birrefringencia -Birefringence

Un cristal de calcita colocado sobre un papel cuadriculado con líneas azules que muestran la doble refracción.

$La luz entrante en la polarización perpendicular (s) ve un índice efectivo de refracción diferente al de la luz en la polarización (p) y, por lo tanto, se refracta en un ángulo diferente.$

La luz entrante en la polarización

s

(rayo extraordinario, en este ejemplo) ve un índice de refracción mayor que la luz en la polarización

p

(rayo ordinario), experimentando una mayor refracción al entrar y salir del cristal.

La birrefringencia es la propiedad óptica de un material que tiene un índice de refracción que depende de la polarización y la dirección de propagación de la luz . Se dice que estos materiales ópticamente anisotrópicos son birrefringentes (o birrefringentes ). La birrefringencia a menudo se cuantifica como la diferencia máxima entre los índices de refracción exhibidos por el material. Los cristales con estructuras cristalinas no cúbicas suelen ser birrefringentes, al igual que los plásticos bajo tensión mecánica .

La birrefringencia es responsable del fenómeno de la doble refracción por el cual un rayo de luz, cuando incide sobre un material birrefringente, se divide por polarización en dos rayos que toman caminos ligeramente diferentes. Este efecto fue descrito por primera vez por el científico danés Rasmus Bartholin en 1669, quien lo observó en calcita , un cristal que tiene una de las birrefringencias más fuertes. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX cuando Augustin-Jean Fresnel describió el fenómeno en términos de polarización, entendiendo la luz como una onda con componentes de campo en polarización transversal (perpendicular a la dirección del vector de onda).

Explicación

Imagen doblemente refractada vista a través de un cristal de calcita, vista a través de un filtro polarizador giratorio que ilustra los estados de polarización opuestos de las dos imágenes.

A continuación se presenta una descripción matemática de la propagación de ondas en un medio birrefringente . A continuación se presenta una explicación cualitativa del fenómeno.

Materiales uniaxiales

El tipo más simple de birrefringencia se describe como uniaxial , lo que significa que hay una sola dirección que gobierna la anisotropía óptica, mientras que todas las direcciones perpendiculares a ella (o en un ángulo determinado) son ópticamente equivalentes. Por lo tanto, la rotación del material alrededor de este eje no cambia su comportamiento óptico. Esta dirección especial se conoce como el eje óptico del material. La luz que se propaga paralela al eje óptico (cuya polarización es siempre perpendicular al eje óptico) se rige por un índice de refracción $n o$ (por "ordinario") independientemente de su polarización específica. Para los rayos con cualquier otra dirección de propagación, existe una polarización lineal que sería perpendicular al eje óptico, y un rayo con esa polarización se denomina rayo ordinario y se rige por el mismo valor de índice de refracción $n o$ . Sin embargo, para un rayo que se propaga en la misma dirección pero con una polarización perpendicular a la del rayo ordinario, la dirección de polarización estará parcialmente en la dirección del eje óptico, y este rayo extraordinario estará gobernado por un rayo diferente, dependiente de la dirección. índice de refracción. Debido a que el índice de refracción depende de la polarización, cuando la luz no polarizada ingresa a un material birrefringente uniaxial, se divide en dos haces que viajan en diferentes direcciones, uno con la polarización del rayo ordinario y el otro con la polarización del rayo extraordinario. El rayo ordinario siempre experimentará un índice de refracción de $n o$ , mientras que el índice de refracción del rayo extraordinario estará entre $n o$ y $n e$ , dependiendo de la dirección del rayo descrita por el índice elipsoide . La magnitud de la diferencia se cuantifica por la birrefringencia:

\Delta n=n_{\mathrm {e} }-n_{\mathrm {o} }\,.

La propagación (así como el coeficiente de reflexión ) del rayo ordinario se describe simplemente mediante $n o$ como si no hubiera birrefringencia involucrada. Sin embargo, el extraordinario rayo, como sugiere su nombre, se propaga a diferencia de cualquier onda en un material óptico isotrópico. Su refracción (y reflexión ) en una superficie se puede entender utilizando el índice de refracción efectivo (un valor entre no y $n e$ $) .$ Sin embargo, su flujo de potencia (dado por el vector de Poynting ) no está exactamente en la dirección del vector de onda . Esto provoca un cambio adicional en ese haz, incluso cuando se lanza con una incidencia normal, como se observa popularmente al usar un cristal de calcita como se muestra en la fotografía de arriba. La rotación del cristal de calcita hará que una de las dos imágenes, la del rayo extraordinario, gire ligeramente alrededor de la del rayo ordinario, que permanece fija.

Cuando la luz se propaga a lo largo o en dirección ortogonal al eje óptico, no se produce tal desplazamiento lateral. En el primer caso, ambas polarizaciones son perpendiculares al eje óptico y ven el mismo índice de refracción efectivo, por lo que no existe un rayo extraordinario. En el segundo caso, el rayo extraordinario se propaga a una velocidad de fase diferente (correspondiente a $ne ) pero todavía$ tiene el flujo de energía en la dirección del vector de onda . Un cristal con su eje óptico en esta orientación, paralelo a la superficie óptica, puede usarse para crear una placa de ondas , en la que no hay distorsión de la imagen sino una modificación intencional del estado de polarización de la onda incidente. Por ejemplo, una placa de cuarto de onda se usa comúnmente para crear polarización circular a partir de una fuente polarizada linealmente.

