Teorema de la unicidad de Alexandrov - Alexandrov's uniqueness theorem
El teorema de unicidad de Alexandrov es un teorema de rigidez en matemáticas, que describe poliedros convexos tridimensionales en términos de las distancias entre puntos en sus superficies. Implica que los poliedros convexos con formas distintas entre sí también tienen espacios métricos distintos de distancias superficiales, y caracteriza los espacios métricos que provienen de las distancias superficiales en los poliedros. Lleva el nombre del matemático soviético Aleksandr Danilovich Aleksandrov , quien lo publicó en la década de 1940.
Declaración del teorema
La superficie de cualquier poliedro convexo en el espacio euclidiano forma un espacio métrico , en el que la distancia entre dos puntos se mide por la longitud del camino más corto de un punto al otro a lo largo de la superficie. Dentro de un único camino más corto, las distancias entre pares de puntos son iguales a las distancias entre los puntos correspondientes de un segmento de línea de la misma longitud; un camino con esta propiedad se conoce como geodésico . Esta propiedad de las superficies poliédricas, de que cada par de puntos está conectado por una geodésica, no es cierta para muchos otros espacios métricos, y cuando es verdadera, el espacio se llama espacio geodésico. El espacio geodésico formado a partir de la superficie de un poliedro se denomina desarrollo .
Se puede pensar que el poliedro está doblado a partir de una hoja de papel (una red para el poliedro) y hereda la misma geometría que el papel: para cada punto p dentro de una cara del poliedro, una vecindad abierta suficientemente pequeña de p será tienen las mismas distancias que un subconjunto del plano euclidiano . Lo mismo es cierto incluso para los puntos en los bordes del poliedro: se pueden modelar localmente como un plano euclidiano doblado a lo largo de una línea e incrustado en un espacio tridimensional, pero el pliegue no cambia la estructura de los caminos más cortos a lo largo de la superficie. . Sin embargo, los vértices del poliedro tienen una estructura de distancia diferente: la geometría local de un vértice de poliedro es la misma que la geometría local en el vértice de un cono . Cualquier cono se puede formar a partir de una hoja plana de papel a la que se le quita una cuña pegando los bordes cortados donde se quitó la cuña. El ángulo de la cuña que se eliminó se llama defecto angular del vértice; es un número positivo menor que 2 π . El defecto de un vértice poliedro se puede medir restando los ángulos de la cara en ese vértice de 2 π . Por ejemplo, en un tetraedro regular, cada ángulo de cara es π / 3, y hay tres de ellos en cada vértice, por lo que restarlos de 2 π deja un defecto de π en cada uno de los cuatro vértices. De manera similar, un cubo tiene un defecto de π / 2 en cada uno de sus ocho vértices. El teorema de Descartes sobre el defecto angular total (una forma del teorema de Gauss-Bonnet ) establece que la suma de los defectos angulares de todos los vértices es siempre exactamente 4 π . En resumen, el desarrollo de un poliedro convexo es geodésico, homeomorfo (topológicamente equivalente) a una esfera y localmente euclidiano excepto por un número finito de puntos de cono cuyo defecto angular suma 4 π .
El teorema de Alexandrov da lo contrario a esta descripción. Establece que si un espacio métrico es geodésico, homeomorfo a una esfera y localmente euclidiano excepto por un número finito de puntos de cono de defecto angular positivo sumando 4 π , entonces existe un poliedro convexo cuyo desarrollo es el espacio dado. Además, este poliedro se define de forma única a partir de la métrica: dos poliedros convexos con la misma superficie métrica deben ser congruentes entre sí como conjuntos tridimensionales.
Limitaciones
El poliedro que representa el espacio métrico dado puede estar degenerado : puede formar un polígono convexo bidimensional doblemente cubierto (un diedro ) en lugar de un poliedro completamente tridimensional. En este caso, su métrica de superficie consiste en dos copias del polígono (sus dos lados) pegadas juntas a lo largo de los bordes correspondientes.
Aunque el teorema de Alexandrov establece que existe un poliedro convexo único cuya superficie tiene una métrica determinada, también es posible que existan poliedros no convexos con la misma métrica. Un ejemplo lo da el icosaedro regular : si se eliminan cinco de sus triángulos y se reemplazan por cinco triángulos congruentes que forman una hendidura en el poliedro, la métrica de superficie resultante permanece sin cambios.
El desarrollo de cualquier poliedro se puede describir concretamente mediante una colección de polígonos bidimensionales junto con instrucciones para pegarlos a lo largo de sus bordes para formar un espacio métrico, y las condiciones del teorema de Alexandrov para los espacios descritos de esta manera se comprueban fácilmente. Sin embargo, los bordes donde se pegan dos polígonos podrían volverse planos y quedar en el interior de las caras del poliedro resultante, en lugar de convertirse en bordes de poliedro. (Para ver un ejemplo de este fenómeno, vea la ilustración de cuatro hexágonos pegados para formar un octaedro). Por lo tanto, incluso cuando el desarrollo se describe de esta manera, puede que no esté claro qué forma tiene el poliedro resultante, qué formas tienen sus caras , o incluso cuántas caras tiene. La demostración original de Alexandrov no conduce a un algoritmo para construir el poliedro (por ejemplo, dando coordenadas para sus vértices) realizando el espacio métrico dado. En 2008, Bobenko e Izmestiev proporcionaron dicho algoritmo. Su algoritmo puede aproximar las coordenadas de forma arbitraria y precisa, en tiempo pseudopolinomial .
Resultados relacionados
Uno de los primeros teoremas de existencia y unicidad de los poliedros convexos es el teorema de Cauchy , que establece que un poliedro convexo está determinado únicamente por la forma y la conectividad de sus caras. El teorema de Alexandrov refuerza esto, mostrando que incluso si se permite que las caras se doblen o pliegues, sin estirarse ni encogerse, su conectividad aún determina la forma del poliedro. A su vez, la parte de prueba de la existencia de Alexandrov de su teorema utiliza un refuerzo del teorema de Cauchy por Max Dehn a una rigidez infinitesimal .
Un resultado análogo al de Alexandrov para superficies lisas convexas: una variedad suave bidimensional cuya curvatura gaussiana total es 4 π puede representarse únicamente como la superficie de un cuerpo liso convexo en tres dimensiones. Este es un resultado de Stephan Cohn-Vossen de 1927. Aleksei Pogorelov generalizó ambos resultados, caracterizando el desarrollo de cuerpos convexos arbitrarios en tres dimensiones.
Otro resultado de Pogorelov sobre los espacios métricos geodésicos derivados de poliedros convexos es una versión del teorema de las tres geodésicas : cada poliedro convexo tiene al menos tres cuasigeodésicos cerrados simples. Estas son curvas que son líneas rectas localmente excepto cuando pasan por un vértice, donde se requiere que tengan ángulos menores que π en ambos lados de ellas.
Los desarrollos de poliedros hiperbólicos ideales se pueden caracterizar de manera similar a los poliedros convexos euclidianos: cada variedad bidimensional con geometría hiperbólica uniforme y área finita, combinatoriamente equivalente a una esfera finamente perforada, se puede realizar como la superficie de un poliedro ideal .