Sistema biortogonal - Biorthogonal system

En matemáticas , un sistema biortogonal es un par de familias indexadas de vectores

${\ Displaystyle {\ tilde {v}} _ {i}}$en E y en F${\ Displaystyle {\ tilde {u}} _ {i}}$

tal que

${\ Displaystyle \ left \ langle {\ tilde {v}} _ {i}, {\ tilde {u}} _ {j} \ right \ rangle = \ delta _ {i, j},}$

donde E y F forman un par de espacios vectoriales topológicos que están en dualidad , ⟨·, ·⟩ es un mapeo bilineal y es el delta de Kronecker . ${\ Displaystyle \ delta _ {i, j}}$

Un ejemplo es el par de conjuntos de autovectores derecho e izquierdo respectivamente de una matriz, indexados por autovalor , si los autovalores son distintos.

Un sistema biortogonal en el que E = F y es un sistema ortonormal . ${\ Displaystyle {\ tilde {v}} _ {i} = {\ tilde {u}} _ {i}}$

Proyección

Relacionado con un sistema biortogonal está la proyección

${\ Displaystyle P: = \ sum _ {i \ in I} {\ tilde {u}} _ {i} \ otimes {\ tilde {v}} _ {i}}$,

donde ; su imagen es el tramo lineal de y el núcleo es . ${\ Displaystyle \ left (u \ otimes v \ right) (x): = u \ langle v, x \ rangle}$${\ Displaystyle \ left \ {{\ tilde {u}} _ {i}: i \ in I \ right \}}$${\ Displaystyle \ left \ {\ left \ langle {\ tilde {v}} _ {i}, \ cdot \ right \ rangle = 0: i \ in I \ right \}}$

Construcción

Dado un conjunto de vectores posiblemente no ortogonal y la proyección relacionada es ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {i})}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ left (v_ {i} \ right)}$

${\ Displaystyle P = \ sum _ {i, j} u_ {i} \ left (\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle ^ {- 1} \ right) _ {j, i} \ a veces v_ {j}}$,

donde es la matriz con entradas . ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle}$${\ Displaystyle \ left (\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle \ right) _ {i, j} = \ left \ langle v_ {i}, u_ {j} \ right \ rangle}$

• ${\ Displaystyle {\ tilde {u}} _ {i}: = (IP) u_ {i}}$, y luego es un sistema biortogonal.${\ Displaystyle {\ tilde {v}} _ {i}: = \ left (IP \ right) ^ {*} v_ {i}}$

Ver también

• Base dual
• Espacio dual
• Par doble
• Ortogonalidad
• Ortogonalización

Referencias

• Jean Dieudonné, Sobre sistemas biortogonales Michigan Math. J. 2 (1953), núm. 1, 7-20 [1]