Ley de Bragg - Bragg's law

En la física , la ley de Bragg , Wulff condición de -Bragg o interferencia Laue-Bragg , un caso especial de difracción Laue , da a los ángulos para coherente dispersión de las ondas de una red cristalina. Abarca la superposición de frentes de onda dispersos por planos de celosía, lo que lleva a una relación estricta entre la longitud de onda y el ángulo de dispersión, o bien a la transferencia del vector de onda con respecto a la celosía cristalina. Dicha ley se había formulado inicialmente para los rayos X sobre cristales, pero además es relevante para todo tipo de haces cuánticos, como las ondas de neutrones y electrones en el espaciamiento atómico, así como para la luz visual en redes artificiales periódicas de microescala.

Historia

Los rayos X interactúan con los átomos de un cristal .

La difracción de Bragg (también conocida como la formulación de Bragg de difracción de rayos X ) fue propuesta por primera vez por Lawrence Bragg y su padre William Henry Bragg en 1913 en respuesta a su descubrimiento de que los sólidos cristalinos producían patrones sorprendentes de rayos X reflejados (en contraste con el de, digamos, un líquido). Descubrieron que estos cristales, en determinadas longitudes de onda y ángulos de incidencia específicos, producían picos intensos de radiación reflejada. La ley de Bragg derivada es una interpretación especial de la difracción de Laue, donde los Braggs interpretaron la interferencia constructiva de Laue-Bragg de una manera geométrica mediante la reflexión de ondas de planos de celosía cristalina, de modo que la diferencia de trayectoria se convierte en un múltiplo de la longitud de onda incidente.

Según la desviación de 2 θ , el cambio de fase provoca interferencias constructivas (figura de la izquierda) o destructivas (figura de la derecha).

Lawrence Bragg explicó este resultado modelando el cristal como un conjunto de planos paralelos discretos separados por un parámetro constante d . Se propuso que la radiación de rayos X incidente produciría un pico de Bragg si sus reflejos en los distintos planos interferían de manera constructiva. La interferencia es constructiva cuando el cambio de fase es un múltiplo de 2 π ; esta condición puede ser expresada por la ley de Bragg (ver la sección de condiciones de Bragg más abajo) y fue presentada por primera vez por Lawrence Bragg el 11 de noviembre de 1912 a la Sociedad Filosófica de Cambridge . Aunque simple, la ley de Bragg confirmó la existencia de partículas reales a escala atómica, además de proporcionar una nueva y poderosa herramienta para estudiar cristales en forma de difracción de rayos X y neutrones. Lawrence Bragg y su padre, William Henry Bragg, recibieron el Premio Nobel de Física en 1915 por su trabajo en la determinación de estructuras cristalinas comenzando con NaCl , ZnS y diamante . Son el único equipo de padre e hijo que gana de forma conjunta. Lawrence Bragg tenía 25 años, lo que lo convertía en el premio Nobel de física más joven.

El concepto de difracción de Bragg se aplica igualmente a los procesos de difracción de neutrones y de electrones . Tanto las longitudes de onda de neutrones como las de rayos X son comparables con las distancias interatómicas (~ 150 pm) y, por lo tanto, son una sonda excelente para esta escala de longitud .

Debido a su visualización intuitiva en el espacio directo en lugar del recíproco, la ley de Bragg se enseña ampliamente hoy en día, trabajando en sistemas de coordenadas polares e inversas (longitud de onda y ángulo) sin tener en cuenta la elegante descripción de Laue en un espacio recíproco lineal, lo que conduce a una comprensión limitada y una formulación compleja. de las relaciones teorías derivadas (es decir, la trama de Williamson-Hall).

Condición de Bragg

Difracción de Bragg Dos haces con idéntica longitud de onda y fase se acercan a un sólido cristalino y son dispersados ​​por dos átomos diferentes dentro de él. La viga inferior atraviesa una longitud adicional de 2 d sen θ . La interferencia constructiva ocurre cuando esta longitud es igual a un múltiplo entero de la longitud de onda de la radiación.

