Sobre los tamaños y distancias (Aristarchus) - On the Sizes and Distances (Aristarchus)

Cálculos de Aristarco del siglo III a. C. sobre los tamaños relativos, desde la izquierda, del Sol, la Tierra y la Luna, de una copia griega del siglo X d. C.

Sobre los tamaños y distancias (del sol y la luna) (Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης], Peri megethon kai apostematon ) es ampliamente aceptado como el único trabajo existente escrito por Aristarchus , un antiguo astrónomo griego de Samos . –230 a. C. Este trabajo calcula los tamaños del Sol y la Luna , así como sus distancias a la Tierra en términos del radio de la Tierra.

Es de suponer que el libro fue preservado por estudiantes del curso de matemáticas de Pappus of Alexandria , aunque no hay evidencia de esto. La editio princeps fue publicada por John Wallis en 1688, utilizando varios manuscritos medievales compilados por Sir Henry Savile . La primera traducción al latín fue hecha por Giorgio Valla en 1488. También hay una traducción al latín de 1572 y un comentario de Frederico Commandino .

Simbolos

El método del trabajo se basó en varias observaciones:

  • El tamaño aparente del Sol y la Luna en el cielo.
  • El tamaño de la sombra de la Tierra en relación con la Luna durante un eclipse lunar.
  • El ángulo entre el Sol y la Luna durante una media luna es muy cercano a los 90 °.

El resto del artículo detalla una reconstrucción del método y los resultados de Aristarco. La reconstrucción utiliza las siguientes variables:

Símbolo Sentido
φ Ángulo entre la Luna y el Sol durante una media luna (medible directamente)
L Distancia de la Tierra a la Luna
S Distancia de la Tierra al Sol
Radio de la luna
s Radio del sol
t Radio de la Tierra
D Distancia desde el centro de la Tierra hasta el vértice del cono de sombra de la Tierra
D Radio de la sombra de la Tierra en la ubicación de la Luna
norte Relación, d / ℓ (una cantidad directamente observable durante un eclipse lunar )
X Relación, S / L = s / ℓ (que se calcula a partir de φ )

Media Luna

Aristarco partió de la premisa de que, durante una media luna , la luna forma un triángulo rectángulo con el Sol y la Tierra. Observando el ángulo entre el Sol y la Luna, φ , la razón de las distancias al Sol y la Luna podría deducirse usando una forma de trigonometría .

AristarchusHalfLitMoon2.png

A partir del diagrama y la trigonometría, podemos calcular que

El diagrama es muy exagerado, porque en realidad, S = 390 L y φ está extremadamente cerca de 90 °. Aristarco determinó que φ es un trigésimo de un cuadrante (en términos modernos, 3 °) menos que un ángulo recto: en la terminología actual, 87 °. Las funciones trigonométricas aún no se habían inventado, pero utilizando el análisis geométrico al estilo de Euclides , Aristarco determinó que

En otras palabras, la distancia al Sol era entre 18 y 20 veces mayor que la distancia a la Luna. Este valor (o valores cercanos a él) fue aceptado por los astrónomos durante los siguientes dos mil años, hasta que la invención del telescopio permitió una estimación más precisa del paralaje solar .

Aristarco también razonó que, dado que el tamaño angular del Sol y la Luna era el mismo, pero la distancia al Sol era entre 18 y 20 veces mayor que la Luna, el Sol debía ser 18-20 veces mayor.

Eclipse lunar

Aristarchus luego usó otra construcción basada en un eclipse lunar:

AristarchusLunar Eclipse2.png

Por similitud de los triángulos, y

Dividiendo estas dos ecuaciones y utilizando la observación de que los tamaños aparentes del Sol y la Luna son iguales , se obtiene

La ecuación más a la derecha se puede resolver para ℓ / t

o s / t

La apariencia de estas ecuaciones se puede simplificar usando n = d / ℓ y x = s / ℓ .

Las ecuaciones anteriores dan los radios de la Luna y el Sol enteramente en términos de cantidades observables.

Las siguientes fórmulas dan las distancias al Sol y la Luna en unidades terrestres:

donde θ es el radio aparente de la Luna y el Sol medidos en grados.

Es poco probable que Aristarco haya usado estas fórmulas exactas, sin embargo, estas fórmulas son probablemente una buena aproximación a las de Aristarco.

Resultados

Las fórmulas anteriores se pueden utilizar para reconstruir los resultados de Aristarchus. La siguiente tabla muestra los resultados de una reconstrucción de larga data (pero dudosa) usando n = 2, x = 19.1 ( φ = 87 °) y θ = 1 °, junto con los valores aceptados en la actualidad.

