Teoría de Arakelov - Arakelov theory

En matemáticas , la teoría de Arakelov (o geometría de Arakelov ) es un enfoque de la geometría diofántica , llamada así por Suren Arakelov . Se utiliza para estudiar ecuaciones diofánticas en dimensiones superiores.

Fondo

La principal motivación detrás de la geometría de Arakelov es el hecho de que existe una correspondencia entre los ideales primos y los lugares finitos , pero también existe un lugar en el infinito , dado por la valoración de Arquímedes , que no tiene un ideal primo correspondiente. La geometría de Arakelov ofrece una técnica para compactar en un espacio completo ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle v_ {p}: \ mathbb {Q} ^ {*} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle v _ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z})}$

${\ Displaystyle {\ overline {{\ text {Spec}} (\ mathbb {Z})}}}$

que tiene un primo que se encuentra en el infinito. La construcción original de Arakelov estudia una de esas teorías donde una definición de divisores es un constructor para un esquema de dimensión relativa 1 sobre tal que se extiende a una superficie de Riemann para cada valoración en el infinito. Además, equipa estas superficies de Riemann con métricas hermitianas en paquetes de vectores holomórficos sobre X ( C ), los puntos complejos de . Esta estructura extra hermitiana se aplica como sustituto del fracaso del esquema Spec ( Z ) de ser una variedad completa . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {X}}}$ ${\ Displaystyle {\ text {Spec}} ({\ mathcal {O}} _ {K})}$ ${\ Displaystyle X _ {\ infty} = {\ mathfrak {X}} (\ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle X}$

Tenga en cuenta que existen otras técnicas para construir un espacio completo que se extiende , que es la base de la geometría F ₁ . ${\ Displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z})}$

Definición original de divisores

Sea un campo, su anillo de números enteros y una curva de género con un modelo no singular , llamado superficie aritmética . Además, dejamos ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {X}} \ to {\ text {Spec}} ({\ mathcal {O}} _ {K})}$

${\ Displaystyle \ infty: K \ to \ mathbb {C}}$

ser una inclusión de campos (que se supone que representa un lugar en el infinito). Además, dejaremos que la superficie de Riemann asociada desde la base cambie a . Usando estos datos, podemos definir un divisor c como una combinación lineal formal ${\ Displaystyle X _ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle D = \ sum _ {i} k_ {i} C_ {i} + \ sum _ {\ infty} \ lambda _ {\ infty} X _ {\ infty}}$

donde es un subconjunto cerrado irreductible de codimensión 1 , y , y la suma ${\ Displaystyle C_ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {X}}}$ ${\ Displaystyle k_ {i} \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ infty} \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {\ infty}}$

representa la suma de cada incrustación real de y más de una incrustación por cada par de incrustaciones complejas . El conjunto de divisores c forma un grupo . ${\ Displaystyle K \ a \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle K \ a \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle {\ text {Div}} _ {c} ({\ mathfrak {X}})}$

Resultados

Arakelov ( 1974 , 1975 ) definió una teoría de la intersección sobre las superficies aritméticas unidas a curvas proyectivas suaves sobre campos numéricos, con el objetivo de probar ciertos resultados, conocidos en el caso de los campos funcionales, en el caso de los campos numéricos. Gerd Faltings ( 1984 ) amplió el trabajo de Arakelov estableciendo resultados como un teorema de Riemann-Roch, una fórmula de Noether, un teorema del índice de Hodge y la no negatividad de la auto-intersección del haz de dualización en este contexto.

La teoría de Arakelov fue utilizada por Paul Vojta (1991) para dar una nueva prueba de la conjetura de Mordell , y por Gerd Faltings ( 1991 ) en su demostración de la generalización de Serge Lang de la conjetura de Mordell.

Pierre Deligne ( 1987 ) desarrolló un marco más general para definir el emparejamiento de intersecciones definido en una superficie aritmética sobre el espectro de un anillo de números enteros por Arakelov.

Henri Gillet y Christophe Soulé generalizaron la teoría de Arakelov a dimensiones superiores. Es decir, Gillet y Soulé definieron un emparejamiento de intersección en una variedad aritmética. Uno de los principales resultados de Gillet y Soulé es el teorema aritmético de Riemann-Roch de Gillet & Soulé (1992) , una extensión del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a las variedades aritméticas. Para esto, se definen grupos aritméticos de Chow CH ^p ( X ) de una variedad aritmética X , y se definen clases de Chern para paquetes de vectores hermitianos sobre X tomando valores en los grupos aritméticos de Chow. El teorema aritmético de Riemann-Roch describe cómo se comporta la clase Chern bajo el empuje hacia adelante de paquetes vectoriales en un mapa adecuado de variedades aritméticas. Gillet, Rössler y Soulé publicaron recientemente una prueba completa de este teorema.

La teoría de la intersección de Arakelov para superficies aritméticas fue desarrollada por Jean-Benoît Bost ( 1999 ). La teoría de Bost se basa en el uso de funciones de Green que, hasta las singularidades logarítmicas, pertenecen al espacio de Sobolev . En este contexto, Bost obtiene un teorema aritmético del índice de Hodge y lo usa para obtener los teoremas de Lefschetz para superficies aritméticas. ${\ Displaystyle L_ {1} ^ {2}}$

Grupos de Chow aritmético

Un ciclo de aritmética de codimensión p es un par ( Z , g ) donde Z ∈ Z ^p ( X ) es una p -ciclo en X y g es una corriente verde por Z , una generalización de más dimensiones de una función de Green. El grupo aritmético Chow de codimensión p es el cociente de este grupo por el subgrupo generado por ciertos ciclos "triviales". ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathrm {CH}}} _ {p} (X)}$

El teorema aritmético de Riemann-Roch

El teorema habitual de Grothendieck-Riemann-Roch describe cómo se comporta el carácter de Chern ch bajo el empuje hacia adelante de las poleas, y establece que ch ( f _* ( E )) = f _* (ch (E) Td _{X / Y} ), donde f es un el morfismo de X a Y y E es un paquete de vectores sobre f . El teorema aritmético de Riemann-Roch es similar, excepto que la clase de Todd se multiplica por una determinada serie de potencias. El teorema aritmético de Riemann-Roch establece

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathrm {ch}}} (f _ {*} ([E])) = f _ {*} ({\ hat {\ mathrm {ch}}} (E) {\ widehat {\ mathrm {Td}}} ^ {R} (T_ {X / Y}))}

dónde

X e Y son esquemas aritméticos proyectivos regulares.
f es un mapa adecuado y uniforme de X a Y
E es un paquete del vector sobre la aritmética X .
${\ Displaystyle {\ hat {\ mathrm {ch}}}}$ es el carácter aritmético de Chern.
T _{X / Y} es el paquete tangente relativo
${\ Displaystyle {\ hat {\ mathrm {Td}}}}$ es la clase aritmética de Todd
${\ Displaystyle {\ hat {\ mathrm {Td}}} ^ {R} (E)}$ es ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathrm {Td}}} (E) (1- \ epsilon (R (E)))}$
R ( X ) es la clase característica aditiva asociada a la serie formal de potencias

{\ Displaystyle \ sum _ {m> 0 \ sobre m {\ text {impar}}} {\ frac {X ^ {m}} {m!}} \ left [2 \ zeta ^ {\ prime} (- m ) + \ zeta (-m) \ left ({1 \ over 1} + {1 \ over 2} + \ cdots + {1 \ over m} \ right) \ right].}

Ver también

Teoría de Hodge-Arakelov

Notas

Referencias

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