Sistema axiomático - Axiomatic system

En matemáticas y lógica , un sistema axiomático es cualquier conjunto de axiomas a partir de los cuales algunos o todos los axiomas pueden usarse en conjunto para derivar lógicamente teoremas . Una teoría es un cuerpo de conocimiento consistente y relativamente autónomo que generalmente contiene un sistema axiomático y todos sus teoremas derivados. Un sistema axiomático completamente descrito es un tipo especial de sistema formal . Una teoría formal es un sistema axiomático (generalmente formulado dentro de la teoría de modelos ) que describe un conjunto de oraciones cerradas bajo implicación lógica. Una prueba formal es una interpretación completa de una prueba matemática dentro de un sistema formal.

Propiedades

Se dice que un sistema axiomático es consistente si carece de contradicción . Es decir, es imposible derivar tanto un enunciado como su negación de los axiomas del sistema. La coherencia es un requisito clave para la mayoría de los sistemas axiomáticos, ya que la presencia de contradicción permitiría probar cualquier enunciado ( principio de explosión ).

En un sistema axiomático, un axioma se llama independiente si no es un teorema que pueda derivarse de otros axiomas del sistema. Un sistema se llama independiente si cada uno de sus axiomas subyacentes es independiente. A diferencia de la coherencia, la independencia no es un requisito necesario para el funcionamiento de un sistema axiomático, aunque generalmente se busca minimizar el número de axiomas en el sistema.

Un sistema axiomático se llama completo si para cada enunciado, ya sea él mismo o su negación es derivable de los axiomas del sistema (de manera equivalente, cada enunciado puede ser probado como verdadero o falso).

Consistencia relativa

Más allá de la coherencia, la coherencia relativa es también la marca de un sistema de axiomas que vale la pena. Esto describe el escenario donde los términos indefinidos de un primer sistema de axiomas se proporcionan definiciones de un segundo, de modo que los axiomas del primero son teoremas del segundo.

Un buen ejemplo es la coherencia relativa de la geometría absoluta con respecto a la teoría del sistema numérico real . Las líneas y los puntos son términos indefinidos (también llamados nociones primitivas ) en geometría absoluta, pero asignados significados en la teoría de los números reales de una manera que es consistente con ambos sistemas de axiomas.

Modelos

Un modelo para un sistema axiomático es un bien definido conjunto , que asigna un significado para los términos no definidos se presentan en el sistema, de una manera que es correcta con las relaciones definidas en el sistema. La existencia de un modelo concreto prueba la consistencia de un sistema. Un modelo se llama concreto si los significados asignados son objetos y relaciones del mundo real, en contraposición a un modelo abstracto que se basa en otros sistemas axiomáticos.

Los modelos también se pueden utilizar para mostrar la independencia de un axioma en el sistema. Al construir un modelo válido para un subsistema sin un axioma específico, mostramos que el axioma omitido es independiente si su corrección no se sigue necesariamente del subsistema.

Se dice que dos modelos son isomorfos si se puede encontrar una correspondencia uno a uno entre sus elementos, de manera que se preserve su relación. Un sistema axiomático para el cual cada modelo es isomorfo a otro se llama categórico (a veces categórico ). La propiedad de categorialidad (categoricidad) asegura la integridad de un sistema, sin embargo, lo contrario no es cierto: la integridad no asegura la categorialidad (categoricidad) de un sistema, ya que dos modelos pueden diferir en propiedades que no pueden ser expresadas por la semántica del sistema. sistema.

Ejemplo

Como ejemplo, observe el siguiente sistema axiomático, basado en la lógica de primer orden con semántica adicional de los siguientes axiomas infinitamente numerables añadidos (estos pueden formalizarse fácilmente como un esquema de axioma ):

(informalmente, existen dos elementos diferentes).
(informalmente, existen tres elementos diferentes).

De manera informal, este conjunto infinito de axiomas establece que hay infinitos elementos diferentes. Sin embargo, el concepto de conjunto infinito no se puede definir dentro del sistema, y ​​mucho menos la cardinalidad de tal conjunto.

El sistema tiene al menos dos modelos diferentes: uno son los números naturales (isomórficos a cualquier otro conjunto infinito numerable) y otro son los números reales (isomórficos a cualquier otro conjunto con la cardinalidad del continuo ). De hecho, tiene un número infinito de modelos, uno por cada cardinalidad de un conjunto infinito. Sin embargo, la propiedad que distingue a estos modelos es su cardinalidad, una propiedad que no se puede definir dentro del sistema. Por tanto, el sistema no es categorial. Sin embargo, se puede demostrar que está completo.

Método axiomático

Establecer definiciones y proposiciones de tal manera que cada nuevo término pueda ser eliminado formalmente por los términos introducidos previamente requiere nociones primitivas (axiomas) para evitar la regresión infinita . Esta forma de hacer matemáticas se llama método axiomático .

Una actitud común hacia el método axiomático es el logicismo . En su libro Principia Mathematica , Alfred North Whitehead y Bertrand Russell intentaron mostrar que toda teoría matemática podía reducirse a una colección de axiomas. De manera más general, la reducción de un cuerpo de proposiciones a una colección particular de axiomas subyace en el programa de investigación del matemático. Esto fue muy prominente en las matemáticas del siglo XX, en particular en materias basadas en el álgebra homológica .

