Diagrama de Bratteli - Bratteli diagram

En matemáticas, un diagrama de Bratteli es una estructura combinatoria: un gráfico compuesto de vértices etiquetados por números enteros positivos ("nivel") y aristas no orientadas entre vértices que tienen niveles que difieren en uno. La noción fue introducida por Ola Bratteli en 1972 en la teoría de álgebras de operadores para describir secuencias dirigidas de álgebras de dimensión finita: jugó un papel importante en la clasificación de Elliott de AF-álgebras y la teoría de subfactores . Posteriormente, Anatoly Vershik asoció sistemas dinámicos con caminos infinitos en tales gráficos.

Definición

Un diagrama de Bratteli viene dado por los siguientes objetos:

• Una secuencia de conjuntos V _n ( 'los vértices a nivel n  ') marcado por el conjunto entero positivo N . En alguna literatura, cada elemento v de V _n está acompañado por un número entero positivo b _v  > 0.
• Una secuencia de conjuntos E _n ('los bordes desde el nivel n hasta n  + 1') etiquetados por N , dotados de mapas  s : E _n  →  V _n y r :  E _n  →  V _{n +1} , tal que:
  • Para cada v en V _n , el número de elementos e en E _n con s ( e ) =  v es finito.
  • Entonces es el número de e  ∈  E _{n −1} con r ( e ) =  v .
  • Cuando los vértices tienen marcas con enteros positivos b _v , el número a _{v ,  v  '} de las aristas con s ( e ) =  v y r ( e ) = v' para v  ∈  V _n y v '∈  V _{n +1} satisface b _v  a _{v, v '} ≤  b _v' .

Una forma habitual de representar gráficamente los diagramas de Bratteli es alinear los vértices de acuerdo con sus niveles y poner el número b _v al lado del vértice v , o usar ese número en lugar de v , como en

Un diagrama de Bratteli ordenado es un diagrama de Bratteli junto con un orden parcial en E _n tal que para cualquier v  ∈  V _n el conjunto {  e  ∈  E _{n −1}  :  r ( e ) =  v  } está totalmente ordenado. Los bordes que no comparten un vértice de rango común son incomparables. Este orden parcial nos permite definir el conjunto de todos los bordes máximos E _max y el conjunto de todos los bordes mínimos E _min . Un diagrama de Bratteli con una trayectoria única infinitamente larga en E _max y E _min se llama esencialmente simple .

Secuencia de álgebras de dimensión finita

Cualquier álgebra semisimple sobre los números complejos C de dimensión finita puede expresarse como una suma directa ⊕ _k M _{n k} ( C ) de álgebras matriciales , y los homomorfismos de álgebra C entre dos de tales álgebras hasta los automorfismos internos en ambos lados están completamente determinados por el número de multiplicidad entre los componentes del 'álgebra matricial'. Por lo tanto, un homomorfismo inyectivo de ⊕ _{k = 1} ⁱ  M _{n k} ( C ) en ⊕ _{l = 1} ^j  M _{m l} ( C ) puede representarse mediante una colección de números positivos a _{k , l} satisfaciendo Σ  n _k  a _{k , l} ≤  m _l . (La igualdad es válida si y solo si el homomorfismo es unital; podemos permitir homomorfismos no inyectivos permitiendo que algunos a _{k , l} sean cero). Esto se puede ilustrar como un gráfico bipartito que tiene los vértices marcados por números ( n _k ) _k por un lado y los marcados por ( m _l ) _l por otro lado, y que tiene una _{k ,  l} bordes entre el vértice n _k y el vértice  m _l .

Así, cuando tenemos una secuencia de álgebras semisimples de dimensión finita A _n y homomorfismos inyectivos φ _n  :  A _{n '}  →  A _{n +1} : entre ellos, obtenemos un diagrama de Bratteli poniendo

V _n = el conjunto de componentes simples de A _n

(cada uno isomorfo a un álgebra matricial), marcado por el tamaño de las matrices.

( E _n , r , s ): el número de aristas entre M _{n k} ( C ) ⊂ A _n y M _{m l} ( C ) ⊂ A _{n +1} es igual a la multiplicidad de M _{n k} ( C ) en M _{m l} ( C ) bajo φ _n .

Secuencia de álgebras semisimple divididas

Cualquier álgebra semisimple (posiblemente de dimensión infinita) es aquella cuyos módulos son completamente reducibles, es decir, se descomponen en la suma directa de módulos simples . Sea una cadena de álgebras semisimple divididas y sea ​​el conjunto de indexación para las representaciones irreductibles de . Denotar por el módulo irreducible indexado por . Debido a la inclusión , cualquier -module se restringe a un -module. Vamos a denotar los números de descomposición ${\ Displaystyle A_ {0} \ subseteq A_ {1} \ subseteq A_ {2} \ subseteq \ cdots}$${\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {i}}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle A_ {i} ^ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ lambda \ in {\ hat {A}} _ {i}}$${\ Displaystyle A_ {i} \ subseteq A_ {i + 1}}$${\ Displaystyle A_ {i + 1}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle g _ {\ lambda, \ mu}}$

${\ Displaystyle A_ {i + 1} ^ {\ mu} \ flecha hacia abajo _ {A_ {i}} ^ {A_ {i + 1}} = \ bigoplus _ {\ lambda \ in {\ hat {A}} _ { i}} g _ {\ lambda, \ mu} A_ {i} ^ {\ lambda}.}$

El diagrama de Bratteli para la cadena se obtiene colocando un vértice por cada elemento de a nivel y conectando un vértice a nivel con un vértice a nivel con aristas. ${\ Displaystyle A_ {0} \ subseteq A_ {1} \ subseteq A_ {2} \ subseteq \ cdots}$${\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {i}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle i + 1}$${\ displaystyle g _ {\ lambda, \ mu}}$

Ejemplos de

Diagrama de Bratteli para álgebras de Brauer y BMW en i = 0, 1, 2, 3 y 4 hebras.

(1) Si , el i-ésimo grupo simétrico , el diagrama de Bratteli correspondiente es el mismo que el retículo de Young . ${\ Displaystyle A_ {i} = S_ {i}}$

(2) Si es el álgebra de Brauer o el álgebra de Birman-Wenzl en hebras i , entonces el diagrama de Bratteli resultante tiene particiones de i –2 k (para ) con un borde entre particiones en niveles adyacentes si uno se puede obtener del otro por sumando o restando 1 de una sola parte. ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle k = 0,1,2, \ ldots, \ lfloor i / 2 \ rfloor}$

(3) Si es el álgebra de Temperley-Lieb en i hebras, la Bratteli resultante tiene números enteros i –2 k (para ) con un borde entre números enteros en niveles adyacentes si uno puede obtenerse del otro sumando o restando 1. ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle k = 0,1,2, \ ldots, \ lfloor i / 2 \ rfloor}$

Ver también

• Diagrama de Bratteli-Vershik

Referencias