Diferencial Kähler - Kähler differential

En matemáticas , los diferenciales de Kähler proporcionan una adaptación de formas diferenciales a anillos o esquemas conmutativos arbitrarios . La noción fue introducida por Erich Kähler en la década de 1930. Se adoptó como estándar en álgebra conmutativa y geometría algebraica algo más tarde, una vez que se sintió la necesidad de adaptar métodos de cálculo y geometría sobre los números complejos a contextos donde tales métodos no están disponibles.

Definición

Sean R y S anillos conmutativos y φ  : R → S un homomorfismo de anillo . Un ejemplo importante es para R un campo y S un álgebra unital sobre R (como el anillo de coordenadas de una variedad afín ). Los diferenciales de Kähler formalizan la observación de que las derivadas de polinomios son nuevamente polinomios. En este sentido, la diferenciación es una noción que puede expresarse en términos puramente algebraicos. Esta observación se puede convertir en una definición del módulo.

${\ Displaystyle \ Omega _ {S / R}}$

de diferenciales de formas diferentes, pero equivalentes.

Definición usando derivaciones

Un R -linear derivación en S es un R - homomorfismo módulo a un S -módulo M con la imagen de R en su núcleo, que satisface la regla de Leibniz . El módulo de diferenciales de Kähler se define como el módulo S para el que existe una derivación universal . Como ocurre con otras propiedades universales , esto significa que d es la mejor derivación posible en el sentido de que cualquier otra derivación puede obtenerse de ella por composición con un homomorfismo de módulo S. En otras palabras, la composición con d proporciona, para cada módulo S M , un isomorfismo del módulo S${\ Displaystyle d: S \ a M}$ ${\ Displaystyle d (fg) = f \, dg + g \, df}$${\ Displaystyle \ Omega _ {S / R}}$${\ Displaystyle d: S \ a \ Omega _ {S / R}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {S} (\ Omega _ {S / R}, M) {\ xrightarrow {\ cong}} \ operatorname {Der} _ {R} (S, M).}$

Una construcción de Ω _{S / R} y D procede por la construcción de una conexión S -módulo con uno formales generador ds para cada s en S , y la imposición de las relaciones

• dr = 0 ,
• d ( s + t ) = ds + dt ,
• d ( st ) = s dt + t ds ,

para todos r en R y todo s y t en S . La derivación universales envía s a ds . Las relaciones implican que la derivación universal es un homomorfismo de R -módulos.

Definición usando el ideal de aumento

Otra construcción procede dejando que I sea ​​el ideal en el producto tensorial definido como el núcleo del mapa de multiplicación. ${\ Displaystyle S \ otimes _ {R} S}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} S \ otimes _ {R} S \ to S \\\ sum s_ {i} \ otimes t_ {i} \ mapsto \ sum s_ {i} \ cdot t_ {i} \ end {casos}}}$

Entonces, el módulo de las diferenciales de Kähler de S se puede definir de manera equivalente por

${\ Displaystyle \ Omega _ {S / R} = I / I ^ {2},}$

y la derivación universal es el homomorfismo d definido por

${\ Displaystyle ds = 1 \ otimes ss \ otimes 1.}$

Esta construcción es equivalente a la anterior porque I es el núcleo de la proyección.

${\ Displaystyle {\ begin {cases} S \ otimes _ {R} S \ a S \ otimes _ {R} R \\\ sum s_ {i} \ otimes t_ {i} \ mapsto \ sum s_ {i} \ cdot t_ {i} \ otimes 1 \ end {cases}}}$

Así tenemos:

${\ Displaystyle S \ otimes _ {R} S \ equiv I \ oplus S \ otimes _ {R} R.}$

Entonces puede identificarse con I por el mapa inducido por la proyección complementaria ${\ Displaystyle S \ otimes _ {R} S / S \ otimes _ {R} R}$

${\ Displaystyle \ sum s_ {i} \ otimes t_ {i} \ mapsto \ sum s_ {i} \ otimes t_ {i} - \ sum s_ {i} \ cdot t_ {i} \ otimes 1.}$

Esto identifica a I con el módulo S generado por los generadores formales ds para s en S , sujeto a que d sea ​​un homomorfismo de módulos R que envía cada elemento de R a cero. Tomar el cociente por I ² impone precisamente la regla de Leibniz.

