Síntesis de aditivos - Additive synthesis

	Ejemplo de síntesis aditiva Un sonido similar a una campana generado por la síntesis aditiva de 21 parciales inarmónicos
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La síntesis aditiva es una técnica de síntesis de sonido que crea timbre al agregar ondas sinusoidales .

A la luz de la teoría de Fourier, se puede considerar que el timbre de los instrumentos musicales consta de múltiples armónicos o inarmónicos parciales o armónicos . Cada parcial es una onda sinusoidal de diferente frecuencia y amplitud que se hincha y decae con el tiempo debido a la modulación de una envolvente ADSR o un oscilador de baja frecuencia .

La síntesis aditiva genera sonido más directamente agregando la salida de múltiples generadores de onda sinusoidal. Las implementaciones alternativas pueden utilizar tablas de ondas precalculadas o la transformada rápida de Fourier inversa .

Explicación

Los sonidos que se escuchan en la vida cotidiana no se caracterizan por una sola frecuencia . En cambio, consisten en una suma de frecuencias sinusoidales puras, cada una con una amplitud diferente . Cuando los humanos escuchan estas frecuencias simultáneamente, podemos reconocer el sonido. Esto es cierto tanto para los sonidos "no musicales" (por ejemplo, salpicaduras de agua, el susurro de las hojas, etc.) como para los "sonidos musicales" (por ejemplo, una nota de piano, el tweet de un pájaro, etc.). Este conjunto de parámetros (frecuencias, sus amplitudes relativas y cómo cambian las amplitudes relativas con el tiempo) está encapsulado por el timbre del sonido. El análisis de Fourier es la técnica que se utiliza para determinar estos parámetros de timbre exactos a partir de una señal de sonido general; a la inversa, el conjunto resultante de frecuencias y amplitudes se denomina serie de Fourier de la señal de sonido original.

En el caso de una nota musical, la frecuencia más baja de su timbre se designa como frecuencia fundamental del sonido . Por simplicidad, a menudo decimos que la nota se reproduce en esa frecuencia fundamental (por ejemplo, " C medio es 261,6 Hz"), aunque el sonido de esa nota también consta de muchas otras frecuencias. El conjunto de las frecuencias restantes se denomina sobretonos (o armónicos , si sus frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental) del sonido. En otras palabras, la frecuencia fundamental por sí sola es responsable del tono de la nota, mientras que los armónicos definen el timbre del sonido. Los sobretonos de un piano que toque C media serán bastante diferentes de los sobretonos de un violín que toque la misma nota; eso es lo que nos permite diferenciar los sonidos de los dos instrumentos. Incluso hay diferencias sutiles en el timbre entre diferentes versiones del mismo instrumento (por ejemplo, un piano vertical frente a un piano de cola ).

La síntesis aditiva tiene como objetivo explotar esta propiedad del sonido para construir el timbre desde cero. Al sumar frecuencias puras ( ondas sinusoidales ) de diferentes frecuencias y amplitudes, podemos definir con precisión el timbre del sonido que queremos crear.

Definiciones

La síntesis aditiva armónica está estrechamente relacionada con el concepto de una serie de Fourier, que es una forma de expresar una función periódica como la suma de funciones sinusoidales con frecuencias iguales a múltiplos enteros de una frecuencia fundamental común . Estos sinusoides se denominan armónicos , armónicos o, en general, parciales . En general, una serie de Fourier contiene un número infinito de componentes sinusoidales, sin límite superior a la frecuencia de las funciones sinusoidales e incluye un componente de CC (uno con frecuencia de 0 Hz ). Las frecuencias fuera del rango audible humano se pueden omitir en la síntesis aditiva. Como resultado, solo un número finito de términos sinusoidales con frecuencias que se encuentran dentro del rango audible se modelan en síntesis aditiva.

