Bhāskara II - Bhāskara II

Bhāskara II
Nació	C.  1114 d.C. [Vijjalvid (Vijjadavida)]
Murió	C.  1185 d.C. Ujjain
Otros nombres	Bhāskarācārya
Antecedentes académicos
Trabajo académico
Era	Era Shaka
Disciplina	Matemático, astrónomo
Intereses principales	Álgebra , Cálculo , Aritmética , Trigonometría
Obras destacadas	Siddhānta Shiromani ( Līlāvatī , Bījagaṇita , Grahagaṇita y Golādhyāya) , Karaṇa-Kautūhala

Bhāskara (c. 1114-1185) también conocido como Bhāskarāchārya ("Bhāskara, el maestro"), y como Bhāskara II para evitar confusiones con Bhāskara I , fue un matemático y astrónomo indio . De los versos, en su obra principal, Siddhant Shiromani (सिध्दांतशिरोमणी), se puede inferir que nació en 1114 en Vijjalvid (Vijjadavida) en la cordillera de Sahyadhri, cerca de la ciudad de Patan en la región de Ghat occidental en la actual Khandesh en Maharashtra. Es el único matemático antiguo que ha sido inmortalizado en un monumento. En un templo en Maharashtra, una inscripción supuestamente creada por su nieto Cangadeva, enumera el linaje ancestral de Bhaskaracharya durante varias generaciones antes que él, así como dos generaciones después de él. Colebrooke, el primer europeo en traducir (1817) los clásicos matemáticos de Bhaskaracharya II, se refiere a la familia como brahmanes de Maharashtra que residen en las orillas del Godavari.

Nacido en una familia hindú Deshastha Brahmin de eruditos, matemáticos y astrónomos, Bhaskara II fue el líder de un observatorio cósmico en Ujjain , el principal centro matemático de la antigua India . Bhāskara y sus obras representan una contribución significativa al conocimiento matemático y astronómico en el siglo XII. Se le ha llamado el mayor matemático de la India medieval. Su obra principal Siddhānta-Śiromani , (en sánscrito para "Corona de tratados") se divide en cuatro partes llamadas Līlāvatī , Bījagaṇita , Grahagaṇita y Golādhyāya , que a veces también se consideran cuatro obras independientes. Estas cuatro secciones tratan de aritmética, álgebra, matemáticas de los planetas y esferas, respectivamente. También escribió otro tratado llamado Karaṇā Kautūhala.

El trabajo de Bhāskara sobre cálculo es anterior a Newton y Leibniz en más de medio milenio. Es particularmente conocido en el descubrimiento de los principios del cálculo diferencial y su aplicación a problemas y cálculos astronómicos. Si bien a Newton y Leibniz se les ha atribuido el cálculo diferencial e integral, existe una fuerte evidencia que sugiere que Bhāskara fue un pionero en algunos de los principios del cálculo diferencial. Quizás fue el primero en concebir el coeficiente diferencial y el cálculo diferencial.

Fecha, lugar y familia

Bhāskara da su fecha de nacimiento y la fecha de composición de su obra principal, en un verso en el metro Āryā :

rasa-guṇa-porṇa-mahīsama śhaka-nṛpa samaye 'bhavat mamotpattiḥ |
rasa-guṇa-varṣeṇa mayā siddhānta-śiromaṇī racitaḥ ||

Esto revela que nació en 1036 de la era Shaka (1114 EC ), y que compuso el Siddhānta-Śiromaṇī cuando tenía 36 años. También escribió otra obra llamada Karaṇa-kutūhala cuando tenía 69 años (en 1183). Sus obras muestran la influencia de Brahmagupta , Śrīdhara , Mahāvīra , Padmanābha y otros predecesores.

Nació en una familia Brahmin Deśastha Rigvedi cerca de Vijjadavida (se cree que es Bijjaragi de Vijayapur en la actual Karnataka ). Se dice que Bhāskara fue el jefe de un observatorio astronómico en Ujjain , el principal centro matemático de la India medieval. Vivía en la región de Sahyadri (Patnadevi, en el distrito de Jalgaon, Maharashtra).