Materiales biaxiales

El caso de los llamados cristales biaxiales es sustancialmente más complejo. Estos se caracterizan por tres índices de refracción correspondientes a tres ejes principales del cristal. Para la mayoría de las direcciones de los rayos, ambas polarizaciones se clasificarían como rayos extraordinarios pero con diferentes índices de refracción efectivos. Sin embargo, al ser ondas extraordinarias, la dirección del flujo de potencia no es idéntica a la dirección del vector de onda en ninguno de los dos casos.

Los dos índices de refracción se pueden determinar utilizando los elipsoides de índice para direcciones dadas de la polarización. Tenga en cuenta que para los cristales biaxiales, el elipsoide de índice no será un elipsoide de revolución (" esferoide "), sino que se describe mediante tres índices de refracción de principio desigual $n α$ , $n β$ y $n γ$ . Por lo tanto, no hay un eje alrededor del cual una rotación deje invariantes las propiedades ópticas (como ocurre con los cristales uniaxiales cuyo índice elipsoide es un esferoide).

Aunque no hay eje de simetría, hay dos ejes ópticos o binormales que se definen como direcciones a lo largo de las cuales la luz puede propagarse sin birrefringencia, es decir, direcciones a lo largo de las cuales la longitud de onda es independiente de la polarización. Por esta razón, los materiales birrefringentes con tres índices de refracción distintos se denominan biaxiales . Además, hay dos ejes distintos conocidos como ejes de rayos ópticos o birradiales a lo largo de los cuales la velocidad de grupo de la luz es independiente de la polarización.

Doble refracción

Cuando un haz de luz arbitrario golpea la superficie de un material birrefringente con una incidencia no normal, el componente de polarización normal al eje óptico (rayo ordinario) y la otra polarización lineal (rayo extraordinario) se refractarán hacia caminos algo diferentes. La luz natural, llamada luz no polarizada , consiste en cantidades iguales de energía en dos polarizaciones ortogonales cualesquiera. Incluso la luz polarizada linealmente tiene algo de energía en ambas polarizaciones, a menos que esté alineada a lo largo de uno de los dos ejes de birrefringencia. Según la ley de refracción de Snell , los dos ángulos de refracción se rigen por el índice de refracción efectivo de cada una de estas dos polarizaciones. Esto se ve claramente, por ejemplo, en el prisma de Wollaston que separa la luz entrante en dos polarizaciones lineales utilizando prismas compuestos de un material birrefringente como la calcita .

Los diferentes ángulos de refracción para los dos componentes de polarización se muestran en la figura en la parte superior de la página, con el eje óptico a lo largo de la superficie (y perpendicular al plano de incidencia ), de modo que el ángulo de refracción es diferente para el $p$ polarización (el "rayo ordinario" en este caso, que tiene su vector eléctrico perpendicular al eje óptico) y la polarización $s$ (el "rayo extraordinario" en este caso, cuya polarización del campo eléctrico incluye un componente en la dirección del eje óptico) . Además, se produce una forma distinta de doble refracción, incluso con incidencia normal, en los casos en que el eje óptico no está a lo largo de la superficie de refracción (ni exactamente normal a ella); en este caso, la polarización dieléctrica del material birrefringente no es exactamente en la dirección del campo eléctrico de la onda del rayo extraordinario. La dirección del flujo de energía (dada por el vector de Poynting ) para esta onda no homogénea está en un ángulo finito desde la dirección del vector de onda, lo que da como resultado una separación adicional entre estos haces. Entonces, incluso en el caso de incidencia normal, donde uno calcularía el ángulo de refracción como cero (según la ley de Snell, independientemente del índice de refracción efectivo), la energía del rayo extraordinario se propaga en un ángulo. Si sale del cristal por una cara paralela a la de entrada, se restaurará la dirección de ambos rayos, pero dejando un desplazamiento entre los dos haces. Esto se observa comúnmente utilizando un trozo de calcita cortado a lo largo de su hendidura natural, colocado sobre un papel con escritura, como en las fotografías anteriores. Por el contrario, las placas de ondas tienen específicamente su eje óptico a lo largo de la superficie de la placa, de modo que con una incidencia (aproximadamente) normal no habrá cambio en la imagen de la luz de ninguna polarización, simplemente un cambio de fase relativo entre las dos ondas de luz.

Terminología

Comparación de birrefringencia positiva y negativa. En birrefringencia negativa (1), la polarización paralela (p) al eje óptico A es el rayo rápido (F) mientras que la polarización perpendicular (s) es el rayo lento (S). En birrefringencia positiva (2), es al revés.

Gran parte del trabajo relacionado con la polarización precedió a la comprensión de la luz como una onda electromagnética transversal , y esto ha afectado a cierta terminología en uso. Los materiales isotrópicos tienen simetría en todas las direcciones y el índice de refracción es el mismo para cualquier dirección de polarización. Un material anisotrópico se llama "birrefringente" porque generalmente refractará un solo rayo entrante en dos direcciones, que ahora entendemos corresponden a las dos polarizaciones diferentes. Esto es cierto para un material uniaxial o biaxial.