Se dice que una forma de onda o función es periódica si

${\ Displaystyle y (t) = y (t + P)}$

para todos y durante algún tiempo . ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle P}$

La serie de Fourier de una función periódica se expresa matemáticamente como:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} y (t) & = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {k} \ cos (2 \ pi kf_ {0} t) -b_ {k} \ sin (2 \ pi kf_ {0} t) \ right] \\ & = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} r_ {k} \ cos \ left (2 \ pi kf_ {0} t + \ phi _ {k} \ right) \\\ end {alineado}}}$

donde

• ${\ Displaystyle f_ {0} = 1 / P}$es la frecuencia fundamental de la forma de onda y es igual al recíproco del período,
• ${\ Displaystyle a_ {k} = r_ {k} \ cos (\ phi _ {k}) = 2f_ {0} \ int _ {0} ^ {P} y (t) \ cos (2 \ pi kf_ {0 } t) \, dt, \ quad k \ geq 0}$
• ${\ Displaystyle b_ {k} = r_ {k} \ sin (\ phi _ {k}) = - 2f_ {0} \ int _ {0} ^ {P} y (t) \ sin (2 \ pi kf_ { 0} t) \, dt, \ quad k \ geq 1}$
• ${\ Displaystyle r_ {k} = {\ sqrt {a_ {k} ^ {2} + b_ {k} ^ {2}}}}$es la amplitud del th armónico,${\ Displaystyle k}$
• ${\ Displaystyle \ phi _ {k} = \ operatorname {atan2} (b_ {k}, a_ {k})}$es el desplazamiento de fase del th armónico. atan2 es la función arcoangente de cuatro cuadrantes ,${\ Displaystyle k}$

Al ser inaudible, el componente de CC , y todos los componentes con frecuencias superiores a algún límite finito , se omiten en las siguientes expresiones de síntesis aditiva. ${\ Displaystyle a_ {0} / 2}$${\ Displaystyle Kf_ {0}}$

Forma armónica

La síntesis aditiva armónica más simple se puede expresar matemáticamente como:

${\ Displaystyle y (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {K} r_ {k} \ cos \ left (2 \ pi kf_ {0} t + \ phi _ {k} \ right),}$

( 1 )

donde es la salida de síntesis, , , y son la amplitud, la frecuencia y el desplazamiento, respectivamente, de la fase ésimo armónico parcial de un total de parciales armónicos, y es la frecuencia fundamental de la forma de onda y la frecuencia de la nota musical . ${\ Displaystyle y (t)}$${\ Displaystyle r_ {k}}$${\ displaystyle kf_ {0}}$${\ Displaystyle \ phi _ {k}}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle f_ {0}}$

Amplitudes dependientes del tiempo

Ejemplo de síntesis aditiva armónica en la que cada armónico tiene una amplitud dependiente del tiempo. La frecuencia fundamental es 440 Hz. ¿Problemas para escuchar este archivo? Ver ayuda de medios

De manera más general, la amplitud de cada armónico se puede prescribir en función del tiempo , en cuyo caso la salida de síntesis es ${\ Displaystyle r_ {k} (t)}$

${\ Displaystyle y (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {K} r_ {k} (t) \ cos \ left (2 \ pi kf_ {0} t + \ phi _ {k} \ right)}$.

( 2 )

Cada envolvente debe variar lentamente en relación con la separación de frecuencias entre sinusoides adyacentes. El ancho de banda de debería ser significativamente menor que . ${\ Displaystyle r_ {k} (t) \,}$${\ Displaystyle r_ {k} (t)}$${\ Displaystyle f_ {0}}$

Forma inarmónica

La síntesis aditiva también puede producir sonidos inarmónicos (que son formas de onda aperiódicas ) en los que los armónicos individuales no necesitan tener frecuencias que sean múltiplos enteros de alguna frecuencia fundamental común. Mientras que muchos instrumentos musicales convencionales tienen parciales armónicos (por ejemplo, un oboe ), algunos tienen parciales inarmónicos (por ejemplo, campanas ). La síntesis de aditivos inarmónicos se puede describir como

${\ Displaystyle y (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {K} r_ {k} (t) \ cos \ left (2 \ pi f_ {k} t + \ phi _ {k} \ right), }$

donde es la frecuencia constante del parcial. ${\ Displaystyle f_ {k}}$${\ Displaystyle k}$

Ejemplo de síntesis aditiva inarmónica en la que tanto la amplitud como la frecuencia de cada parcial dependen del tiempo. ¿Problemas para escuchar este archivo? Ver ayuda de medios

Frecuencias dependientes del tiempo

En el caso general, la frecuencia instantánea de una sinusoide es la derivada (con respecto al tiempo) del argumento de la función seno o coseno. Si esta frecuencia se representa en hercios , en lugar de en forma de frecuencia angular , entonces esta derivada se divide por . Este es el caso si el parcial es armónico o inarmónico y si su frecuencia es constante o variable en el tiempo. ${\ Displaystyle 2 \ pi}$