La explicación de los axiomas particulares utilizados en una teoría puede ayudar a aclarar un nivel adecuado de abstracción con el que al matemático le gustaría trabajar. Por ejemplo, los matemáticos optaron por que los anillos no necesitaran ser conmutativos , lo que difería de la formulación original de Emmy Noether . Los matemáticos decidieron considerar los espacios topológicos de manera más general sin el axioma de separación que originalmente formuló Felix Hausdorff .

Los axiomas de Zermelo-Fraenkel , resultado del método axiomático aplicado a la teoría de conjuntos, permitieron la formulación "adecuada" de los problemas de la teoría de conjuntos y ayudaron a evitar las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua . Uno de esos problemas fue la hipótesis del continuo . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con el axioma de elección históricamente controvertido incluido, se abrevia comúnmente ZFC , donde "C" significa "elección". Muchos autores utilizan ZF para referirse a los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección excluido. Hoy en día, ZFC es la forma estándar de teoría de conjuntos axiomáticos y, como tal, es la base más común de las matemáticas .

Historia

Los métodos matemáticos se desarrollaron con cierto grado de sofisticación en el antiguo Egipto, Babilonia, India y China, aparentemente sin emplear el método axiomático.

Euclides de Alejandría fue el autor de la primera presentación axiomática existente de la geometría euclidiana y la teoría de números . Muchos sistemas axiomáticos se desarrollaron en el siglo XIX, incluyendo la geometría no euclidiana , las bases de análisis real , Cantor 's teoría de conjuntos , Frege ' trabajo s sobre cimientos, y Hilbert nuevo 'uso del método axiomático 's' como herramienta de investigación . Por ejemplo, la teoría de grupos se estableció por primera vez sobre una base axiomática hacia fines de ese siglo. Una vez aclarados los axiomas (que deberían requerirse elementos inversos , por ejemplo), el sujeto podía proceder de forma autónoma, sin referencia a los orígenes del grupo de transformación de esos estudios.

Cuestiones

No todo cuerpo consistente de proposiciones puede ser capturado por una colección descriptible de axiomas. En la teoría de la recursividad, una colección de axiomas se llama recursiva si un programa de computadora puede reconocer si una proposición dada en el lenguaje es un teorema. El primer teorema de incompletitud de Gödel nos dice entonces que hay ciertos cuerpos consistentes de proposiciones sin axiomatización recursiva. Por lo general, la computadora puede reconocer los axiomas y las reglas lógicas para derivar teoremas, y la computadora puede reconocer si una prueba es válida, pero para determinar si existe una prueba para un enunciado solo es soluble "esperando" a que la prueba o refutación sea válida. generado. El resultado es que uno no sabrá qué proposiciones son teoremas y el método axiomático se rompe. Un ejemplo de tal cuerpo de proposiciones es la teoría de los números naturales , que solo está parcialmente axiomatizada por los axiomas de Peano (que se describen a continuación).

En la práctica, no todas las pruebas se remontan a los axiomas. A veces, ni siquiera está claro a qué colección de axiomas apela una prueba. Por ejemplo, un enunciado de la teoría de los números podría expresarse en el lenguaje de la aritmética (es decir, el lenguaje de los axiomas de Peano) y podría darse una prueba que apele a la topología o al análisis complejo . Puede que no quede claro de inmediato si se puede encontrar otra prueba que se derive únicamente de los axiomas de Peano.

Cualquier sistema de axiomas elegido más o menos arbitrariamente es la base de alguna teoría matemática, pero tal sistema axiomático arbitrario no estará necesariamente libre de contradicciones, e incluso si lo está, no es probable que arroje luz sobre nada. Los filósofos de las matemáticas a veces afirman que los matemáticos eligen axiomas "arbitrariamente", pero es posible que, aunque puedan parecer arbitrarios cuando se los ve solo desde el punto de vista de los cánones de la lógica deductiva, esa apariencia se debe a una limitación de los propósitos que deductiva. la lógica sirve.

Ejemplo: la axiomatización de Peano de números naturales

El sistema matemático de los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, ... se basa en un sistema axiomático ideado por primera vez por el matemático Giuseppe Peano en 1889. Eligió los axiomas, en el lenguaje de una única función unaria símbolo S (abreviatura de " sucesor "), para que el conjunto de números naturales sea:

  • Hay un número natural 0.
  • Cada número natural una tiene un sucesor, denotado por S .
  • No hay un número natural cuyo sucesor sea 0.
  • Los números naturales distintos tienen sucesores distintos: si ab , entonces SaSb .
  • Si una propiedad es poseída por 0 y también por el sucesor de cada número natural por el que está poseída, entonces es poseída por todos los números naturales (" axioma de inducción ").

Axiomatización

En matemáticas , la axiomatización es el proceso de tomar un cuerpo de conocimiento y trabajar hacia atrás hacia sus axiomas. Es la formulación de un sistema de enunciados (es decir, axiomas ) que relacionan un número de términos primitivos, a fin de que un cuerpo consistente de proposiciones pueda derivarse deductivamente de estos enunciados. A partir de entonces, la prueba de cualquier proposición debería ser, en principio, rastreable hasta estos axiomas.

Ver también

Referencias

Otras lecturas