La historia registra que su tatarabuelo ocupaba un puesto hereditario como académico de la corte, al igual que su hijo y otros descendientes. Su padre Maheśvara (Maheśvaropādhyāya) fue un matemático, astrónomo y astrólogo, que le enseñó matemáticas, que luego pasó a su hijo Loksamudra. El hijo de Loksamudra ayudó a establecer una escuela en 1207 para el estudio de los escritos de Bhāskara. Murió en 1185 CE.

El Siddhānta-Śiromani

Līlāvatī

La primera sección Līlāvatī (también conocida como pāṭīgaṇita o aṅkagaṇita ), que lleva el nombre de su hija, consta de 277 versos. Cubre cálculos, progresiones, medidas , permutaciones y otros temas.

Bijaganita

La segunda sección Bījagaṇita (Álgebra) tiene 213 versos. Discute el cero, el infinito, los números positivos y negativos y las ecuaciones indeterminadas, incluida la (ahora llamada) ecuación de Pell , resolviéndola utilizando un método kuṭṭaka . En particular, también resolvió el caso que siglos después iba a eludir a Fermat y sus contemporáneos europeos. ${\ Displaystyle 61x ^ {2} + 1 = y ^ {2}}$

Grahaganita

En la tercera sección , Grahagaṇita , mientras trataba el movimiento de los planetas, consideró sus velocidades instantáneas. Llegó a la aproximación: consta de 451 versos

${\ Displaystyle \ sin y '- \ sin y \ approx (y'-y) \ cos y}$para cerca de , o en notación moderna:${\ Displaystyle y '}$${\ Displaystyle y}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dy}} \ sin y = \ cos y}$.

En sus palabras:

bimbārdhasya koṭijyā guṇastrijyāhāraḥ phalaṃ dorjyāyorantaram

Este resultado también había sido observado anteriormente por Muñjalācārya (o Mañjulācārya) mānasam , en el contexto de una tabla de senos.

Bhāskara también afirmó que en su punto más alto, la velocidad instantánea de un planeta es cero.

Matemáticas

Algunas de las contribuciones de Bhaskara a las matemáticas incluyen las siguientes:

• Una prueba del teorema de Pitágoras calculando la misma área de dos formas diferentes y luego cancelando términos para obtener a ² + b ² = c ² .
• En Lilavati , se explican las soluciones de ecuaciones indeterminadas cuadráticas , cúbicas y cuárticas .
• Soluciones de ecuaciones cuadráticas indeterminadas (del tipo ax ² + b = y ² ).
• Soluciones enteras de ecuaciones indeterminadas lineales y cuadráticas ( Kuṭṭaka ). Las reglas que da son (en efecto) las mismas que las dadas por los matemáticos europeos del Renacimiento del siglo XVII.
• Un método cíclico de Chakravala para resolver ecuaciones indeterminadas de la forma ax ² + bx + c = y . La solución a esta ecuación se atribuyó tradicionalmente a William Brouncker en 1657, aunque su método era más difícil que el método chakravala .
• El primer método general para encontrar las soluciones del problema x ² - ny ² = 1 (la llamada " ecuación de Pell ") fue dado por Bhaskara II.
• Soluciones de ecuaciones diofánticas de segundo orden, como 61 x ² + 1 = y ² . Esta misma ecuación fue planteada como un problema en 1657 por el matemático francés Pierre de Fermat , pero su solución fue desconocida en Europa hasta la época de Euler en el siglo XVIII.
• Resolví ecuaciones cuadráticas con más de una incógnita y encontré soluciones negativas e irracionales .
• Concepto preliminar de análisis matemático .
• Concepto preliminar de cálculo infinitesimal , junto con notables contribuciones al cálculo integral .
• Cálculo diferencial concebido , después de descubrir una aproximación de la derivada y el coeficiente diferencial .
• Enunciado el teorema de Rolle , un caso especial de uno de los teoremas más importantes del análisis, el teorema del valor medio . En sus obras también se encuentran rastros del teorema general del valor medio.
• Calculó las derivadas de funciones y fórmulas trigonométricas. (Consulte la sección Cálculo a continuación).
• En Siddhanta-Śiromani , Bhaskara desarrolló la trigonometría esférica junto con una serie de otros resultados trigonométricos . (Consulte la sección de Trigonometría a continuación).