En la forma más general, la frecuencia de cada parcial no armónico es una función no negativa del tiempo , lo que produce ${\ Displaystyle f_ {k} (t)}$

${\ Displaystyle y (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {K} r_ {k} (t) \ cos \ left (2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} f_ {k} ( u) \ du + \ phi _ {k} \ right).}$

( 3 )

Definiciones más amplias

En términos más generales, la síntesis aditiva puede significar técnicas de síntesis de sonido que suman elementos simples para crear timbres más complejos, incluso cuando los elementos no son ondas sinusoidales. Por ejemplo, F. Richard Moore enumeró la síntesis aditiva como una de las "cuatro categorías básicas" de síntesis de sonido junto con la síntesis sustractiva , la síntesis no lineal y el modelado físico . En este sentido amplio, los órganos de tubos , que también tienen tubos que producen formas de onda no sinusoidales, pueden considerarse como una variante de sintetizadores aditivos. La suma de componentes principales y funciones de Walsh también se han clasificado como síntesis aditiva.

Métodos de implementación

Las implementaciones modernas de síntesis aditiva son principalmente digitales. (Consulte la sección Ecuaciones de tiempo discreto para conocer la teoría de tiempo discreto subyacente)

Síntesis de banco de osciladores

La síntesis aditiva se puede implementar utilizando un banco de osciladores sinusoidales, uno para cada parcial.

Síntesis de tabla de ondas

En el caso de tonos musicales armónicos, cuasi-periódicos, la síntesis de tabla de ondas puede ser tan general como la síntesis aditiva variable en el tiempo, pero requiere menos cálculos durante la síntesis. Como resultado, se puede lograr una implementación eficiente de la síntesis aditiva variable en el tiempo de tonos armónicos mediante el uso de la síntesis de tabla de ondas .

Síntesis aditiva grupal

La síntesis aditiva de grupo es un método para agrupar parciales en grupos armónicos (que tienen diferentes frecuencias fundamentales) y sintetizar cada grupo por separado con síntesis de tabla de ondas antes de mezclar los resultados.

Síntesis FFT inversa

Se puede usar una transformada rápida de Fourier inversa para sintetizar de manera eficiente frecuencias que dividan uniformemente el período de transformación o "trama". Mediante una cuidadosa consideración de la representación en el dominio de la frecuencia de DFT , también es posible sintetizar de manera eficiente sinusoides de frecuencias arbitrarias utilizando una serie de tramas superpuestas y la transformada rápida de Fourier inversa .

Análisis de aditivos / resíntesis

Es posible analizar los componentes de frecuencia de un sonido grabado dando una representación de "suma de sinusoides". Esta representación se puede volver a sintetizar mediante síntesis aditiva. Un método para descomponer un sonido en parciales sinusoidales variables en el tiempo es el análisis McAulay- Quatieri basado en la transformada de Fourier de corta duración (STFT) .

Modificando la representación de la suma de sinusoides, se pueden realizar alteraciones tímbricas antes de la resíntesis. Por ejemplo, un sonido armónico podría reestructurarse para que suene inarmónico y viceversa. La hibridación de sonido o "morphing" se ha implementado mediante resíntesis aditiva.

El análisis / resíntesis aditivo se ha empleado en una serie de técnicas que incluyen el modelado sinusoidal, la síntesis de modelado espectral (SMS) y el modelo de sonido aditivo mejorado con ancho de banda reasignado. El software que implementa el análisis / resíntesis aditivo incluye: SPEAR, LEMUR, LORIS, SMSTools, ARSS.

Productos

New England Digital Synclavier tenía una función de resíntesis donde las muestras se podían analizar y convertir en "marcos de timbre" que eran parte de su motor de síntesis aditiva. Technos acxel , lanzado en 1987, utilizó el modelo de análisis / resíntesis aditivo, en una implementación FFT .