Ejemplos y hechos básicos

Para cualquier anillo conmutativo R , los diferenciales de Kähler del anillo polinomial son un módulo S libre de rango n generado por los diferenciales de las variables: ${\ Displaystyle S = R [t_ {1}, \ dots, t_ {n}]}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {R [t_ {1}, \ dots, t_ {n}] / R} ^ {1} = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} R [t_ {1}, \ puntos t_ {n}] \, dt_ {i}.}$

Los diferenciales de Kähler son compatibles con la extensión de escalares , en el sentido de que para una segunda R -álgebra R ′ y para , hay un isomorfismo ${\ Displaystyle S '= R' \ a veces _ {R} S}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {S / R} \ otimes _ {S} S '\ cong \ Omega _ {S' / R '}.}$

Como caso particular de esto, los diferenciales de Kähler son compatibles con las localizaciones , lo que significa que si W es un conjunto multiplicativo en S , entonces hay un isomorfismo

${\ Displaystyle W ^ {- 1} \ Omega _ {S / R} \ cong \ Omega _ {W ^ {- 1} S / R}.}$

Dados dos homomorfismos de anillo , hay una breve secuencia exacta de módulos T${\ Displaystyle R \ a S \ a T}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {S / R} \ otimes _ {S} T \ to \ Omega _ {T / R} \ to \ Omega _ {T / S} \ to 0.}$

Si para algún yo ideal , el término desaparece y la secuencia se puede continuar a la izquierda de la siguiente manera: ${\ Displaystyle T = S / I}$${\ Displaystyle \ Omega _ {T / S}}$

${\ Displaystyle I / I ^ {2} {\ xrightarrow {[f] \ mapsto df \ otimes 1}} \ Omega _ {S / R} \ otimes _ {S} T \ to \ Omega _ {T / R} \ a 0.}$

El complejo cotangente proporciona una generalización de estas dos secuencias cortas y exactas .

La última secuencia y el cálculo anterior para el anillo polinomial permiten el cálculo de los diferenciales de Kähler de R -álgebras generadas finitamente . Brevemente, estos son generados por los diferenciales de las variables y tienen relaciones provenientes de los diferenciales de las ecuaciones. Por ejemplo, para un solo polinomio en una sola variable, ${\ Displaystyle T = R [t_ {1}, \ ldots, t_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m})}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {(R [t] / (f)) / R} \ cong (R [t] \, dt \ otimes R [t] / (f)) / (df) \ cong R [t ] / (f, df) \, dt.}$

Diferenciales de Kähler para esquemas

Debido a que los diferenciales de Kähler son compatibles con la localización, pueden construirse en un esquema general realizando cualquiera de las dos definiciones anteriores en subesquemas abiertos afines y pegando. Sin embargo, la segunda definición tiene una interpretación geométrica que se globaliza de inmediato. En esta interpretación, I representa el ideal que define la diagonal en el producto de fibra de Spec ( S ) consigo mismo sobre Spec ( S ) → Spec ( R ) . Por lo tanto, esta construcción tiene un sabor más geométrico, en el sentido de que la noción de primer vecindario infinitesimal de la diagonal es capturada, a través de funciones que desaparecen, funciones módulo que desaparecen al menos en segundo orden (ver espacio cotangente para nociones relacionadas). Además, se extiende a un morfismo general de esquemas al establecer el ideal de la diagonal en el producto de fibra . La gavilla cotangente , junto con la derivación definida análogamente a antes, es universal entre derivaciones lineales de módulos. Si U es un subesquema afín abierto de X cuya imagen en Y está contenida en un subesquema afín abierto V , entonces la gavilla cotangente se restringe a una gavilla en U que es igualmente universal. Es por lo tanto la gavilla asociada al módulo de los diferenciales de Kähler para los anillos subyacentes U y V . ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ Displaystyle X \ times _ {Y} X}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {X / Y} = {\ mathcal {I}} / {\ mathcal {I}} ^ {2}}$${\ Displaystyle d: {\ mathcal {O}} _ {X} \ to \ Omega _ {X / Y}}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Al igual que en el caso del álgebra conmutativa, existen secuencias exactas asociadas a morfismos de esquemas. Dados los morfismos y los esquemas, hay una secuencia exacta de haces en${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle g: Y \ to Z}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle f ^ {*} \ Omega _ {Y / Z} \ to \ Omega _ {X / Z} \ to \ Omega _ {X / Y} \ to 0}$