La difracción de Bragg ocurre cuando la radiación de longitud de onda λ comparable a los espaciamientos atómicos, se dispersa de forma especular (reflexión similar a un espejo) por los átomos de un sistema cristalino y sufre una interferencia constructiva. Para un sólido cristalino, las ondas se dispersan desde planos de celosía separados por la distancia d entre capas sucesivas de átomos. Cuando las ondas dispersas interfieren constructivamente, permanecen en fase, se reflejan solo cuando golpean la superficie en un ángulo definido, el ángulo de mirada (óptica) "θ" (vea la figura de la derecha, y tenga en cuenta que esto difiere de la convención de Snell ley donde θ se mide a partir de la superficie normal), la longitud de onda λ y la "constante de rejilla" d del cristal están conectadas por la relación:

es el orden de difracción ( es de primer orden, es de segundo orden, es de tercer orden). El efecto de la interferencia constructiva o destructiva se intensifica debido al efecto acumulativo de la reflexión en planos cristalográficos sucesivos ( h , k , l ) de la red cristalina (como lo describe la notación de Miller ). Esto conduce a la ley de Bragg, que describe la condición en θ para que la interferencia constructiva sea más fuerte:

Tenga en cuenta que las partículas en movimiento, incluidos electrones , protones y neutrones , tienen una longitud de onda asociada llamada longitud de onda de De Broglie . Se obtiene un patrón de difracción midiendo la intensidad de las ondas dispersas en función del ángulo de dispersión. Se obtienen intensidades muy fuertes conocidas como picos de Bragg en el patrón de difracción en los puntos donde los ángulos de dispersión satisfacen la condición de Bragg. Como se mencionó en la introducción, esta condición es un caso especial de las ecuaciones de Laue más generales , y se puede demostrar que las ecuaciones de Laue se reducen a la condición de Bragg bajo supuestos adicionales.

El fenómeno de difracción de Bragg por una red cristalina comparte características similares con el de la interferencia de película delgada , que tiene una condición idéntica en el límite donde los índices de refracción del medio circundante (por ejemplo, aire) y el medio interferente (por ejemplo, aceite) son iguales.

Apoyando los procesos de dispersión

Cuando los rayos X inciden en un átomo , hacen que la nube electrónica se mueva, al igual que cualquier onda electromagnética . El movimiento de estas cargas vuelve a irradiar ondas con la misma frecuencia , ligeramente borrosas debido a una variedad de efectos; este fenómeno se conoce como dispersión de Rayleigh (o dispersión elástica). Las ondas dispersas pueden dispersarse en sí mismas, pero se supone que esta dispersión secundaria es insignificante.

Un proceso similar ocurre al dispersar ondas de neutrones de los núcleos o por una interacción de espín coherente con un electrón desapareado . Estos campos de ondas reemitidos interfieren entre sí de forma constructiva o destructiva (las ondas superpuestas se suman para producir picos más fuertes o se restan entre sí hasta cierto punto), produciendo un patrón de difracción en un detector o película. El patrón de interferencia de onda resultante es la base del análisis de difracción . Este análisis se llama difracción de Bragg .

Derivación heurística

Suponga que una sola onda monocromática (de cualquier tipo) incide en planos alineados de puntos de celosía , con separación , en ángulo . Los puntos A y C están en un plano y B está en el plano de abajo. Los puntos ABCC ' forman un cuadrilátero .

Ley de Bragg.svg

Habrá una diferencia de trayectoria entre el rayo que se refleja a lo largo de AC ' y el rayo que se transmite a lo largo de AB y luego se refleja a lo largo de BC . Esta diferencia de camino es

Las dos ondas separadas llegarán a un punto (infinitamente desplazado de estos planos de celosía) con la misma fase y, por lo tanto, sufrirán interferencia constructiva , si y solo si esta diferencia de camino es igual a cualquier valor entero de la longitud de onda , es decir

donde y son un número entero y la longitud de onda de la onda incidente respectivamente.

Por lo tanto,

de lo que se sigue que

Poniendo todo junto

lo que simplifica a cuál es la ley de Bragg que se muestra arriba.

Si solo dos planos de átomos estuvieran difractando, como se muestra en las imágenes, entonces la transición de la interferencia constructiva a la destructiva sería gradual en función del ángulo, con máximos suaves en los ángulos de Bragg. Sin embargo, dado que muchos planos atómicos están participando en la interferencia en la mayoría de los materiales reales, se producen picos muy agudos rodeados por una interferencia mayoritariamente destructiva.

Está disponible una derivación rigurosa de las ecuaciones de Laue más generales (consulte la página: Ecuaciones de Laue ).