También un sintetizador vocal, Vocaloid se ha implementado sobre la base del análisis aditivo / resíntesis: su modelo de voz espectral llamado Excitation plus Resonances (EpR) se extiende en base a Spectral Modeling Synthesis (SMS), y su síntesis concatenativa de difonos se procesa usando espectral técnica de procesamiento de picos (SPP) similar al codificador de voz de fase modificada (un codificador de voz de fase mejorado para el procesamiento de formantes). Usando estas técnicas, los componentes espectrales ( formantes ) que consisten en parciales puramente armónicos se pueden transformar apropiadamente en la forma deseada para el modelado de sonido, y la secuencia de muestras cortas ( difonos o fonemas ) que constituyen la frase deseada, se puede conectar sin problemas interpolando parciales emparejados y picos de formantes. , respectivamente, en la región de transición insertada entre diferentes muestras. (Ver también Timbres dinámicos )

Aplicaciones

Instrumentos musicales

La síntesis aditiva se utiliza en instrumentos musicales electrónicos. Es la principal técnica de generación de sonido utilizada por los órganos de Eminent .

Síntesis de voz

En la investigación lingüística , la síntesis aditiva armónica se utilizó en la década de 1950 para reproducir espectrogramas de voz modificados y sintéticos.

Más tarde, a principios de la década de 1980, se llevaron a cabo pruebas de audición en el habla sintética despojada de señales acústicas para evaluar su importancia. Las frecuencias de los formantes variables en el tiempo y las amplitudes derivadas de la codificación predictiva lineal se sintetizaron de forma aditiva como silbidos de tono puro. Este método se llama síntesis de ondas sinusoidales . También se sabe que el modelado sinusoidal compuesto (CSM) utilizado en una función de síntesis de voz cantada en Yamaha CX5M (1984) utiliza un enfoque similar que se desarrolló de forma independiente durante 1966-1979. Estos métodos se caracterizan por la extracción y recomposición de un conjunto de picos espectrales significativos correspondientes a los diversos modos de resonancia ocurridos en la cavidad oral y la cavidad nasal, desde el punto de vista de la acústica . Este principio también se utilizó en un método de síntesis de modelado físico , llamado síntesis modal .

Historia

El análisis armónico fue descubierto por Joseph Fourier , quien publicó un extenso tratado de su investigación en el contexto de la transferencia de calor en 1822. La teoría encontró una aplicación temprana en la predicción de mareas . Alrededor de 1876, William Thomson (más tarde ennoblecido como Lord Kelvin ) construyó un predictor mecánico de mareas . Consistía en un analizador de armónicos y un sintetizador de armónicos , como ya se llamaban en el siglo XIX. El análisis de las medidas de las mareas se realizó utilizando la máquina integradora de James Thomson . Los coeficientes de Fourier resultantes se introdujeron en el sintetizador, que luego utilizó un sistema de cables y poleas para generar y sumar parciales sinusoidales armónicos para la predicción de mareas futuras. En 1910, se construyó una máquina similar para el análisis de formas de onda periódicas de sonido. El sintetizador dibujó un gráfico de la forma de onda combinada, que se utilizó principalmente para la validación visual del análisis.

Georg Ohm aplicó la teoría de Fourier al sonido en 1843. La línea de trabajo fue muy avanzada por Hermann von Helmholtz , quien publicó sus ocho años de investigación en 1863. Helmholtz creía que la percepción psicológica del color del tono está sujeta al aprendizaje, mientras que la audición en el sentido sensorial es puramente fisiológico. Apoyó la idea de que la percepción del sonido se deriva de las señales de las células nerviosas de la membrana basilar y que los apéndices elásticos de estas células vibran simpáticamente mediante tonos sinusoidales puros de frecuencias apropiadas. Helmholtz estuvo de acuerdo con el hallazgo de Ernst Chladni en 1787 de que ciertas fuentes de sonido tienen modos de vibración inarmónicos.

En la época de Helmholtz, la amplificación electrónica no estaba disponible. Para la síntesis de tonos con parciales armónicos, Helmholtz construyó una matriz excitada eléctricamente de diapasones y cámaras de resonancia acústica que permitían el ajuste de las amplitudes de los parciales. Construidos al menos en 1862, estos a su vez fueron refinados por Rudolph Koenig , quien demostró su propia configuración en 1872. Para la síntesis armónica, Koenig también construyó un gran aparato basado en su sirena de ondas . Era neumático y utilizaba ruedas de tono recortadas , y fue criticado por la baja pureza de sus tonos parciales. Además, los tubos tibiales de los órganos tubulares tienen formas de onda casi sinusoidales y pueden combinarse en forma de síntesis aditiva.

