Cancelación anómala - Anomalous cancellation

${\ Displaystyle {\ begin {array} {l} \; \; \; {\ dfrac {d} {dx}} {\ dfrac {1} {x}} \\ = {\ dfrac {d} {d} } {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \\ = {\ dfrac {d \! \! \! \ backslash} {d \! \! \! \ backslash}} {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \\ = - {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \ end {matriz}}}$


Cancelación anómala
en cálculo

Una cancelación anómala o una cancelación accidental es un tipo particular de error de procedimiento aritmético que da una respuesta numéricamente correcta. Se intenta reducir una fracción cancelando dígitos individuales en el numerador y denominador . Esta no es una operación legítima y, en general, no da una respuesta correcta, pero en algunos casos raros el resultado es numéricamente el mismo que si se hubiera aplicado un procedimiento correcto. Se ignoran los casos triviales de cancelar ceros finales o donde todos los dígitos son iguales.

Ejemplos de cancelaciones anómalas que aún producen el resultado correcto incluyen (estos y sus inversos son todos los casos en base 10 con la fracción diferente de 1 y con dos dígitos):

El artículo de Boas analiza casos de dos dígitos en bases distintas a la base 10 , por ejemplo, 32/13 = 2/1 y su inverso son las únicas soluciones en base 4 con dos dígitos.

La cancelación anómala ocurre también con más dígitos, por ejemplo, 165/462 = 15/42 y aquellos con diferentes números de dígitos (98/392 = 8/32).

Propiedades elementales

Cuando la base es prima, no existen soluciones de dos dígitos. Esto se puede demostrar por contradicción: supongamos que existe una solución, y sin pérdida de generalidad podemos decir que esta solución es

${\ Displaystyle {\ frac {a || b} {c || a}} = {\ frac {b} {c}}}$

donde la línea indica la concatenación de dígitos . Así tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {ap + b} {cp + a}} = {\ frac {b} {c}} \ implica (ab) cp = b (ac)}$

Pero ya que son dígitos en la base todavía lo que significa que por lo que por lo tanto el lado derecho es cero, lo que significa que el lado izquierdo también debe ser cero, es decir , una contradicción. ${\ Displaystyle p> a, b, ac}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p | b (ac)}$${\ Displaystyle a = c}$${\ Displaystyle a = b}$

Otra propiedad es que el número de soluciones en una base es impar si y solo si es un cuadrado par. Esto se puede demostrar de manera similar a lo anterior: supongamos que tenemos una solución ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ frac {a || b} {c || a}} = {\ frac {b} {c}}}$

Luego, haciendo la misma manipulación, obtenemos

${\ Displaystyle {\ frac {an + b} {cn + a}} = {\ frac {b} {c}} \ implica (ab) cn = b (ac)}$

Supongamos eso . Luego tenga en cuenta que también es una solución a la ecuación. Esto casi establece una involución del conjunto de soluciones a sí mismo, pero surge un problema cuando . En este caso, podemos sustituir in para obtener, por lo que solo tiene soluciones cuando es un cuadrado. Deja . Rendimientos de enraizamiento y reordenamiento cuadrados . Dado que el máximo común divisor de es uno, lo sabemos . Teniendo en cuenta que , esto tiene precisamente las soluciones, es decir, tiene un número impar de soluciones cuando es un cuadrado par. Se puede probar lo contrario del enunciado observando que todas estas soluciones satisfacen los requisitos iniciales. ${\ Displaystyle a> b, c}$${\ Displaystyle a, b, c \ to a, ac, ab}$${\ Displaystyle b = ac, c = ab}$${\ Displaystyle (ab) ^ {2} n = b ^ {2}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n = k ^ {2}}$${\ Displaystyle ak = (k + 1) b}$${\ Displaystyle k, (k + 1)}$${\ Displaystyle a = (k + 1) x, b = kx}$${\ Displaystyle a, b <k ^ {2}}$${\ Displaystyle x = 1,2,3, \ ldots, k-1}$${\ Displaystyle n = k ^ {2}}$

Ver también

• Broma matemática

Referencias