Cantidad Relación Reconstrucción Moderno
S t Radio del sol en radios terrestres 6,7 109
t / ℓ Radio de la Tierra en radios lunares 2,85 3,50
L / t Distancia Tierra-Luna en radios terrestres 20 60,32
S t Distancia Tierra-Sol en radios terrestres 380 23.500

El error en este cálculo proviene principalmente de los valores deficientes para x y θ . El pobre valor de θ es especialmente sorprendente, ya que Arquímedes escribe que Aristarco fue el primero en determinar que el Sol y la Luna tenían un diámetro aparente de medio grado. Esto daría un valor de θ = 0.25, y una distancia correspondiente a la Luna de 80 radios terrestres, una estimación mucho mejor. El desacuerdo de la obra con Arquímedes parece deberse a que tomó una declaración de Aristarco de que el diámetro lunisolar es 1/15 de un "meros" del zodíaco para significar 1/15 de un signo zodiacal (30 °), sin saber que el La palabra griega "meros" significaba "porción" o 7 ° 1/2; y 1/15 de esta última cantidad es 1 ° / 2, de acuerdo con el testimonio de Arquímedes.

Posteriormente , Hiparco utilizó un procedimiento similar , que estimó la distancia media a la Luna en 67 radios terrestres, y Ptolomeo , que tomó 59 radios terrestres para este valor.

Ilustraciones

Algunas ilustraciones interactivas de las propuestas en On Sizes se pueden encontrar aquí:

  • La hipótesis 4 establece que cuando la Luna nos parece dividida en dos, su distancia del Sol es entonces menor que un cuadrante por una trigésima parte de un cuadrante [es decir, es menor que 90 ° por 1/30 de 90 ° o 3 ° , y por lo tanto es igual a 87 °] (Heath 1913: 353).
  • La Proposición 1 establece que dos esferas iguales están comprendidas por un mismo cilindro y dos esferas desiguales por un mismo cono que tiene su vértice en la dirección de la esfera menor; y la línea recta trazada a través de los centros de las esferas forma ángulos rectos con cada uno de los círculos en los que la superficie del cilindro o del cono toca las esferas (Heath 1913: 354).
  • La Proposición 2 establece que si una esfera es iluminada por una esfera mayor que ella misma, la porción iluminada de la primera esfera será mayor que un hemisferio (Heath 1913: 358).
  • La Proposición 3 establece que el círculo en la Luna que divide las partes oscuras y brillantes es menor cuando el cono que comprende tanto al Sol como a la Luna tiene su vértice en nuestro ojo (Heath 1913: 362).
  • La Proposición 4 establece que el círculo que divide las partes oscuras y brillantes en la Luna no es perceptiblemente diferente de un gran círculo en la Luna (Heath 1913: 365).
  • La Proposición 6 establece que la Luna se mueve [en una órbita] más baja que [la del] Sol y, cuando se divide por la mitad, está a menos de un cuadrante del Sol (Heath 1913: 372).
  • La Proposición 7 establece que la distancia del Sol a la Tierra es mayor que 18 veces, pero menos de 20 veces, la distancia de la Luna a la Tierra (Heath 1913: 377). En otras palabras, el Sol está entre 18 y 20 veces más lejos y es más ancho que la Luna.
  • La Proposición 13 establece que la línea recta que subtiende la porción interceptada dentro de la sombra de la tierra de la circunferencia del círculo en la que los extremos del diámetro del círculo que divide las porciones oscuras y brillantes en la Luna se mueven es menos del doble del diámetro de la Luna, pero tiene una proporción mayor que la de 88 a 45; y es menos de 1/9 parte del diámetro del Sol, pero tiene una relación mayor que la de 21 a 225. Pero tiene que ver con la línea recta trazada desde el centro del Sol en ángulo recto con el eje y encontrando los lados del cono una relación mayor que la que tiene 979 a 10 125 (Heath 1913: 394).
  • La Proposición 14 establece que la línea recta unida desde el centro de la Tierra al centro de la Luna tiene a la línea recta cortada desde el eje hacia el centro de la Luna por la línea recta que subtiende la [circunferencia] dentro de la sombra de la Tierra a proporción mayor que la que tiene 675 a 1 (Heath 1913: 400).
  • La Proposición 15 establece que el diámetro del Sol y el diámetro de la Tierra tiene una relación mayor que 19/3, pero menor que 43/6 (Heath 1913: 403). Esto significa que el Sol es (una media de) 6¾ veces más ancho que la Tierra, o que el Sol tiene 13½ radios terrestres de ancho. La Luna y el Sol deben estar entonces a 20¼ y 387 radios terrestres de nosotros para poder subtender un tamaño angular de 2º.
  • La proposición 17a en la versión árabe medieval de al-Tusi del libro On Sizes establece que la relación entre la distancia del vértice del cono de sombra desde el centro de la Luna (cuando la Luna está en el eje [es decir, en el medio de un eclipse] del cono que contiene la Tierra y el Sol) a la distancia del centro de la Luna al centro de la Tierra es mayor que la relación 71 a 37 y menor que la relación 3 a uno (Berggren & Sidoli 2007: 218). En otras palabras, que la punta del cono de sombra de la Tierra está entre 108/37 y cuatro veces más lejos que la Luna.

Copias conocidas

  • Exposición de la Biblioteca del Congreso del Vaticano.

Ver también

Notas

Bibliografía