En 1938, con evidencia nueva significativa, se informó en las páginas de Popular Science Monthly que las cuerdas vocales humanas funcionan como una sirena de fuego para producir un tono rico en armónicos, que luego es filtrado por el tracto vocal para producir diferentes tonos de vocales. . Para entonces, el órgano de Hammond aditivo ya estaba en el mercado. La mayoría de los primeros fabricantes de órganos electrónicos pensaron que era demasiado caro fabricar la pluralidad de osciladores requeridos por los órganos aditivos y, en cambio, comenzaron a construir otros sustractivos . En una reunión del Instituto de Ingenieros de Radio de 1940 , el ingeniero jefe de campo de Hammond explicó que el nuevo Novachord de la compañía tiene un "sistema sustractivo" en contraste con el órgano original de Hammond en el que "los tonos finales se construyeron combinando ondas sonoras" . Alan Douglas usó los calificadores aditivo y sustractivo para describir diferentes tipos de órganos electrónicos en un artículo de 1948 presentado a la Royal Musical Association . La redacción contemporánea síntesis aditiva y síntesis sustractiva se puede encontrar en su libro de 1957 La producción eléctrica de la música , en el que enumera categóricamente tres métodos de formación de tonos-colores musicales, en secciones tituladas Síntesis aditiva , Síntesis sustractiva y Otras formas de combinaciones. .

Un sintetizador aditivo moderno típico produce su salida como una señal eléctrica , analógica o como audio digital , como en el caso de los sintetizadores de software , que se hicieron populares alrededor del año 2000.

Cronología

La siguiente es una línea de tiempo de sintetizadores y dispositivos analógicos y digitales histórica y tecnológicamente notables que implementan la síntesis aditiva.

Implementación o publicación de investigaciones	Comercialmente disponible	Empresa o institución	Sintetizador o dispositivo de síntesis	Descripción	Muestras de audio
1900	1906	Compañía de Música Eléctrica de Nueva Inglaterra	Telharmonium	El primer sintetizador de música polifónico sensible al tacto. Implementación de síntesis aditiva sinuosoidal utilizando ruedas de tono y alternadores . Inventado por Thaddeus Cahill .	no hay grabaciones conocidas
1933	1935	Compañía de órganos de Hammond	Órgano de Hammond	Un sintetizador aditivo electrónico que tuvo más éxito comercial que Telharmonium. Implementación de síntesis aditiva sinusoidal usando ruedas de tono y pastillas magnéticas . Inventado por Laurens Hammond .	Modelo A  ( ayuda · info )
1950 o antes		Laboratorios Haskins	Reproducción de patrones	Un sistema de síntesis de voz que controlaba las amplitudes de los parciales armónicos mediante un espectrograma dibujado a mano o como resultado de un análisis. Los parciales fueron generados por una rueda de tono óptica multipista .	muestras
1958			ANS	Un sintetizador aditivo que reproducía partituras similares a un espectrograma microtonal utilizando múltiples ruedas de tono ópticas multipista . Inventado por Evgeny Murzin . Un instrumento similar que utilizaba osciladores electrónicos, el Banco Oscilador , y su dispositivo de entrada, el espectrograma, fueron realizados por Hugh Le Caine en 1959.	Modelo 1964  ( ayuda · info )
1963		MIT		Un sistema fuera de línea para el análisis espectral digital y la resíntesis de las porciones de ataque y de estado estable de los timbres de instrumentos musicales de David Luce.
1964		Universidad de Illinois	Generador de tonos armónicos	Un sistema electrónico de síntesis de aditivos armónicos inventado por James Beauchamp.	muestras ( info )
1974 o antes	1974	RMI	Sintetizador de armónicos	El primer producto sintetizador que implementó síntesis aditiva usando osciladores digitales. El sintetizador también tenía un filtro analógico variable en el tiempo. RMI era una subsidiaria de Allen Organ Company , que había lanzado el primer órgano eclesiástico digital comercial , el Allen Computer Organ , en 1971, utilizando tecnología digital desarrollada por North American Rockwell .	1 2 3 4
1974		EMS (Londres)	Banco de oscilador digital	Un banco de osciladores digitales con formas de onda arbitrarias, controles individuales de frecuencia y amplitud, diseñado para su uso en análisis-resíntesis con el banco de filtros de análisis digital (AFB) también construido en EMS. También conocido como: DOB .	en El nuevo sonido de la música
1976	1976	Fairlight	Qasar M8	Un sintetizador totalmente digital que utilizó la transformada rápida de Fourier para crear muestras a partir de envolventes de amplitud de armónicos dibujadas de forma interactiva.	muestras
1977		Laboratorios Bell	Sintetizador digital	Un sintetizador aditivo digital en tiempo real que ha sido llamado el primer sintetizador digital verdadero. También conocido como: Alles Machine , Alice .	muestra ( info )
1979	1979	Nueva Inglaterra Digital	Synclavier II	Un sintetizador digital comercial que permitió el desarrollo del timbre a lo largo del tiempo mediante fundidos cruzados suaves entre formas de onda generadas por síntesis aditiva.	Jon Appleton - Sashasonjon  ( ayuda · info )