Dispersión de luz visible de Bragg por coloides

Un cristal coloidal es una serie de partículas muy ordenadas que se forman en un amplio rango (desde unos pocos milímetros hasta un centímetro de longitud); Los cristales coloidales tienen apariencia y propiedades aproximadamente análogas a sus contrapartes atómicas o moleculares. Se sabe desde hace muchos años que, debido a las interacciones Coulombic repulsivas , las macromoléculas cargadas eléctricamente en un entorno acuoso pueden exhibir correlaciones similares a cristales de largo alcance , siendo las distancias de separación entre partículas a menudo considerablemente mayores que el diámetro de las partículas individuales. Los arreglos periódicos de partículas esféricas dan lugar a vacíos intersticiales (los espacios entre las partículas), que actúan como una rejilla de difracción natural para las ondas de luz visibles , cuando el espaciado intersticial es del mismo orden de magnitud que la onda de luz incidente . En estos casos en la naturaleza, la iridiscencia brillante (o juego de colores) se atribuye a la difracción e interferencia constructiva de las ondas de luz visibles según la ley de Bragg, en una cuestión análoga a la dispersión de los rayos X en un sólido cristalino. Los efectos ocurren en longitudes de onda visibles porque el parámetro de separación d es mucho mayor que para los cristales verdaderos.

Rejillas de volumen Bragg

Las rejillas de Bragg de volumen (VBG) o las rejillas holográficas de volumen (VHG) consisten en un volumen donde hay un cambio periódico en el índice de refracción . Dependiendo de la orientación de la modulación del índice de refracción, VBG puede usarse para transmitir o reflejar un pequeño ancho de banda de longitudes de onda . La ley de Bragg (adaptada para holograma de volumen) dicta qué longitud de onda se difractará:

donde m es el orden de Bragg (un número entero positivo), λ B la longitud de onda difractada , Λ el espaciamiento de la franja de la rejilla, θ el ángulo entre el haz incidente y la normal ( N ) de la superficie de entrada y φ el ángulo entre la normal y el vector de rejilla ( K G ). La radiación que no coincide con la ley de Bragg pasará a través del VBG sin difractar. La longitud de onda de salida se puede ajustar en unos pocos cientos de nanómetros cambiando el ángulo de incidencia ( θ ). Los VBG se están utilizando para producir una fuente de láser ampliamente sintonizable o realizar imágenes hiperespectrales globales (ver Fotón, etc. ).

Reglas de selección y cristalografía práctica.

La ley de Bragg, como se indicó anteriormente, se puede utilizar para obtener el espaciado de celosía de un sistema cúbico particular a través de la siguiente relación:

donde es el espaciado de celosía del cristal cúbico , y h , k y son los índices de Miller del plano de Bragg. La combinación de esta relación con la ley de Bragg da:

Se pueden derivar reglas de selección para los índices de Miller para diferentes celosías cúbicas de Bravais ; aquí, las reglas de selección para varios se darán tal cual.

Reglas de selección para los índices de Miller
Celosías Bravais Compuestos de ejemplo Reflexiones permitidas Reflejos prohibidos
Cúbico simple Correos Cualquier h , k , Ninguno
Cúbico centrado en el cuerpo Fe, W, Ta, Cr h + k + = par h + k + = impar
Cúbico centrado en la cara (FCC) Cu, Al, Ni, NaCl, LiH, PbS h , k , todos pares o impares h , k , mixtos pares e impares
Diamante FCC Si, Ge Todos impares o todos pares con h + k + = 4 n h , k , mixto pares e impares, o todos pares con h + k + ≠ 4 n
Celosía triangular Ti, Zr, Cd, Be par, h + 2 k ≠ 3 n h + 2 k = 3 n para impar

Estas reglas de selección se pueden utilizar para cualquier cristal con la estructura cristalina dada. KCl tiene una celosía de Bravais cúbica centrada en las caras . Sin embargo, los iones K + y Cl - tienen el mismo número de electrones y son de tamaño bastante parecido, por lo que el patrón de difracción se vuelve esencialmente el mismo que para una estructura cúbica simple con la mitad del parámetro de red. Las reglas de selección para otras estructuras se pueden hacer referencia en otro lugar o se pueden derivar . El espaciado de celosía para los otros sistemas de cristal se puede encontrar aquí .

Ver también

Referencias

Otras lecturas

  • Neil W. Ashcroft y N. David Mermin, Física del estado sólido (Harcourt: Orlando, 1976).
  • Bragg W. (1913). "La difracción de ondas electromagnéticas cortas por un cristal". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 17 : 43–57.

enlaces externos