En un material uniaxial, un rayo se comporta de acuerdo con la ley de refracción normal (correspondiente al índice de refracción ordinario), por lo que un rayo entrante con una incidencia normal permanece normal a la superficie de refracción. Sin embargo, como se explicó anteriormente, la otra polarización puede desviarse de la incidencia normal, lo que no se puede describir utilizando la ley de refracción. Esto se conoció así como el rayo extraordinario . Los términos "ordinario" y "extraordinario" todavía se aplican a los componentes de polarización perpendiculares y no perpendiculares al eje óptico respectivamente, incluso en los casos en los que no se trata de doble refracción.

Un material se denomina uniaxial cuando tiene una sola dirección de simetría en su comportamiento óptico, lo que denominamos eje óptico. También resulta ser el eje de simetría del elipsoide índice (un esferoide en este caso). El elipsoide de índice aún podría describirse de acuerdo con los índices de refracción, $n α$ , $n β$ y $n γ$ , a lo largo de tres ejes de coordenadas, sin embargo, en este caso, dos son iguales. Entonces, si $n α = n β$ correspondiente a los ejes $x$ e $y$ , entonces el índice extraordinario es $n γ$ correspondiente al eje $z$ , que también se denomina eje óptico en este caso.

Sin embargo, los materiales en los que los tres índices de refracción son diferentes se denominan biaxiales y el origen de este término es más complicado y, con frecuencia, se malinterpreta. En un cristal uniaxial, diferentes componentes de polarización de un haz viajarán a diferentes velocidades de fase, excepto los rayos en la dirección de lo que llamamos el eje óptico. Por lo tanto, el eje óptico tiene la propiedad particular de que los rayos en esa dirección no exhiben birrefringencia, y todas las polarizaciones en dicho haz experimentan el mismo índice de refracción. Es muy diferente cuando los tres índices de refracción principales son todos diferentes; entonces un rayo entrante en cualquiera de esas direcciones principales seguirá encontrando dos índices de refracción diferentes. Pero resulta que hay dos direcciones especiales (en ángulo con respecto a los 3 ejes) donde los índices de refracción para diferentes polarizaciones vuelven a ser iguales. Por esta razón, estos cristales fueron designados como biaxiales , con los dos "ejes" en este caso refiriéndose a las direcciones de los rayos en los que la propagación no experimenta birrefringencia.

Rayos rápidos y lentos

En un material birrefringente, una onda consta de dos componentes de polarización que generalmente se rigen por diferentes índices de refracción efectivos. El llamado rayo lento es el componente para el cual el material tiene el índice de refracción efectivo más alto (velocidad de fase más lenta), mientras que el rayo rápido es el que tiene un índice de refracción efectivo más bajo. Cuando un haz incide sobre dicho material desde el aire (o cualquier material con un índice de refracción más bajo), el rayo lento se refracta más hacia el normal que el rayo rápido. En la figura en la parte superior de la página, se puede ver que el rayo refractado con polarización s (con su vibración eléctrica en la dirección del eje óptico, por lo tanto, el rayo extraordinario) es el rayo lento en este caso.

Usando una losa delgada de ese material con una incidencia normal, se implementaría una placa ondulada . En este caso, esencialmente no hay separación espacial entre las polarizaciones, sin embargo, la fase de la onda en la polarización paralela (el rayo lento) se retrasará con respecto a la polarización perpendicular. Estas direcciones se conocen como el eje lento y el eje rápido de la placa de ondas.

Positivo o negativo

La birrefringencia uniaxial se clasifica como positiva cuando el índice de refracción extraordinario $n e$ es mayor que el índice ordinario $n o$ . La birrefringencia negativa significa que $Δ n = n e - n o$ es menor que cero. En otras palabras, la polarización de la onda rápida (o lenta) es perpendicular al eje óptico cuando la birrefringencia del cristal es positiva (o negativa, respectivamente). En el caso de cristales biaxiales, los tres ejes principales tienen diferentes índices de refracción, por lo que esta designación no se aplica. Pero para cualquier dirección de rayo definida, también se pueden designar las polarizaciones de rayo rápidas y lentas.

Fuentes de birrefringencia óptica

Vista desde debajo del Sky Pool, Londres, con franjas de colores debido a la birrefringencia del estrés de un tragaluz parcialmente polarizado a través de un polarizador circular

Si bien la fuente más conocida de birrefringencia es la entrada de luz en un cristal anisotrópico, puede dar como resultado materiales ópticamente isotrópicos de varias maneras:

La birrefringencia de tensión se produce cuando un sólido normalmente isotrópico se somete a tensión y deformación (es decir, se estira o se dobla) provocando una pérdida de isotropía física y, en consecuencia, una pérdida de isotropía en el tensor de permitividad del material;
Birrefringencia de forma, en la que los elementos de la estructura, como las varillas, que tienen un índice de refracción, se suspenden en un medio con un índice de refracción diferente. Cuando el espacio de la red es mucho más pequeño que una longitud de onda, dicha estructura se describe como un metamaterial ;
Por el efecto Pockels o Kerr , por el cual un campo eléctrico aplicado induce birrefringencia debido a la óptica no lineal ;
Por el alineamiento propio o forzado en películas delgadas de moléculas anfifílicas como lípidos , algunos surfactantes o cristales líquidos ;
La birrefringencia circular tiene lugar generalmente no en materiales que son anisotrópicos sino en materiales que son quirales . Esto puede incluir líquidos donde hay un exceso enantiomérico de una molécula quiral, es decir, una que tiene estereoisómeros ;
Por el efecto Faraday , donde un campo magnético longitudinal hace que algunos materiales se vuelvan circularmente birrefringentes (con índices de refracción ligeramente diferentes para las polarizaciones circulares izquierda y derecha ), similar a la actividad óptica mientras se aplica el campo.