Ecuaciones de tiempo discreto

En las implementaciones digitales de síntesis aditiva, se utilizan ecuaciones de tiempo discreto en lugar de las ecuaciones de síntesis de tiempo continuo. Una convención de notación para señales de tiempo discreto usa corchetes, es decir, y el argumento solo puede ser valores enteros. Si se espera que la salida de síntesis en tiempo continuo sea ​​suficientemente limitada en banda ; por debajo de la mitad de la frecuencia de muestreo o , basta con muestrear directamente la expresión de tiempo continuo para obtener la ecuación de síntesis discreta. La salida de síntesis continua se puede reconstruir posteriormente a partir de las muestras utilizando un convertidor de digital a analógico . El período de muestreo es . ${\ Displaystyle y [n] \,}$${\ Displaystyle n \,}$${\ Displaystyle y (t) \,}$${\ Displaystyle f _ {\ mathrm {s}} / 2 \,}$${\ Displaystyle T = 1 / f _ {\ mathrm {s}} \,}$

Comenzando con ( 3 ),

${\ Displaystyle y (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {K} r_ {k} (t) \ cos \ left (2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} f_ {k} ( u) \ du + \ phi _ {k} \ right)}$

y el muestreo en momentos discretos da como resultado ${\ Displaystyle t = nT = n / f _ {\ mathrm {s}} \,}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} y [n] & = y (nT) = \ sum _ {k = 1} ^ {K} r_ {k} (nT) \ cos \ left (2 \ pi \ int _ {0} ^ {nT} f_ {k} (u) \ du + \ phi _ {k} \ right) \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {K} r_ {k} (nT) \ cos \ left (2 \ pi \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ int _ {(i-1) T} ^ {iT} f_ {k} (u) \ du + \ phi _ {k} \ right ) \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {K} r_ {k} (nT) \ cos \ left (2 \ pi \ sum _ {i = 1} ^ {n} (Tf_ {k} [ i]) + \ phi _ {k} \ right) \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {K} r_ {k} [n] \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} { f _ {\ mathrm {s}}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f_ {k} [i] + \ phi _ {k} \ right) \\\ end {alineado}}}$

donde

${\ Displaystyle r_ {k} [n] = r_ {k} (nT) \,}$ es la envolvente de amplitud variable en tiempo discreto

${\ Displaystyle f_ {k} [n] = {\ frac {1} {T}} \ int _ {(n-1) T} ^ {nT} f_ {k} (t) \ dt \,}$es la frecuencia instantánea de diferencia hacia atrás en tiempo discreto .

Esto es equivalente a

${\ Displaystyle y [n] = \ sum _ {k = 1} ^ {K} r_ {k} [n] \ cos \ left (\ theta _ {k} [n] \ right)}$

donde

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ theta _ {k} [n] & = {\ frac {2 \ pi} {f _ {\ mathrm {s}}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n } f_ {k} [i] + \ phi _ {k} \\ & = \ theta _ {k} [n-1] + {\ frac {2 \ pi} {f _ {\ mathrm {s}}}} f_ {k} [n] \\\ end {alineado}}}$ para todos ${\ Displaystyle n> 0 \,}$

y

${\ Displaystyle \ theta _ {k} [0] = \ phi _ {k}. \,}$

Ver también

• Síntesis de modulación de frecuencia
• Síntesis sustractiva
• Síntesis de voz
• Serie armónica (música)

Referencias

enlaces externos

• Sinergia de teclados digitales