Además, si es un subesquema cerrado dado por la gavilla ideal, hay una secuencia exacta de gavillas en${\ Displaystyle Z \ subconjunto X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ Displaystyle Z}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathcal {I}} {{\ mathcal {I}} ^ {2}}} \ to \ Omega _ {X / Y} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {Z} \ a \ Omega _ {Z / Y} \ a 0}$

Ejemplos de

Extensiones de campo separables finitas

Si es una extensión de campo finito, entonces si y solo si es separable. En consecuencia, si es una extensión de campo separable finita y es una variedad suave (o esquema), entonces la secuencia cotangente relativa ${\ Displaystyle K / k}$${\ Displaystyle \ Omega _ {K / k} ^ {1} = 0}$${\ Displaystyle K / k}$${\ Displaystyle K / k}$${\ Displaystyle \ pi: Y \ to \ operatorname {Spec} (K)}$

${\ Displaystyle \ pi ^ {*} \ Omega _ {K / k} ^ {1} \ a \ Omega _ {Y / k} ^ {1} \ a \ Omega _ {Y / K} ^ {1} \ a 0}$

prueba . ${\ Displaystyle \ Omega _ {Y / k} ^ {1} \ cong \ Omega _ {Y / K} ^ {1}}$

Módulos cotangentes de variedad proyectiva

Dado un esquema proyectivo , su haz cotangente se puede calcular a partir de la gavillada del módulo cotangente en el álgebra graduada subyacente. Por ejemplo, considere la curva compleja ${\ Displaystyle X \ in \ operatorname {Sch} / \ mathbb {k}}$

${\ Displaystyle {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(x ^ {n} + y ^ {n} -z ^ {n}) }} \ right) = {\ text {Proj}} (R)}$

entonces podemos calcular el módulo cotangente como

${\ Displaystyle \ Omega _ {R / \ mathbb {C}} = {\ frac {R \ cdot dx \ oplus R \ cdot dy \ oplus R \ cdot dz} {nx ^ {n-1} dx + ny ^ { n-1} dy-nz ^ {n-1} dz}}}$

Luego,

${\ Displaystyle \ Omega _ {X / \ mathbb {C}} = {\ widetilde {\ Omega _ {R / \ mathbb {C}}}}}$

Morfismos de esquemas

Considere el morfismo

${\ Displaystyle X = \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [t, x, y]} {(xy-t)}} \ right) = \ operatorname {Spec} (R) \ to \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [t]) = Y}$

en . Luego, usando la primera secuencia vemos que ${\ Displaystyle \ operatorname {Sch} / \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle {\ widetilde {R \ cdot dt}} \ to {\ widetilde {\ frac {R \ cdot dt \ oplus R \ cdot dx \ oplus R \ cdot dy} {ydx + xdy-dt}}} \ to \ Omega _ {X / Y} \ to 0}$

por eso

${\ Displaystyle \ Omega _ {X / Y} = {\ widetilde {\ frac {R \ cdot dx \ oplus R \ cdot dy} {ydx + xdy}}}}$

Formas diferenciales superiores y cohomología algebraica de Rham

complejo de Rham

Como antes, arregla un mapa . Las formas diferenciales de grado superior se definen como los poderes exteriores (sobre ), ${\ Displaystyle X \ a Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {X / Y} ^ {n}: = \ bigwedge ^ {n} \ Omega _ {X / Y}.}$