Materiales birrefringentes comunes

Intercalados entre polarizadores cruzados, los cubiertos de poliestireno transparente exhiben una birrefringencia dependiente de la longitud de onda

Los materiales birrefringentes mejor caracterizados son los cristales . Debido a sus estructuras cristalinas específicas, sus índices de refracción están bien definidos. Dependiendo de la simetría de una estructura cristalina (determinada por uno de los 32 posibles grupos de puntos cristalográficos ), los cristales en ese grupo pueden ser forzados a ser isotrópicos (no birrefringentes), a tener simetría uniaxial, o ninguno, en cuyo caso es un cristal biaxial. Las estructuras cristalinas que permiten la birrefringencia uniaxial y biaxial se indican en las dos tablas siguientes, que enumeran los dos o tres índices de refracción principales (a una longitud de onda de 590 nm) de algunos cristales más conocidos.

Además de la birrefringencia inducida mientras están bajo tensión, muchos plásticos obtienen una birrefringencia permanente durante la fabricación debido a las tensiones que se "congelan" debido a las fuerzas mecánicas presentes cuando el plástico se moldea o extruye. Por ejemplo, el celofán ordinario es birrefringente. Los polarizadores se utilizan habitualmente para detectar tensión, ya sea aplicada o congelada, en plásticos como el poliestireno y el policarbonato .

La fibra de algodón es birrefringente debido a los altos niveles de material celulósico en la pared celular secundaria de la fibra que está alineada direccionalmente con las fibras de algodón.

La microscopía de luz polarizada se usa comúnmente en tejidos biológicos, ya que muchos materiales biológicos son birrefringentes lineal o circularmente. El colágeno, que se encuentra en cartílagos, tendones, huesos, córneas y varias otras áreas del cuerpo, es birrefringente y comúnmente se estudia con microscopía de luz polarizada. Algunas proteínas también son birrefringentes y exhiben birrefringencia de forma.

Las imperfecciones de fabricación inevitables en la fibra óptica conducen a la birrefringencia, que es una de las causas del ensanchamiento del pulso en las comunicaciones de fibra óptica . Estas imperfecciones pueden ser geométricas (falta de simetría circular) o debidas a una tensión lateral desigual aplicada a la fibra óptica. La birrefringencia se introduce intencionalmente (por ejemplo, al hacer que la sección transversal sea elíptica) para producir fibras ópticas que mantienen la polarización . La birrefringencia se puede inducir (¡o corregir!) en las fibras ópticas doblándolas, lo que provoca anisotropía en la forma y la tensión dado el eje alrededor del cual se dobla y el radio de curvatura.

Además de la anisotropía en la polarizabilidad eléctrica que hemos estado discutiendo, la anisotropía en la permeabilidad magnética podría ser una fuente de birrefringencia. Sin embargo, a frecuencias ópticas, no existe una polarizabilidad magnética medible ( μ = μ ₀ ) de los materiales naturales, por lo que esta no es una fuente real de birrefringencia en longitudes de onda ópticas.

Cristales uniaxiales, a 590 nm
Material	sistema de cristal	$no_$	$n e$	$n_$
borato de bario BaB ₂ O ₄	trigonal	1.6776	1.5534	−0.1242
berilo Be ₃ Al ₂ (SiO ₃ ) ₆	Hexagonal	1.602	1.557	−0,045
calcita CaCO3 _{_}	trigonal	1.658	1.486	−0,172
hielo H ₂ O	Hexagonal	1.3090	1.3104	+0.0014
niobato de litio LiNbO ₃	trigonal	2.272	2.187	−0,085
fluoruro de magnesio MgF ₂	tetragonal	1.380	1.385	+0.006
cuarzo SiO ₂	trigonal	1.544	1.553	+0.009
rubí Al ₂ O ₃	trigonal	1.770	1.762	−0.008
rutilo TiO ₂	tetragonal	2.616	2.903	+0.287
zafiro Al ₂ O ₃	trigonal	1.768	1.760	−0.008
carburo de silicio SiC	Hexagonal	2.647	2.693	+0.046
turmalina (silicato complejo)	trigonal	1.669	1.638	−0,031
circón , alto ZrSiO ₄	tetragonal	1.960	2.015	+0.055
circón, bajo ZrSiO ₄	tetragonal	1.920	1.967	+0.047

