Ecuación diferencial de Bernoulli - Bernoulli differential equation

En matemáticas , una ecuación diferencial ordinaria se llama ecuación diferencial de Bernoulli si tiene la forma

${\ Displaystyle y '+ P (x) y = Q (x) y ^ {n},}$

donde es un número real . Algunos autores permiten cualquier real , mientras que otros requieren que no sea 0 o 1. La ecuación fue discutida por primera vez en una obra de 1695 por Jacob Bernoulli , de quien toma su nombre. La primera solución, sin embargo, la ofreció Gottfried Leibniz , quien publicó su resultado en el mismo año y cuyo método es el que todavía se utiliza en la actualidad. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$

Las ecuaciones de Bernoulli son especiales porque son ecuaciones diferenciales no lineales con soluciones exactas conocidas. Un caso especial notable de la ecuación de Bernoulli es la ecuación diferencial logística .

Transformación a una ecuación diferencial lineal

Cuando , la ecuación diferencial es lineal . Cuando , es separable . En estos casos, se pueden aplicar técnicas estándar para resolver ecuaciones de esas formas. Para y , la sustitución reduce cualquier ecuación de Bernoulli a una ecuación diferencial lineal${\ Displaystyle n = 0}$${\ Displaystyle n = 1}$${\ Displaystyle n \ neq 0}$${\ Displaystyle n \ neq 1}$${\ Displaystyle u = y ^ {1-n}}$

${\ Displaystyle {\ frac {du} {dx}} - (n-1) P (x) u = - (n-1) Q (x).}$

Por ejemplo, en el caso , hacer la sustitución en la ecuación diferencial produce la ecuación , que es una ecuación diferencial lineal. ${\ Displaystyle n = 2}$${\ Displaystyle u = y ^ {- 1}}$${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} + {\ frac {1} {x}} y = xy ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ frac {du} {dx}} - {\ frac {1} {x}} u = -x}$

Solución

Deja y ${\ Displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$

${\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {ll} z: (a, b) \ rightarrow (0, \ infty) \, & {\ textrm {if}} \ \ alpha \ in \ mathbb {R } \ setminus \ {1,2 \}, \\ z: (a, b) \ rightarrow \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \} \, & {\ textrm {if}} \ \ alpha = 2, \\\ end {matriz}} \ right.}$

ser una solución de la ecuación diferencial lineal

${\ Displaystyle z '(x) = (1- \ alpha) P (x) z (x) + (1- \ alpha) Q (x).}$

Entonces tenemos que es una solución de ${\ Displaystyle y (x): = [z (x)] ^ {\ frac {1} {1- \ alpha}}}$

${\ Displaystyle y '(x) = P (x) y (x) + Q (x) y ^ {\ alpha} (x) \, \ y (x_ {0}) = y_ {0}: = [z (x_ {0})] ^ {\ frac {1} {1- \ alpha}}.}$

Y para cada ecuación diferencial de este tipo, para todo lo que tenemos como solución . ${\ Displaystyle \ alpha> 0}$${\ Displaystyle y \ equiv 0}$${\ Displaystyle y_ {0} = 0}$

Ejemplo

Considere la ecuación de Bernoulli

${\ Displaystyle y '- {\ frac {2y} {x}} = - x ^ {2} y ^ {2}}$

(en este caso, más concretamente la ecuación de Riccati ). La función constante es una solución. División por rendimientos ${\ Displaystyle y = 0}$${\ Displaystyle y ^ {2}}$

${\ Displaystyle y'y ^ {- 2} - {\ frac {2} {x}} y ^ {- 1} = - x ^ {2}}$

Cambiar variables da las ecuaciones

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} u = {\ frac {1} {y}} \; &, ~ u '= {\ frac {-y'} {y ^ {2}}} \\ - u ' - {\ frac {2} {x}} u & = - x ^ {2} \\ u '+ {\ frac {2} {x}} u & = x ^ {2} \ end {alineado}}}$

que se puede resolver utilizando el factor de integración

${\ Displaystyle M (x) = e ^ {2 \ int {\ frac {1} {x}} \, dx} = e ^ {2 \ ln x} = x ^ {2}.}$

Multiplicando por ,${\ Displaystyle M (x)}$

${\ Displaystyle u'x ^ {2} + 2xu = x ^ {4}.}$

El lado izquierdo se puede representar como la derivada de invirtiendo la regla del producto . Aplicar la regla de la cadena e integrar ambos lados con respecto a los resultados en las ecuaciones ${\ Displaystyle ux ^ {2}}$${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int \ left (ux ^ {2} \ right) 'dx & = \ int x ^ {4} \, dx \\ ux ^ {2} & = {\ frac {1} {5}} x ^ {5} + C \\ {\ frac {1} {y}} x ^ {2} & = {\ frac {1} {5}} x ^ {5} + C \ end { alineado}}}$

La solución para es ${\ Displaystyle y}$

${\ Displaystyle y = {\ frac {x ^ {2}} {{\ frac {1} {5}} x ^ {5} + C}}.}$

Notas

Referencias

• Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. De Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Citado en Hairer, Nørsett & Wanner (1993) .
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: Problemas no rígidos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.

enlaces externos

• "Ecuación de Bernoulli" . PlanetMath .
• "Ecuación diferencial" . PlanetMath .
• "Índice de ecuaciones diferenciales" . PlanetMath .