Aritmética

El texto aritmético de Bhaskara, Līlāvatī, cubre los temas de definiciones, términos aritméticos, cálculo de intereses, progresiones aritméticas y geométricas, geometría plana , geometría sólida , la sombra del gnomon , métodos para resolver ecuaciones indeterminadas y combinaciones .

Līlāvatī está dividido en 13 capítulos y cubre muchas ramas de las matemáticas, aritmética, álgebra, geometría y un poco de trigonometría y medición. Más específicamente, los contenidos incluyen:

• Definiciones
• Propiedades del cero (incluida la división y las reglas de operación con cero).
• Más trabajo numérico extenso, incluido el uso de números negativos y surds .
• Estimación de π .
• Términos aritméticos, métodos de multiplicación y cuadratura .
• Regla inversa de tres y reglas de 3, 5, 7, 9 y 11.
• Problemas que involucran el interés y el cálculo de intereses.
• Ecuaciones indeterminadas ( Kuṭṭaka ), soluciones enteras (primer y segundo orden). Sus contribuciones a este tema son particularmente importantes, ya que las reglas que da son (en efecto) las mismas que las dadas por los matemáticos europeos renacentistas del siglo XVII, pero su trabajo fue del siglo XII. El método de resolución de Bhaskara fue una mejora de los métodos encontrados en el trabajo de Aryabhata y los matemáticos posteriores.

Su trabajo se destaca por su sistematización, métodos mejorados y los nuevos temas que introdujo. Además, el Lilavati contenía excelentes problemas y se cree que la intención de Bhaskara pudo haber sido que un estudiante de 'Lilavati' se preocupara por la aplicación mecánica del método.

Álgebra

Su Bījaganita (" Álgebra ") fue un trabajo en doce capítulos. Fue el primer texto en reconocer que un número positivo tiene dos raíces cuadradas (una raíz cuadrada positiva y una negativa). Su trabajo Bījaganita es efectivamente un tratado de álgebra y contiene los siguientes temas:

• Números positivos y negativos .
• Lo 'desconocido' (incluye la determinación de cantidades desconocidas).
• Determinación de cantidades desconocidas.
• Surds (incluye evaluación de surds).
• Kuṭṭaka (para resolver ecuaciones indeterminadas y ecuaciones diofánticas ).
• Ecuaciones simples (indeterminadas de segundo, tercer y cuarto grado).
• Ecuaciones simples con más de una incógnita.
• Ecuaciones cuadráticas indeterminadas (del tipo ax ² + b = y ² ).
• Soluciones de ecuaciones indeterminadas de segundo, tercer y cuarto grado.
• Ecuaciones cuadráticas.
• Ecuaciones cuadráticas con más de una incógnita.
• Operaciones con productos de varias incógnitas.

Bhaskara derivó un método cíclico de chakravala para resolver ecuaciones cuadráticas indeterminadas de la forma ax ² + bx + c = y. El método de Bhaskara para encontrar las soluciones del problema Nx ² + 1 = y ² (la llamada " ecuación de Pell ") es de considerable importancia.