Cristales biaxiales, a 590 nm
Material	sistema de cristal	$norte_$	$norte_$	$n γ$
bórax Na ₂ (B ₄ O ₅ )(OH) ₄ ·8H ₂ O	monoclínico	1.447	1.469	1.472
sal de Epsom MgSO ₄ ·7H ₂ O	monoclínico	1.433	1.455	1.461
mica , biotita K(Mg,Fe) ₃ (AlSi ₃ O ₁₀ )(F,OH) ₂	monoclínico	1.595	1.640	1.640
mica, moscovita KAl ₂ (AlSi ₃ O ₁₀ )(F,OH) ₂	monoclínico	1.563	1.596	1.601
olivino (Mg,Fe) ₂ SiO ₄	ortorrómbico	1.640	1.660	1.680
perovskita CaTiO ₃	ortorrómbico	2.300	2.340	2.380
topacio Al ₂ SiO ₄ (F,OH) ₂	ortorrómbico	1.618	1.620	1.627
ulexita NaCaB ₅ O ₆ (OH) ₆ ·5H ₂ O	triclínica	1.490	1.510	1.520

Medición

La birrefringencia y otros efectos ópticos basados en la polarización (como la rotación óptica y el dicroísmo lineal o circular ) se pueden observar midiendo cualquier cambio en la polarización de la luz que atraviesa el material. Estas medidas se conocen como polarimetría . Los microscopios de luz polarizada, que contienen dos polarizadores que están a 90° entre sí a cada lado de la muestra, se utilizan para visualizar la birrefringencia, ya que la luz que no ha sido afectada por la birrefringencia permanece en una polarización que es totalmente rechazada por el segundo polarizador. ("analizador"). La adición de placas de cuarto de onda permite el examen con luz polarizada circularmente. La determinación del cambio en el estado de polarización utilizando un aparato de este tipo es la base de la elipsometría , mediante la cual se pueden medir las propiedades ópticas de las superficies especulares a través de la reflexión.

Las mediciones de birrefringencia se han realizado con sistemas modulados en fase para examinar el comportamiento de flujo transitorio de los fluidos. La birrefringencia de las bicapas lipídicas se puede medir mediante interferometría de polarización dual . Esto proporciona una medida del grado de orden dentro de estas capas de fluidos y cómo se interrumpe este orden cuando la capa interactúa con otras biomoléculas.

Aplicaciones

Pantalla reflectante de cristal líquido nemático torcido . La luz reflejada por la superficie (6) (o procedente de una luz de fondo ) se polariza horizontalmente (5) y pasa a través del modulador de cristal líquido (3) intercalado entre capas transparentes (2, 4) que contienen electrodos. La luz polarizada horizontalmente es bloqueada por el polarizador orientado verticalmente (1), excepto donde su polarización ha sido rotada por el cristal líquido (3), apareciendo brillante para el observador.

La birrefringencia se utiliza en muchos dispositivos ópticos. Las pantallas de cristal líquido , el tipo más común de pantalla plana , hacen que sus píxeles se vuelvan más claros o más oscuros a través de la rotación de la polarización (birrefringencia circular) de la luz polarizada linealmente vista a través de un polarizador de hoja en la superficie de la pantalla. De manera similar, los moduladores de luz modulan la intensidad de la luz a través de una birrefringencia inducida eléctricamente de luz polarizada seguida de un polarizador. El filtro de Lyot es un filtro espectral de banda estrecha especializado que emplea la dependencia de la longitud de onda de la birrefringencia. Los waveplates son finas láminas birrefringentes muy utilizadas en determinados equipos ópticos para modificar el estado de polarización de la luz que los atraviesa.

La birrefringencia también juega un papel importante en la generación de segundo armónico y otros componentes ópticos no lineales , ya que los cristales utilizados para este fin son casi siempre birrefringentes. Al ajustar el ángulo de incidencia, el índice de refracción efectivo del rayo extraordinario se puede ajustar para lograr la coincidencia de fase , que se requiere para la operación eficiente de estos dispositivos.

Medicamento

La birrefringencia se utiliza en diagnósticos médicos. Un accesorio poderoso que se usa con los microscopios ópticos es un par de filtros polarizadores cruzados. La luz de la fuente se polariza en la dirección $x$ después de pasar por el primer polarizador, pero encima de la muestra hay un polarizador (el llamado analizador ) orientado en la dirección $y$ . Por lo tanto, el analizador no aceptará la luz de la fuente y el campo aparecerá oscuro. Sin embargo, las áreas de la muestra que poseen birrefringencia generalmente acoplarán algo de la luz polarizada $x en la polarización$ $y$ ; estas áreas aparecerán brillantes contra el fondo oscuro. Las modificaciones a este principio básico pueden diferenciar entre birrefringencia positiva y negativa.

Cristales de gota y pseudogota vistos bajo un microscopio con un compensador rojo, que reduce la velocidad de la luz roja en una orientación (etiquetada como "eje de luz polarizada"). Los cristales de urato ( imagen de la izquierda ) en la gota aparecen de color amarillo cuando su eje mayor es paralelo al eje de transmisión lenta del compensador rojo y aparecen de color azul cuando son perpendiculares. Los colores opuestos se ven en la enfermedad por depósito de cristales de pirofosfato de calcio dihidratado (pseudogota, imagen de la derecha ): azul cuando es paralelo y amarillo cuando es perpendicular.

