lugar de ser isomorfa a SU (2). Sin embargo, el subconjunto de superficie de Enriques no se ajusta completamente al subgrupo SU (2) en el panorama de la teoría de cuerdas . ${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {4}}$

CY triple

En tres dimensiones complejas, la clasificación de las posibles variedades Calabi-Yau es un problema abierto, aunque Yau sospecha que hay un número finito de familias (aunque un número mucho mayor que su estimación de hace 20 años). A su vez, Miles Reid también ha conjeturado que el número de tipos topológicos de Calabi-Yau 3-pliegues es infinito, y que todos pueden transformarse continuamente (a través de ciertas singularizaciones leves como conípticos ) uno en otro, al igual que Las superficies de Riemann pueden. Un ejemplo de una variedad de Calabi-Yau tridimensional es un triple quíntico no singular en CP ⁴ , que es la variedad algebraica que consta de todos los ceros de un polinomio quíntico homogéneo en las coordenadas homogéneas de CP ⁴ . Otro ejemplo es un modelo suave de la quintica de Barth-Nieto . Algunos cocientes discretos de la quíntica por varias acciones Z ₅ también son Calabi-Yau y han recibido mucha atención en la literatura. Uno de ellos está relacionado con la quintica original por simetría especular .

Para todo entero positivo n , el conjunto cero , en las coordenadas homogéneas del espacio proyectivo complejo CP ^{n +1} , de un  polinomio homogéneo no singular de grado n + 2 en n  + 2 variables es un Calabi-Yau compacto n- pliegue. El caso n  = 1 describe una curva elíptica, mientras que para n  = 2 se obtiene una superficie K3.

De manera más general, las variedades / orbifolds Calabi-Yau se pueden encontrar como intersecciones completas ponderadas en un espacio proyectivo ponderado . La principal herramienta para encontrar estos espacios es la fórmula adjunta .

Todos los colectores Hyper-Kähler son colectores Calabi – Yau.

Aplicaciones en la teoría de supercuerdas

Las variedades Calabi-Yau son importantes en la teoría de supercuerdas . Esencialmente, las variedades Calabi-Yau son formas que satisfacen el requisito de espacio para las seis dimensiones espaciales "invisibles" de la teoría de cuerdas, que pueden ser más pequeñas que nuestras longitudes actualmente observables, ya que aún no se han detectado. Una alternativa popular conocida como grandes dimensiones extra , que a menudo ocurre en los modelos de mundo brana , es que el Calabi-Yau es grande, pero estamos confinados a un pequeño subconjunto en el que se cruza con una D-brana . Actualmente se están explorando otras extensiones a dimensiones superiores con ramificaciones adicionales para la relatividad general .

En los modelos de supercuerdas más convencionales, se supone que diez dimensiones conjeturales en la teoría de cuerdas vienen como cuatro de las cuales somos conscientes, que llevan algún tipo de fibración con dimensión de fibra seis. La compactación en los pliegues n de Calabi-Yau son importantes porque dejan intacta parte de la supersimetría original . Más precisamente, en ausencia de flujos , la compactación en un Calabi-Yau triple (dimensión real 6) deja intacta una cuarta parte de la supersimetría original si la holonomía es el SU completo (3).

De manera más general, una compactificación libre de flujo en un colector n con holonomía SU ( n ) deja 2 ^{1− n} de la supersimetría original intacta, correspondiente a 2 ^{6− n} sobrecargas en una compactificación de supergravedad de tipo II o 2 ^{5− n} sobrecargas en una compactificación de tipo I. Cuando se incluyen flujos, la condición de supersimetría implica en cambio que la variedad de compactación sea un Calabi-Yau generalizado , una noción introducida por Hitchin (2003) . Estos modelos se conocen como compactaciones de flujo .

Las compactaciones de la teoría F en varios cuádruples de Calabi-Yau proporcionan a los físicos un método para encontrar un gran número de soluciones clásicas en el llamado panorama de la teoría de cuerdas .

Conectado con cada agujero en el espacio Calabi-Yau hay un grupo de patrones vibratorios de cuerdas de baja energía. Dado que la teoría de cuerdas establece que nuestras partículas elementales familiares corresponden a vibraciones de cuerdas de baja energía, la presencia de múltiples agujeros hace que los patrones de cuerdas se dividan en múltiples grupos o familias . Aunque el siguiente enunciado ha sido simplificado, transmite la lógica del argumento: si el Calabi-Yau tiene tres agujeros, entonces se observarán experimentalmente tres familias de patrones vibratorios y, por lo tanto, tres familias de partículas.

Lógicamente, dado que las cuerdas vibran en todas las dimensiones, la forma de las enrolladas afectará a sus vibraciones y por tanto a las propiedades de las partículas elementales observadas. Por ejemplo, Andrew Strominger y Edward Witten han demostrado que las masas de partículas dependen de la forma de intersección de los diversos agujeros en un Calabi-Yau. En otras palabras, Strominger y Witten encontraron que las posiciones de los agujeros entre sí y con la sustancia del espacio Calabi-Yau afectan a las masas de partículas de cierta manera. Esto es cierto para todas las propiedades de las partículas.