La derivación se extiende de forma natural a una secuencia de mapas. ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} \ to \ Omega _ {X / Y}}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {X} {\ xrightarrow {d}} \ Omega _ {X / Y} ^ {1} {\ xrightarrow {d}} \ Omega _ {X / Y } ^ {2} {\ xrightarrow {d}} \ cdots}$

satisfactoria Se trata de un complejo de cadenas conjuntas conocido como complejo de de Rham . ${\ Displaystyle d \ circ d = 0.}$

El complejo de Rham disfruta de una estructura multiplicativa adicional, el producto de la cuña

${\ Displaystyle \ Omega _ {X / Y} ^ {n} \ otimes \ Omega _ {X / Y} ^ {m} \ to \ Omega _ {X / Y} ^ {n + m}.}$

Esto convierte el complejo de De Rham en un álgebra graduada diferencial conmutativa . También tiene una estructura de coalgebra heredada de la del álgebra exterior.

cohomología de Rham

La hipercohomología del complejo de haces de De Rham se llama cohomología algebraica de Rham de X sobre Y y se denota por o simplemente si Y es claro en el contexto. (En muchas situaciones, Y es el espectro de un campo de característica cero). La cohomología algebraica de Rham fue introducida por Grothendieck (1966a) . Está estrechamente relacionado con la cohomología cristalina . ${\ Displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {n} (X / Y)}$${\ Displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {n} (X)}$error de harvtxt: sin destino: CITEREFGrothendieck1966a ( ayuda )

Como es familiar de la cohomología coherente de otras poleas cuasi-coherentes, el cálculo de la cohomología de Rham se simplifica cuando X = Spec S e Y = Spec R son esquemas afines. En este caso, debido a que los esquemas afines no tienen una cohomología superior, se puede calcular como la cohomología del complejo de grupos abelianos. ${\ Displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {n} (X / Y)}$

${\ displaystyle 0 \ to S {\ xrightarrow {d}} \ Omega _ {S / R} ^ {1} {\ xrightarrow {d}} \ Omega _ {S / R} ^ {2} {\ xrightarrow {d }} \ cdots}$

que es, en términos de términos, las secciones globales de las poleas . ${\ Displaystyle \ Omega _ {X / Y} ^ {r}}$

Para tomar un ejemplo muy particular, suponga que el grupo multiplicativo está terminado. Debido a que este es un esquema afín, la hipercohomología se reduce a la cohomología ordinaria. El complejo algebraico de Rham es ${\ Displaystyle X = \ operatorname {Spec} \ mathbb {Q} \ left [x, x ^ {- 1} \ right]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$

${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [x, x ^ {- 1}] {\ xrightarrow {d}} \ mathbb {Q} [x, x ^ {- 1}] \, dx.}$

El diferencial d obedece las reglas habituales del cálculo, lo que significa que el núcleo y el cokernel calculan la cohomología algebraica de Rham, por lo que ${\ Displaystyle d (x ^ {n}) = nx ^ {n-1} \, dx.}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} H _ {\ text {dR}} ^ {0} (X) & = \ mathbb {Q} \\ H _ {\ text {dR}} ^ {1} (X) & = \ mathbb {Q} \ cdot x ^ {- 1} dx \ end {alineado}}}$

y todos los demás grupos de cohomología algebraica de Rham son cero. A modo de comparación, los grupos de cohomología algebraica de Rham son mucho más grandes, a saber, ${\ Displaystyle Y = \ operatorname {Spec} \ mathbb {F} _ {p} \ left [x, x ^ {- 1} \ right]}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} H _ {\ text {dR}} ^ {0} (Y) & = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {Z}} \ mathbb {F} _ {p} \ cdot x ^ {kp} \\ H _ {\ text {dR}} ^ {1} (Y) & = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {Z}} \ mathbb {F} _ {p} \ cdot x ^ {kp-1} \, dx \ end {alineado}}}$

Dado que los números de Betti de estos grupos de cohomología no son los esperados, se desarrolló la cohomología cristalina para remediar este problema; define una teoría de la buena cohomología sobre campos finitos.