Por ejemplo, la aspiración con aguja de líquido de una articulación gotosa revelará cristales de urato monosódico con birrefringencia negativa. Los cristales de pirofosfato de calcio , por el contrario, muestran una birrefringencia positiva débil. Los cristales de urato aparecen amarillos y los cristales de pirofosfato de calcio aparecen azules cuando sus ejes largos se alinean paralelos al de un filtro compensador rojo, o se agrega a la muestra un cristal de birrefringencia conocida para comparar.

La birrefringencia se puede observar en las placas amiloides , como las que se encuentran en los cerebros de los pacientes de Alzheimer cuando se tiñen con un tinte como Congo Red. Las proteínas modificadas, como las cadenas ligeras de inmunoglobulina , se acumulan de forma anormal entre las células, formando fibrillas. Múltiples pliegues de estas fibras se alinean y adoptan una conformación de hoja plegada beta . El colorante rojo congo se intercala entre los pliegues y, cuando se observa bajo luz polarizada, provoca birrefringencia.

En oftalmología , la detección de birrefringencia retiniana binocular de las fibras de Henle (axones fotorreceptores que van radialmente hacia afuera desde la fóvea) proporciona una detección confiable de estrabismo y posiblemente también de ambliopía anisometrópica . En sujetos sanos, el retardo máximo inducido por la capa de fibras de Henle es de aproximadamente 22 grados a 840 nm. Además, la polarimetría láser de barrido utiliza la birrefringencia de la capa de fibras del nervio óptico para cuantificar indirectamente su espesor, lo que resulta útil en la evaluación y seguimiento del glaucoma . Las mediciones de tomografía de coherencia óptica sensible a la polarización obtenidas de sujetos humanos sanos han demostrado un cambio en la birrefringencia de la capa de fibras nerviosas de la retina en función de la ubicación alrededor de la cabeza del nervio óptico. La misma tecnología se aplicó recientemente en la retina humana viva para cuantificar las propiedades de polarización de las paredes de los vasos cerca del nervio óptico.

Las características de birrefringencia en las cabezas de los espermatozoides permiten la selección de espermatozoides para la inyección intracitoplasmática de espermatozoides . Del mismo modo, las imágenes zonales utilizan la birrefringencia en los ovocitos para seleccionar los que tienen mayores posibilidades de lograr un embarazo exitoso. La birrefringencia de partículas biopsiadas de nódulos pulmonares indica silicosis .

Los dermatólogos usan dermatoscopios para ver las lesiones de la piel. Los dermoscopios utilizan luz polarizada, lo que permite al usuario ver las estructuras cristalinas correspondientes al colágeno dérmico de la piel. Estas estructuras pueden aparecer como líneas blancas brillantes o formas de rosetas y sólo son visibles bajo dermatoscopia polarizada .

Birrefringencia inducida por estrés

Patrón de color de una caja de plástico con tensión mecánica "congelada" colocada entre dos polarizadores cruzados

Los sólidos isotrópicos no presentan birrefringencia. Sin embargo, cuando están bajo tensión mecánica , se produce birrefringencia. La tensión se puede aplicar externamente o se "congela" después de que un artículo de plástico birrefringente se enfría después de fabricarlo mediante moldeo por inyección . Cuando una muestra de este tipo se coloca entre dos polarizadores cruzados, se pueden observar patrones de color, porque la polarización de un rayo de luz gira después de pasar a través de un material birrefringente y la cantidad de rotación depende de la longitud de onda. El método experimental llamado fotoelasticidad utilizado para analizar la distribución de tensiones en sólidos se basa en el mismo principio. Ha habido investigaciones recientes sobre el uso de birrefringencia inducida por tensión en una placa de vidrio para generar un vórtice óptico y haces completos de Poincaré (haces ópticos que tienen todos los estados de polarización posibles en una sección transversal).

Otros casos de birrefringencia

Rutilo birrefringente observado en diferentes polarizaciones utilizando un polarizador giratorio (o analizador )

La birrefringencia se observa en materiales elásticos anisotrópicos . En estos materiales, las dos polarizaciones se dividen según sus índices de refracción efectivos, que también son sensibles al estrés.

El estudio de la birrefringencia en ondas transversales que viajan a través de la Tierra sólida (el núcleo líquido de la Tierra no admite ondas transversales) se usa ampliamente en sismología .

La birrefringencia se usa ampliamente en mineralogía para identificar rocas, minerales y piedras preciosas.

Teoría

Superficie de los k vectores permitidos para una frecuencia fija para un cristal biaxial (ver eq. 7 ).

