Resolución Bott – Samelson - Bott–Samelson resolution

En geometría algebraica , la resolución de Bott-Samelson de una variedad de Schubert es una resolución de singularidades . Fue introducido por Bott & Samelson (1958) en el contexto de grupos de Lie compactos . La formulación algebraica se debe independientemente a Hansen (1973) y Demazure (1974) .

Definición

Deje que G sea un conectado reductora complejo grupo algebraico , B un Borel subgrupo y T un máximo torus contenida en B .

Sea Any such w puede escribirse como un producto de reflexiones de raíces simples. Arregle una expresión mínima de este tipo: ${\ Displaystyle w \ en W = N_ {G} (T) / T.}$

${\ Displaystyle {\ underline {w}} = (s_ {i_ {1}}, s_ {i_ {2}}, \ ldots, s_ {i _ {\ ell}})}$

para que . ( ℓ es la longitud de w .) Sea el subgrupo generado por B y un representante de . Sea el cociente: ${\ Displaystyle w = s_ {i_ {1}} s_ {i_ {2}} \ cdots s_ {i _ {\ ell}}}$${\ Displaystyle P_ {i_ {j}} \ subconjunto G}$${\ Displaystyle s_ {i_ {j}}}$${\ Displaystyle Z _ {\ underline {w}}}$

${\ Displaystyle Z _ {\ underline {w}} = P_ {i_ {1}} \ times \ cdots \ times P_ {i _ {\ ell}} / B ^ {\ ell}}$

con respecto a la acción de por ${\ Displaystyle B ^ {\ ell}}$

${\ Displaystyle (b_ {1}, \ ldots, b _ {\ ell}) \ cdot (p_ {1}, \ ldots, p _ {\ ell}) = (p_ {1} b_ {1} ^ {- 1} , b_ {1} p_ {2} b_ {2} ^ {- 1}, \ ldots, b _ {\ ell -1} p _ {\ ell} b _ {\ ell} ^ {- 1}).}$

Es una variedad proyectiva suave . Escribir para la variedad de Schubert para w , el mapa de multiplicación ${\ Displaystyle X_ {w} = {\ overline {BwB}} / B = (P_ {i_ {1}} \ cdots P_ {i _ {\ ell}}) / B}$

${\ Displaystyle \ pi: Z _ {\ underline {w}} \ to X_ {w}}$

es una resolución de singularidades llamada resolución de Bott-Samelson. tiene la propiedad: y En otras palabras, tiene singularidades racionales . ${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle \ pi _ {*} {\ mathcal {O}} _ {Z _ {\ underline {w}}} = {\ mathcal {O}} _ {X_ {w}}}$${\ Displaystyle R ^ {i} \ pi _ {*} {\ mathcal {O}} _ {Z _ {\ underline {w}}} = 0, \, i \ geq 1.}$${\ Displaystyle X_ {w}}$

También hay algunas otras construcciones; ver, por ejemplo, Vakil (2006) .

Notas

Referencias

• Bott, Raoul ; Samelson, Hans (1958), "Aplicaciones de la teoría de Morse a espacios simétricos", American Journal of Mathematics , 80 : 964–1029, doi : 10.2307 / 2372843 , MR  0105694.
• Brion, Michel (2005), "Conferencias sobre la geometría de las variedades de bandera", Temas en estudios cohomológicos de variedades algebraicas , Trends Math., Birkhäuser, Basel, págs. 33–85, arXiv : math / 0410240 , doi : 10.1007 / 3 -7643-7342-3_2 , MR  2143072.
• Demazure, Michel (1974), "Désingularisation des variétés de Schubert généralisées" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (en francés), 7 : 53–88, MR  0354697.
• Gorodski, Claudio; Thorbergsson, Gudlaugur (2002), "Ciclos de tipo Bott-Samelson para representaciones tensas", Annals of Global Analysis and Geometry , 21 (3): 287–302, arXiv : math / 0101209 , doi : 10.1023 / A: 1014911422026 , MR  1896478.
• Hansen, HC (1973), "Sobre ciclos en variedades de bandera", Mathematica Scandinavica , 33 : 269-274 (1974), doi : 10.7146 / math.scand.a-11489 , MR  0376703.
• Vakil, Ravi (2006), "Una regla geométrica de Littlewood-Richardson", Annals of Mathematics , Second Series, 164 (2): 371–421, arXiv : math.AG/0302294 , doi : 10.4007 / annals.2006.164.371 , Señor  2247964.