Trigonometría

El Siddhānta Shiromani (escrito en 1150) demuestra el conocimiento de trigonometría de Bhaskara, incluida la tabla de senos y las relaciones entre diferentes funciones trigonométricas. También desarrolló la trigonometría esférica , junto con otros resultados trigonométricos interesantes . En particular, Bhaskara parecía más interesado en la trigonometría por sí misma que sus predecesores, que la veían solo como una herramienta de cálculo. Entre los muchos resultados interesantes dados por Bhaskara, los resultados encontrados en sus trabajos incluyen el cálculo de senos de ángulos de 18 y 36 grados, y las ahora bien conocidas fórmulas para y . ${\ Displaystyle \ sin \ left (a + b \ right)}$${\ Displaystyle \ sin \ left (ab \ right)}$

Cálculo

Su trabajo, el Siddhānta Shiromani , es un tratado astronómico y contiene muchas teorías que no se encuentran en trabajos anteriores. Son de especial interés los conceptos preliminares de cálculo infinitesimal y análisis matemático , junto con una serie de resultados en trigonometría , cálculo diferencial y cálculo integral que se encuentran en el trabajo.

La evidencia sugiere que Bhaskara estaba familiarizado con algunas ideas de cálculo diferencial. Bhaskara también profundiza en el "cálculo diferencial" y sugiere que el coeficiente diferencial desaparece en un valor extremo de la función, lo que indica el conocimiento del concepto de " infinitesimales ".

• Hay evidencia de una forma temprana del teorema de Rolle en su trabajo. La formulación moderna del teorema de Rolle establece que si , entonces para algunos con .${\ Displaystyle f \ left (a \ right) = f \ left (b \ right) = 0}$${\ Displaystyle f '\ left (x \ right) = 0}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ a <x <b}$
• Dio el resultado de que si entonces , encontrando así la derivada del seno, aunque nunca desarrolló la noción de derivadas. ${\ Displaystyle x \ approx y}$${\ Displaystyle \ sin (y) - \ sin (x) \ approx (yx) \ cos (y)}$
  • Bhaskara usa este resultado para calcular el ángulo de posición de la eclíptica , una cantidad necesaria para predecir con precisión la hora de un eclipse.
• Al calcular el movimiento instantáneo de un planeta, el intervalo de tiempo entre las posiciones sucesivas de los planetas no era mayor que un truti , o 1 ⁄ 33750 de segundo, y su medida de velocidad se expresaba en esta unidad infinitesimal de tiempo.
• Sabía que cuando una variable alcanza el valor máximo, su diferencial se desvanece.
• También mostró que cuando un planeta está en su punto más alejado de la Tierra, o en su punto más cercano, la ecuación del centro (medida de qué tan lejos está un planeta de la posición en la que se predice que está, asumiendo que se moverá uniformemente) desaparece. Por tanto, concluyó que para alguna posición intermedia el diferencial de la ecuación del centro es igual a cero. En este resultado, hay rastros del teorema del valor medio general , uno de los teoremas más importantes en el análisis, que en la actualidad suele derivarse del teorema de Rolle. El teorema del valor medio fue encontrado más tarde por Parameshvara en el siglo XV en el Lilavati Bhasya , un comentario sobre el Lilavati de Bhaskara .

Madhava (1340-1425) y los matemáticos de la Escuela de Kerala (incluido Parameshvara) desde el siglo XIV hasta el siglo XVI ampliaron el trabajo de Bhaskara y avanzaron aún más en el desarrollo del cálculo en la India.

Astronomía

Usando un modelo astronómico desarrollado por Brahmagupta en el siglo VII, Bhāskara definió con precisión muchas cantidades astronómicas, incluyendo, por ejemplo, la duración del año sideral , el tiempo que se requiere para que la Tierra orbite el Sol, como aproximadamente 365,2588 días, que es lo mismo que en Suryasiddhanta. La medida moderna aceptada es 365,25636 días , una diferencia de solo 3,5 minutos.

Su texto de astronomía matemática Siddhanta Shiromani está escrito en dos partes: la primera parte sobre astronomía matemática y la segunda parte sobre la esfera .