En un medio isotrópico (incluido el espacio libre), el llamado desplazamiento eléctrico ( $D$ ) es solo proporcional al campo eléctrico ( $E$ ) según $D = ɛ E$ donde la permitividad del material $ε$ es solo un escalar (e igual a $n 2 ε 0$ donde $n$ es el índice de refracción ). Sin embargo, en un material anisotrópico que exhibe birrefringencia, la relación entre $D$ y $E$ ahora debe describirse usando una ecuación tensorial :

\mathbf {D} ={\boldsymbol {\varepsilon}}\mathbf {E}

( 1 )

donde $ε$ es ahora un tensor de permitividad de 3 × 3. Suponemos linealidad y ausencia de permeabilidad magnética en el medio: $μ = μ 0$ . El campo eléctrico de una onda plana de frecuencia angular $ω$ se puede escribir en la forma general:

\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}

( 2 )

donde $r$ es el vector de posición, $t$ es el tiempo y $E 0$ es un vector que describe el campo eléctrico en $r = 0$ , $t = 0$ . Entonces encontraremos los posibles vectores de onda $k$ . Al combinar las ecuaciones de Maxwell para $\nabla \times E$ y $\nabla \times H$ , podemos eliminar $H =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/0 _B$ para obtener:

-\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =\mu _{0}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t^{2}}}\mathbf {D}

( 3a )

Sin cargos gratuitos, la ecuación de Maxwell para la divergencia de $D$ desaparece:

\nabla \cdot \mathbf {D} =0

( 3b )

Podemos aplicar la identidad vectorial $\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla(\nabla \cdot A) - \nabla 2 A$ al lado izquierdo de la ecuación. 3a , y use la dependencia espacial en la que cada diferenciación en $x$ (por ejemplo) da como resultado una multiplicación por $ik x$ para encontrar:

-\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {k } )\mathbf {E}

( 3c )

El lado derecho de la ec. 3a se puede expresar en términos de $E$ mediante la aplicación del tensor de permitividad $ε$ y observando que la diferenciación en el tiempo da como resultado la multiplicación por $- iω$ , eq. 3a entonces se convierte en:

(-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {E} +(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} =-\mu _{0} }\omega ^{2}({\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E} )

( 4a )

Aplicando la regla de diferenciación a la ec. 3b encontramos:

\mathbf {k} \cdot \mathbf {D} =0

( 4b )

ecuación 4b indica que $D$ es ortogonal a la dirección del vector de onda $k$ , aunque eso ya no es generalmente cierto para $E$ como sería el caso en un medio isotrópico. ecuación 4b no será necesario para los pasos posteriores en la siguiente derivación.

Encontrar los valores permitidos de $k$ para un $ω$ dado es más fácil usando coordenadas cartesianas con los ejes $x$ , $y$ y $z$ elegidos en las direcciones de los ejes de simetría del cristal (o simplemente eligiendo $z$ en la dirección del eje óptico de un cristal). cristal uniaxial), resultando en una matriz diagonal para el tensor de permitividad $ε$ :

\mathbf {\varepsilon} =\varepsilon _{0}{\begin{bmatrix}n_{x}^{2}&0&0\\0&n_{y}^{2}&0\\0&0&n_{z}^{ 2}\end{bmatriz}}

( 4c )

donde los valores diagonales son cuadrados de los índices de refracción para polarizaciones a lo largo de los tres ejes principales $x$ , $y$ y $z$ . Con $ε$ en esta forma, y sustituyendo en la velocidad de la luz $c$ usando $c 2 = 1 / μ 0 ε 0$ , la componente $x de la ecuación vectorial$ eq. 4a se convierte

\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}\right)E_{x}+k_{x}^{2}E_ {x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=-{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}} {c^{2}}}E_{x}

( 5a )

donde $E x$ , $E y$ , $E z$ son las componentes de $E$ (en cualquier posición dada en el espacio y el tiempo) y $k x$ , $k y$ , $k z$ son las componentes de $k$ . Reorganizando, podemos escribir (y de manera similar para los componentes $y$ y $z de la$ ecuación 4a )

\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2} }}\right)E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=0

( 5b )

k_{x}k_{y}E_{x}+\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{ y}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{y}+k_{y}k_{z}E_{z}=0

( 5c )

k_{x}k_{z}E_{x}+k_{y}k_{z}E_{y}+\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} +{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{z}=0

( 5d )

Este es un conjunto de ecuaciones lineales en $E x$ , $E y$ , $E z$ , por lo que puede tener una solución no trivial (es decir, una que no sea $E = 0$ ) siempre que el siguiente determinante sea cero:

{\begin{vmatrix}\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}} {c^{2}}}\right)&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\\k_{x}k_{y}&\left(-k_{x}^{2} -k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)&k_{y}k_{z}\\ k_{x}k_{z}&k_{y}k_{z}&\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_ {z}^{2}}{c^{2}}}\right)\end{vmatriz}}=0

( 6 )

Evaluando el determinante de la ec. 6 , y reordenando los términos según las potencias de , los términos constantes se cancelan. Después de eliminar el factor común de los términos restantes, obtenemos ${\frac {\omega^{2}}{c^{2}}}$ ${\frac {\omega^{2}}{c^{2}}}$

{\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_ {x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}+k_{z}^{2} {n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}}}\derecha)+ \left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{ n_{x}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}n_{y}^{2}} }\derecha)\izquierda(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}\derecha)=0

( 7 )

En el caso de un material uniaxial, eligiendo que el eje óptico esté en la dirección $z$ de modo que $n x = n y = n o$ y $n z = n e$ , esta expresión se puede factorizar en

\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_ {\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^ {2}}{c^{2}}}\derecha)\izquierda({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{ 2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0

( 8 )

El establecimiento de cualquiera de los factores en la ec. 8 a cero definirá una superficie elipsoidal en el espacio de los vectores de onda $k$ permitidos para un $ω$ dado . El primer factor siendo cero define una esfera; esta es la solución para los llamados rayos ordinarios, en los que el índice de refracción efectivo es exactamente $n o$ independientemente de la dirección de $k$ . El segundo define un esferoide simétrico respecto al eje $z .$ Esta solución corresponde a los llamados rayos extraordinarios en los que el índice de refracción efectivo está entre $n o$ y $n e$ , dependiendo de la dirección de $k$ . Por lo tanto, para cualquier dirección de propagación arbitraria (que no sea en la dirección del eje óptico), se permiten dos vectores de onda $k$ distintos correspondientes a las polarizaciones de los rayos ordinarios y extraordinarios.