Teorema de comparación de Grothendieck

Si X es suave, hay un mapa de comparación natural. ${\ Displaystyle Y = \ operatorname {Spec} \ mathbb {C},}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {X / \ mathbb {C}} ^ {r} (X) \ to \ Omega _ {X ^ {\ text {an}}} ^ {r} (X ^ {\ text {an }})}$

entre el Kähler (es decir, algebraica) formas diferenciales en X y el liso (es decir, tienen derivadas de todos los órdenes) formas diferenciales sobre , el complejo de múltiples asociado a X . Este mapa no tiene por qué ser un isomorfismo. Sin embargo, cuando X es una variedad afín, el mapa inducido ${\ Displaystyle X ^ {\ text {an}}}$

${\ Displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {r} (X / \ mathbb {C}) \ to H _ {\ text {dR}} ^ {r} (X ^ {\ text {an}})}$

entre la cohomología algebraica y suave de Rham es un isomorfismo, como lo demostró por primera vez Grothendieck (1966a) . Para variedades suaves, pero no necesariamente afines, existe un isomorfismo que relaciona la hipercohomología algebraica del complejo de Rham con la cohomología singular. Cisinski & Déglise (2013) dieron una prueba de este resultado de comparación utilizando el concepto de cohomología de Weil . error de harvtxt: sin destino: CITEREFGrothendieck1966a ( ayuda )

Se pueden encontrar contraejemplos en el caso singular con singularidades que no son de Du Bois, como el anillo graduado con donde y . Otros contraejemplos se pueden encontrar en curvas planas algebraicas con singularidades aisladas cuyos números de Milnor y Tjurina no son iguales. ${\ Displaystyle k [x, y] / (y ^ {2} -x ^ {3})}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle \ deg (y) = 3}$${\ Displaystyle \ deg (x) = 2}$

Aplicaciones

Divisor canónico

Si X es una variedad lisa sobre un campo k , a continuación, es un paquete del vector (es decir, un localmente libre -module) de rango igual a la dimensión de X . Esto implica, en particular, que ${\ Displaystyle \ Omega _ {X / k}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ Displaystyle \ omega _ {X / k}: = \ bigwedge ^ {\ dim X} \ Omega _ {X / k}}$

es un paquete de líneas o, de manera equivalente, un divisor . Se le conoce como el divisor canónico . El divisor canónico es, como resultado, un complejo de dualización y, por lo tanto, aparece en varios teoremas importantes de la geometría algebraica, como la dualidad de Serre o la dualidad de Verdier .

Clasificación de curvas algebraicas

El género geométrico de una variedad algebraica suave X de dimensión d sobre un campo k se define como la dimensión

${\ displaystyle g: = \ dim H ^ {0} (X, \ Omega _ {X / k} ^ {d}).}$

Para las curvas, esta definición puramente algebraica está de acuerdo con la definición topológica (para ) como el "número de identificadores" de la superficie de Riemann asociada a X . Existe una tricotomía bastante aguda de propiedades geométricas y aritméticas dependiendo del género de una curva, donde g es 0 ( curvas racionales ), 1 ( curvas elípticas ) y mayor que 1 (superficies de Riemann hiperbólicas, incluidas las curvas hiperelípticas ), respectivamente. ${\ Displaystyle k = \ mathbb {C}}$

Haz tangente y teorema de Riemann-Roch

El haz tangente de una variedad suave X es, por definición, el dual del haz cotangente . El teorema de Riemann-Roch y su generalización de gran alcance, el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , contienen como ingrediente crucial la clase de Todd del paquete tangente. ${\ Displaystyle \ Omega _ {X / k}}$

Morfismos lisos y sin ramificar

El haz de diferenciales está relacionado con varias nociones algebro-geométricas. Un morfismo de esquemas no se ramifica si y solo si es cero. Un caso especial de esta afirmación es que para un campo k , es separable sobre k iff , que también se puede leer en el cálculo anterior. ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle \ Omega _ {X / Y}}$${\ Displaystyle K: = k [t] / f}$${\ Displaystyle \ Omega _ {K / k} = 0}$

