Modelo de difusión de graves - Bass diffusion model

El modelo Bass o modelo de difusión Bass fue desarrollado por Frank Bass . Consiste en una ecuación diferencial simple que describe el proceso de adopción de nuevos productos en una población. El modelo presenta un fundamento de cómo interactúan los adoptantes actuales y los posibles adoptantes de un nuevo producto. La premisa básica del modelo es que los adoptantes pueden clasificarse como innovadores o imitadores y la velocidad y el momento de la adopción dependen de su grado de innovación y el grado de imitación entre los adoptantes. El modelo de Bass se ha utilizado ampliamente en la previsión , especialmente en la previsión de ventas de nuevos productos y la previsión de tecnología . Matemáticamente, la difusión básica de Bass es una ecuación de Riccati con coeficientes constantes.

En 1969, Frank Bass publicó su artículo sobre un nuevo modelo de crecimiento de productos para bienes de consumo duraderos . Antes de esto, Everett Rogers publicó Diffusion of Innovations , un trabajo muy influyente que describía las diferentes etapas de la adopción del producto. Bass contribuyó con algunas ideas matemáticas al concepto.

Formulación del modelo

{\ Displaystyle {\ frac {f (t)} {1-F (t)}} = p + qF (t)}

Dónde:

${\ Displaystyle \ F (t)}$ es la fracción base instalada
${\ Displaystyle \ f (t)}$ es el cambio de la fracción base instalada, es decir ${\ Displaystyle \ f (t) = {\ frac {d} {dt}} F (t)}$
${\ Displaystyle \ p}$ es el coeficiente de innovación
${\ Displaystyle \ q}$ es el coeficiente de imitación

Las ventas (o nuevos adoptantes) en el momento es la tasa de cambio de la base instalada, es decir, multiplicada por el potencial de mercado final . Bajo la condición , tenemos eso ${\ Displaystyle \ s (t)}$ ${\ Displaystyle \ t}$ ${\ Displaystyle \ f (t)}$ ${\ Displaystyle \ m}$ ${\ Displaystyle \ F (0) = 0}$

{\ Displaystyle \ s (t) = mf (t)}

{\ Displaystyle \ s (t) = m {\ frac {(p + q) ^ {2}} {p}} {\ frac {e ^ {- (p + q) t}} {(1 + {\ frac {q} {p}} e ^ {- (p + q) t}) ^ {2}}}}

Tenemos la descomposición donde es el número de innovadores en el momento y es el número de imitadores en el momento . ${\ Displaystyle \ s (t) = s_ {n} (t) + s_ {i} (t)}$ ${\ Displaystyle \ s_ {n} (t): = mp (1-F (t))}$ ${\ Displaystyle \ t}$ ${\ Displaystyle \ s_ {i} (t): = mq (1-F (t)) F (t)}$ ${\ Displaystyle \ t}$

El momento de las ventas máximas ${\ Displaystyle \ t ^ {*}}$

{\ Displaystyle \ t ^ {*} = {\ frac {\ ln q- \ ln p} {p + q}}}

Explicación

El coeficiente p se denomina coeficiente de innovación, influencia externa o efecto publicitario. El coeficiente q se denomina coeficiente de imitación, influencia interna o efecto boca a boca.

Los valores típicos de p y q cuando el tiempo t se mide en años:

Se ha encontrado que el valor medio de p es 0,03 y, a menudo, es inferior a 0,01.
Se ha encontrado que el valor promedio de q es 0.38, con un rango típico entre 0.3 y 0.5

Derivación

El modelo de difusión de Bass se obtiene asumiendo que la tasa de riesgo para la adopción de un producto o servicio puede definirse como: ${\ Displaystyle \ lambda (t)}$

{\ Displaystyle \ lambda (t) = {f (t) \ over {S (t)}} = p + q [1-S (t)]}

donde es la función de densidad de probabilidad y es la función de supervivencia , siendo la función de distribución acumulativa . A partir de estas definiciones básicas en el análisis de supervivencia , sabemos que:

{\ Displaystyle f (t)}

{\ Displaystyle S (t) = 1-F (t)}

{\ Displaystyle F (t)}

{\ Displaystyle f (t) = - {dS \ over {dt}} \ implica \ lambda (t) = - {1 \ over {S}} {dS \ over {dt}}}

Por tanto, la ecuación diferencial para la función de supervivencia es equivalente a:

{\ Displaystyle {dS \ over {S [p + q (1-S)]}} = - dt}

La integración y reordenación de términos nos da que:

{\ Displaystyle {S \ over {p + q (1-S)}} = Ae ^ {- (p + q) t}}

Para cualquier función de supervivencia, debemos tener eso y esto implica eso . Con esta condición, la función de supervivencia es:

{\ Displaystyle S (0) = 1}

{\ Displaystyle A = p ^ {- 1}}

{\ Displaystyle S (t) = {e ^ {- (p + q) t} + {q \ over {p}} e ^ {- (p + q) t} \ over {1+ {q \ over { p}} e ^ {- (p + q) t}}}}

Finalmente, usando el hecho de que , encontramos que el modelo de difusión de Bass para la absorción del producto es:

{\ Displaystyle F (t) = 1-S (t)}

{\ Displaystyle F (t) = {1-e ^ {- (p + q) t} \ over {1+ {q \ over {p}} e ^ {- (p + q) t}}}}

Extensiones al modelo

Modelo de bajo generalizado (con precio)

Bass descubrió que su modelo se ajustaba a los datos de casi todas las presentaciones de productos, a pesar de una amplia gama de variables de decisión gerencial, por ejemplo, precios y publicidad. Esto significa que las variables de decisión pueden cambiar la curva de graves en el tiempo, pero que la forma de la curva es siempre similar.

Aunque se han propuesto muchas extensiones del modelo, solo una de ellas se reduce al modelo Bass en circunstancias normales.

Este modelo fue desarrollado en 1994 por Frank Bass, Trichy Krishnan y Dipak Jain:

{\ Displaystyle {\ frac {f (t)} {1-F (t)}} = (p + {q} F (t)) x (t)}

donde es una función del cambio porcentual en el precio y otras variables ${\ Displaystyle \ x (t)}$

Generaciones sucesivas

Los productos tecnológicos se suceden de generación en generación. Norton y Bass ampliaron el modelo en 1987 para la venta de productos con compras repetidas continuas. La formulación para tres generaciones es la siguiente:

{\ Displaystyle \ S_ {1, t} = F (t_ {1}) m_ {1} (1-F (t_ {2}))}

{\ Displaystyle \ S_ {2, t} = F (t_ {2}) (m_ {2} + F (t_ {1}) m_ {1}) (1-F (t_ {3}))}

{\ Displaystyle \ S_ {3, t} = F (t_ {3}) (m_ {3} + F (t_ {2}) (m_ {2} + F (t_ {1}) m_ {1})) }

dónde

${\ Displaystyle \ m_ {i} = a_ {i} M_ {i}}$
${\ Displaystyle \ M_ {i}}$ es el número incremental de usuarios finales del producto de i- ésima generación
${\ Displaystyle \ a_ {i}}$ es la tasa promedio (continua) de compras repetidas entre los adoptantes del producto de i- ésima generación
${\ Displaystyle \ t_ {i}}$ es el tiempo transcurrido desde la introducción del producto de i- ésima generación
${\ Displaystyle \ F (t_ {i}) = {\ frac {1-e ^ {- (p + q) t_ {i}}} {1 + {\ frac {q} {p}} e ^ {- (p + q) t_ {i}}}}}$

Se ha encontrado que los términos pyq son generalmente los mismos entre generaciones sucesivas.

Relación con otras curvas en S

Hay dos casos especiales del modelo de difusión de graves.

El primer caso especial ocurre cuando q = 0, cuando el modelo se reduce a la distribución exponencial .
El segundo caso especial se reduce a la distribución logística , cuando p = 0.

El modelo Bass es un caso especial de la distribución Gamma /

Gompertz desplazada (G / SG): Bemmaor (1994)

Uso en redes sociales online

El rápido y reciente (a principios de 2007) crecimiento en las redes sociales en línea (y otras comunidades virtuales ) ha llevado a un mayor uso del modelo de difusión Bass. El modelo de difusión de Bass se utiliza para estimar el tamaño y la tasa de crecimiento de estas redes sociales. El trabajo de Christian Bauckhage y sus coautores muestra que el modelo de Bass proporciona una imagen más pesimista del futuro que los modelos alternativos como la distribución de Weibull y la distribución de Gompertz modificada.

Adopción de este modelo

El modelo es una de las generalizaciones empíricas más citadas en marketing; En octubre de 2020, el artículo "Un nuevo crecimiento de productos para modelos de consumo duradero" publicado en Management Science tenía (aproximadamente) 9725 citas en Google Scholar.

Este modelo ha tenido una gran influencia en la ciencia del marketing y la gestión. En 2004 fue seleccionado como uno de los diez artículos más citados en los 50 años de historia de la ciencia de la

gestión . Ocupó el puesto número cinco y el único documento de marketing de la lista. Posteriormente se reimprimió en la edición de diciembre de 2004 de Management Science .

Ver también

Referencias

enlaces externos

Sitio web oficial de Frank M. Bass

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