Para un material biaxial se puede describir una condición similar pero más complicada en las dos ondas; $el lugar geométrico de los k$ vectores permitidos (la superficie del vector de onda ) es una superficie de dos hojas de cuarto grado, de modo que en una dirección dada generalmente hay dos $k$ vectores permitidos (y sus opuestos). Por inspección se puede ver que la ec. 6 generalmente se cumple para dos valores positivos de $ω$ . O, para una frecuencia óptica específica $ω$ y una dirección normal a los frentes de onda $k / | k |$ , se cumple para dos números de onda (o constantes de propagación) $| k |$ (y por lo tanto índices de refracción efectivos) correspondientes a la propagación de dos polarizaciones lineales en esa dirección.

Cuando esas dos constantes de propagación son iguales, el índice de refracción efectivo es independiente de la polarización y, en consecuencia, una onda que viaja en esa dirección particular no encuentra birrefringencia. Para un cristal uniaxial, este es el eje óptico, la dirección ± z según la construcción anterior. Pero cuando los tres índices de refracción (o permitividades), $n x$ , $n y$ y $n z$ son distintos, se puede demostrar que hay exactamente dos de esas direcciones, donde se tocan las dos láminas de la superficie del vector de onda; estas direcciones no son del todo obvias y no se encuentran a lo largo de ninguno de los tres ejes principales ( $x$ , $y$ , $z$ según la convención anterior). Históricamente, eso explica el uso del término "biaxial" para tales cristales, ya que la existencia de exactamente dos direcciones especiales (consideradas "ejes") se descubrió mucho antes de que se entendieran físicamente la polarización y la birrefringencia. Sin embargo, estas dos direcciones especiales generalmente no son de particular interés; los cristales biaxiales se especifican más bien por sus tres índices de refracción correspondientes a los tres ejes de simetría.

Un estado general de polarización lanzado al medio siempre se puede descomponer en dos ondas, una en cada una de esas dos polarizaciones, que luego se propagarán con diferentes números de onda $| k |$ . La aplicación de la fase diferente de propagación a esas dos ondas en una distancia de propagación específica dará como resultado un estado de polarización neta generalmente diferente en ese punto; este es el principio de la placa de ondas , por ejemplo. Sin embargo, con una placa de ondas, no hay desplazamiento espacial entre los dos rayos ya que sus vectores $k todavía están en la misma dirección.$ Eso es cierto cuando cada una de las dos polarizaciones es normal al eje óptico (el rayo ordinario) o paralela a él (el rayo extraordinario).

En el caso más general, hay una diferencia no sólo en la magnitud sino también en la dirección de los dos rayos. Por ejemplo, la fotografía a través de un cristal de calcita (parte superior de la página) muestra una imagen desplazada en las dos polarizaciones; esto se debe a que el eje óptico no es ni paralelo ni normal a la superficie del cristal. E incluso cuando el eje óptico es paralelo a la superficie, esto ocurrirá para ondas lanzadas con una incidencia no normal (como se muestra en la figura explicativa). En estos casos, los dos vectores $k$ se pueden encontrar resolviendo la ec. 6 restringida por la condición límite que requiere que los componentes de los vectores $k$ de las dos ondas transmitidas y el vector $k$ de la onda incidente, tal como se proyecta sobre la superficie de la interfaz, deben ser todos idénticos. Para un cristal uniaxial se encontrará que no hay un desplazamiento espacial para el rayo ordinario (de ahí su nombre) que se refractará como si el material no fuera birrefringente con un índice igual a los dos ejes que no son el eje óptico. . Para un cristal biaxial, ningún rayo se considera "ordinario" ni generalmente se refracta de acuerdo con un índice de refracción igual a uno de los ejes principales.

Ver también

notas

Referencias

Bibliografía

M. Born y E. Wolf, 2002, Principles of Optics , 7th Ed., Cambridge University Press, 1999 (reimpreso con correcciones, 2002).
A. Fresnel, 1827, "Mémoire sur la double réfraction", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France , vol. VII (para 1824, impreso en 1827), págs. 45–176 ; reimpreso como "Segunda memoria..." en Fresnel, 1866-1870, vol. 2, págs. 479–596 ; traducido por AW Hobson como "Memoir on double refraction" , en R. Taylor (ed.), Scientific Memoirs , vol. V (Londres: Taylor & Francis, 1852), págs. 238–333. (Los números de página citados son de la traducción).
A. Fresnel (ed. H. de Sénarmont, E. Verdet y L. Fresnel), 1866–70, Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel (3 volúmenes), París: Imprimerie Impériale; vol. 1 (1866) , vol. 2 (1868) , vol. 3 (1870) .

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