Un morfismo f de tipo finito es un morfismo suave si es plano y si es un módulo localmente libre de rango apropiado. El cálculo de arriba muestra que la proyección desde el espacio afín es suave. ${\ Displaystyle \ Omega _ {X / Y}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {R [t_ {1}, \ ldots, t_ {n}] / R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {R} ^ {n} \ to \ operatorname {Spec} (R)}$

Periodos

Los períodos son, en términos generales, integrales de ciertas formas diferenciales definidas aritméticamente. El ejemplo más simple de un período es, que surge como ${\ Displaystyle 2 \ pi i}$

${\ Displaystyle \ int _ {S ^ {1}} {\ frac {dz} {z}} = 2 \ pi i.}$

La cohomología algebraica de Rham se utiliza para construir períodos de la siguiente manera: Para una variedad algebraica X definida sobre la compatibilidad mencionada anteriormente con el cambio de base, se obtiene un isomorfismo natural. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q},}$

${\ Displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {n} (X / \ mathbb {Q}) \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {C} = H _ {\ text {dR}} ^ { n} (X \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {C} / \ mathbb {C}).}$

Por otro lado, el grupo de cohomología de la derecha es isomorfo a la cohomología de De Rham de la variedad compleja asociada a X , denotada aquí.Otro resultado clásico, el teorema de De Rham , afirma un isomorfismo del último grupo de cohomología con cohomología singular (o cohomología de gavilla ) con coeficientes complejos , que por el teorema del coeficiente universal es a su vez isomorfo a. Al componer estos isomorfismos se obtienen dos espacios vectoriales racionales que, después de tensar con con, se vuelven isomorfos. Al elegir las bases de estos subespacios racionales (también llamados celosías), el determinante de la matriz de cambio de base es un número complejo, bien definido hasta la multiplicación por un número racional. Tales números son períodos . ${\ Displaystyle X ^ {\ text {an}}}$${\ Displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {n} (X ^ {\ text {an}}).}$${\ Displaystyle H ^ {n} (X ^ {\ text {an}}, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle H ^ {n} (X ^ {\ text {an}}, \ mathbb {Q}) \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {C}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Teoría algebraica de números

En la teoría de números algebraicos , los diferenciales de Kähler pueden usarse para estudiar la ramificación en una extensión de campos de números algebraicos . Si L / K es una extensión finita con los anillos de enteros O y O respectivamente, entonces el diferente ideales δ _{L / K} , que codifica los datos de ramificación, es el aniquilador de la O -módulo Ω _{O / O} :

${\ Displaystyle \ delta _ {L / K} = \ {x \ in O: x \, dy = 0 {\ text {para todos}} y \ in O \}.}$

Nociones relacionadas

La homología de Hochschild es una teoría de homología para anillos asociativos que resulta estar estrechamente relacionada con los diferenciales de Kähler. Esto se debe al teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg, que establece que la homología de Hochschild de un álgebra de variedad suave es isomórfica al complejo de-Rham para un campo de característica . Una mejora derivada de este teorema establece que la homología de Hochschild de un álgebra graduada diferencial es isomórfica al complejo de-Rham derivado. ${\ Displaystyle HH _ {\ bullet} (R)}$${\ Displaystyle \ Omega _ {R / k} ^ {\ bullet}}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle 0}$

El complejo de Rham-Witt es, en términos muy generales, una mejora del complejo de Rham para el anillo de vectores de Witt .

Notas

Referencias

• Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2013), "Mixed Weil cohomologies", Advances in Mathematics , 230 (1): 55–130, arXiv : 0712.3291 , doi : 10.1016 / j.aim.2011.10.021

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enlaces externos

• Notas sobre la cohomología de-Rham algebraica p-ádica: proporciona muchos cálculos sobre la característica 0 como motivación
• Un hilo dedicado a la relación entre formas diferenciales algebraicas y analíticas
• Diferenciales (proyecto Stacks)