Los doce capítulos de la primera parte cubren temas como:

• Longitudes medias de los planetas .
• Longitudes verdaderas de los planetas.
• Los tres problemas de la rotación diurna . (Movimiento diurno es un término astronómico que se refiere al movimiento diario aparente de las estrellas alrededor de la Tierra, o más precisamente alrededor de los dos polos celestes. Es causado por la rotación de la Tierra sobre su eje, por lo que cada estrella aparentemente se mueve en un círculo, que se llama círculo diurno).
• Syzygies .
• Eclipses lunares .
• Eclipses solares .
• Latitudes de los planetas.
• Ecuación de la salida del sol
• La Luna 's de media luna .
• Conjunciones de los planetas entre sí.
• Conjunciones de los planetas con las estrellas fijas .
• Los caminos del Sol y la Luna.

La segunda parte contiene trece capítulos sobre la esfera. Cubre temas como:

• Elogio del estudio de la esfera.
• Naturaleza de la esfera.
• Cosmografía y geografía .
• Movimiento medio planetario .
• Modelo epicíclico excéntrico de los planetas.
• La esfera armilar .
• Trigonometría esférica .
• Cálculos de elipse .
• Primeras visibilidades de los planetas.
• Calculando la media luna lunar.
• Instrumentos astronómicos.
• Las estaciones .
• Problemas de cálculos astronómicos.

Ingenieria

La primera referencia a una máquina de movimiento perpetuo se remonta a 1150, cuando Bhāskara II describió una rueda que, según él, funcionaría para siempre.

Bhāskara II usó un dispositivo de medición conocido como Yaṣṭi-yantra . Este dispositivo puede variar desde un simple palo hasta bastones en forma de V diseñados específicamente para determinar ángulos con la ayuda de una escala calibrada.

Leyendas

En su libro Lilavati , él razona: "También en esta cantidad, que tiene cero como divisor, no hay cambio incluso cuando muchas cantidades han entrado o salido [de él], al igual que en el momento de la destrucción y la creación cuando las multitudes de las criaturas entran y salen de [él, no hay cambio en] el [Vishnu] infinito e inmutable ".

"¡Mirad!"

Varios autores han afirmado que Bhaskara II demostró el teorema de Pitágoras dibujando un diagrama y proporcionando la palabra única "¡Mirad!". A veces se omite el nombre de Bhaskara y esto se conoce como la prueba hindú , bien conocida por los escolares.

Sin embargo, como señala el historiador de matemáticas Kim Plofker, después de presentar un ejemplo elaborado, Bhaskara II establece el teorema de Pitágoras:

Por tanto, en aras de la brevedad, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados del brazo y la vertical es la hipotenusa: así se demuestra.

A esto le sigue:

Y de lo contrario, cuando uno ha colocado esas partes de la figura allí [simplemente] viendo [es suficiente].

Plofker sugiere que esta declaración adicional puede ser la fuente última del difundido "¡Mirad!" leyenda.

Legado

Varios institutos y facultades de la India llevan su nombre, incluidos Bhaskaracharya Pratishthana en Pune, Bhaskaracharya College of Applied Sciences en Delhi, Bhaskaracharya Institute for Space Applications and Geoinformática en Gandhinagar.

El 20 de noviembre de 1981, la Organización de Investigación Espacial de la India (ISRO) lanzó el satélite Bhaskara II en honor al matemático y astrónomo.

Invis Multimedia lanzó Bhaskaracharya , un corto documental indio sobre el matemático en 2015.

Ver también

• Lista de matemáticos indios

Referencias

Bibliografía

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Otras lecturas

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• George Gheverghese Joseph. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics , 2nd Edition. Libros de pingüinos , 2000.
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• Pingree, David (1970-1980). "Bhāskara II". Diccionario de biografía científica . 2 . Nueva York: Charles Scribner's Sons. págs. 115–120. ISBN 978-0-684-10114-9.

enlaces externos

• Biografía de MacTutor
• 4to40 Biografía
• Cálculo en Kerala