Ver también

• Quintic triple
• Colector G2
• Álgebra de Calabi-Yau

Referencias

Citas

Artículos para principiantes

• Una descripción general de las fibraciones elípticas de Calabi-Yau
• Conferencias sobre el paisaje de Calabi-Yau
• Fibraciones en CICY Triple - ( intersección completa Calabi-Yau)

Bibliografía

• Besse, Arthur L. (1987), variedades de Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 10 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-15279-8 , OCLC   13793300
• Bini; Iacono (2016), Clases de difeomorfismo de las variedades Calabi – Yau (PDF) , arXiv : 1612.04311 , Bibcode : 2016arXiv161204311B
• Chan, Yat-Ming (2004), Desingularizaciones de Calabi-Yau 3-pliegues con una singularidad cónica , arXiv : math / 0410260 , Bibcode : 2004math ..... 10260C
• Calabi, Eugenio (1954), "El espacio de la métrica de Kähler" , Proc. Internat. Congreso de Matemáticas. Amsterdam , 2 , págs. 206–207, archivado desde el original el 17 de julio de 2011
• Calabi, Eugenio (1957), "Sobre variedades de Kähler con clase canónica que desaparece", en Fox, Ralph H .; Spencer, Donald C .; Tucker, Albert W. (eds.), Geometría y topología algebraicas. Un simposio en honor a S. Lefschetz , Princeton Mathematical Series, 12 , Princeton University Press , págs. 78–89, ISBN   9780691079073 , MR   0085583
• Greene, Brian (1997), Teoría de cuerdas sobre variedades Calabi-Yau , Campos, cuerdas y dualidad (Boulder, CO, 1996), River Edge, Nueva Jersey: World Sci. Publ., Págs. 543–726, arXiv : hep-th / 9702155v1 , Bibcode : 1997hep.th .... 2155G , MR   1479700
• Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward (1985), "Configuraciones de vacío para supercuerdas" , Nuclear Physics B , 258 : 46–74, Bibcode : 1985NuPhB.258 ... 46C , doi : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90602-9
• Gross, M .; Huybrechts, D .; Joyce, Dominic (2003), variedades de Calabi-Yau y geometrías relacionadas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-19004-9 , ISBN   978-3-540-44059-8 , MR   1963559 , OCLC   50695398
• Hitchin, Nigel (2003), "Variedades generalizadas de Calabi-Yau", The Quarterly Journal of Mathematics , 54 (3): 281-308, arXiv : math.DG / 0209099 , CiteSeerX   10.1.1.237.8935 , doi : 10.1093 / qmath / hag025 , MR   2013140
• Hübsch, Tristan (1994), Calabi – Yau Manifolds: a Bestiary for Physicists , Singapur, Nueva York: World Scientific , ISBN   978-981-02-1927-7 , OCLC   34989218 , Archivado desde el original en 2010-01-13 , recuperada 2009-02-04
• Im, Mee Seong (2008) " Singularidades en las variedades Calabi-Yau.pdf Singularidades en las variedades Calabi-Yau "
• Joyce, Dominic (2000), Manifolds compactos con holonomía especial , Oxford University Press , ISBN   978-0-19-850601-0 , OCLC   43864470
• Tian, ​​Gang; Yau, Shing-Tung (1990), "Colectores completos de Kähler con curvatura de Ricci cero, I", J. Amer. Matemáticas. Soc. , 3 (3): 579–609, doi : 10.2307 / 1990928 , JSTOR   1990928
• Tian, ​​Gang; Yau, Shing-Tung (1991), "Colectores completos de Kähler con curvatura de Ricci cero, II", Invent. Matemáticas. , 106 (1): 27–60, Bibcode : 1991InMat.106 ... 27T , doi : 10.1007 / BF01243902 , S2CID   122638262
• Yau, Shing Tung (1978), "Sobre la curvatura de Ricci de una variedad compacta de Kähler y la ecuación compleja de Monge-Ampère. I", Communications on Pure and Applied Mathematics , 31 (3): 339-411, doi : 10.1002 / cpa 0,3160310304 , MR   0480350
• Yau, Shing-Tung (2009), "Un estudio de las variedades Calabi-Yau", Geometría, análisis y geometría algebraica: cuarenta años del Journal of Differential Geometry , Surveys in Differential Geometry, 13 , Somerville, Massachusetts: Int. Prensa, págs. 277–318, doi : 10.4310 / SDG.2008.v13.n1.a9 , MR   2537089
• Yau, Shing-Tung y Nadis, Steve; La forma del espacio interior , libros básicos, 2010. ISBN   978-0-465-02023-2

enlaces externos

• La página de inicio de Calabi-Yau es una referencia interactiva que describe muchos ejemplos y clases de variedades de Calabi-Yau y también las teorías físicas en las que aparecen.
• Video Spinning Calabi – Yau Space.
• Calabi – Yau Space por Andrew J. Hanson con contribuciones adicionales de Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. "Espacio Calabi – Yau" . MathWorld .
• Yau, ST, variedad Calabi-Yau , Scholarpedia (similar a ( Yau 2009 ))