12 temperamento igual - 12 equal temperament

Escala cromática de 12 tonos de temperamento igual en C, una octava completa ascendente, anotada solo con sostenidos. Juega ascendente y descendente ( ayuda · info ) 

El temperamento igual de doce tonos es el sistema musical que divide la octava en 12 partes, todas ellas igualmente templadas (igualmente espaciadas) en una escala logarítmica , con una proporción igual a la raíz 12 de 2 ( ¹² √ 2 ≈ 1.05946). Ese intervalo más pequeño resultante, 1 ⁄ 12 del ancho de una octava, se llama semitono o semitono .

El temperamento igual de doce tonos es el sistema más extendido en la música actual. Ha sido el sistema de afinación predominante de la música occidental, comenzando con la música clásica , desde el siglo XVIII, y Europa utilizó casi exclusivamente aproximaciones de la misma durante milenios antes de eso. También se ha utilizado en otras culturas.

En los tiempos modernos, 12-TET generalmente se afina en relación con un tono estándar de 440 Hz, llamado A440 , lo que significa que una nota, A , está afinada a 440 hercios y todas las demás notas se definen como un múltiplo de semitonos aparte de él, ya sea más alto o menor en frecuencia . El tono estándar no siempre ha sido de 440 Hz. Ha variado y, en general, ha aumentado durante los últimos cientos de años.

Historia

Las dos figuras a las que con frecuencia se atribuye el logro del cálculo exacto del temperamento igual de doce tonos son Zhu Zaiyu (también romanizado como Chu-Tsaiyu. Chino:朱 載 堉) en 1584 y Simon Stevin en 1585. Según Fritz A. Kuttner, un crítico de la teoría, se sabe que "Chu-Tsaiyu presentó un método muy preciso, simple e ingenioso para el cálculo aritmético de mono-acordes de temperamento igual en 1584" y que "Simon Stevin ofreció una definición matemática de temperamento igual más un cálculo preciso de los valores numéricos correspondientes en 1585 o posterior ". Los desarrollos ocurrieron de forma independiente.

Kenneth Robinson atribuye la invención del temperamento igual a Zhu Zaiyu y proporciona citas textuales como evidencia. Se cita a Zhu Zaiyu diciendo que, en un texto que data de 1584, "He fundado un nuevo sistema. Establezco un pie como el número del cual se extraerán los otros, y usando proporciones los extraigo. encontrar las cifras exactas de los lanzadores de tono en doce operaciones ". Kuttner no está de acuerdo y comenta que su afirmación "no puede considerarse correcta sin calificaciones importantes". Kuttner propone que ni Zhu Zaiyu ni Simon Stevin lograron el mismo temperamento y que ninguno de los dos debería ser tratado como inventores.

porcelana

Historia temprana

Un juego completo de campanas de bronce, entre muchos instrumentos musicales encontrados en la tumba del marqués Yi de Zeng (primeros Estados en Guerra, c. Siglo V a. C. en la Edad del Bronce de China), cubre cinco octavas completas de 7 notas en la clave de Do mayor, que incluye semitonos de 12 notas en el medio del rango.

He Chengtian  [ ru ] , un matemático de las dinastías del Sur y del Norte que vivió entre 370 y 447, describió una aproximación para el temperamento igual . Salió con la secuencia numérica aproximada más antigua registrada en relación con el temperamento igual en la historia: 900849802758715677 638601570536509,5 479450.

Zhu Zaiyu

El príncipe Zhu Zaiyu construyó un instrumento de afinación de temperamento igual de 12 cuerdas, vista frontal y posterior

Zhu Zaiyu (朱 載 堉), un príncipe de la corte Ming , pasó treinta años investigando sobre la base de la idea de temperamento igual postulado originalmente por su padre. Describió su nueva teoría del tono en su Fusion of Music and Calendar 律 暦 融通publicado en 1580. A esto le siguió la publicación de un relato detallado de la nueva teoría del temperamento igual con una especificación numérica precisa para 12-TET en sus 5000 -página Compendio completo de música y tono ( Yuelü quan shu 樂 律 全書) en 1584. Joseph Needham también ofrece un relato ampliado. Zhu obtuvo su resultado matemáticamente dividiendo la longitud de la cuerda y la tubería sucesivamente por ¹² √ 2 ≈ 1.059463, y la longitud de la tubería por ²⁴ √ 2 , de modo que después de doce divisiones (una octava) la longitud se dividió por un factor de 2:

${\ Displaystyle \ left ({\ sqrt [{12}] {2}} \ right) ^ {12} = 2}$

De manera similar, después de 84 divisiones (7 octavas), la longitud se dividió por un factor de 128:

${\ Displaystyle \ left ({\ sqrt [{12}] {2}} \ right) ^ {84} = 2 ^ {7} = 128}$

Zhu Zaiyu ha sido acreditado como la primera persona en resolver matemáticamente el problema de temperamento igual. Al menos un investigador ha propuesto que Matteo Ricci , un jesuita en China, registró este trabajo en su diario personal y pudo haberlo transmitido a Europa. (Los recursos estándar sobre el tema no mencionan tal transferencia.) En 1620, un matemático europeo hizo referencia al trabajo de Zhu. Murray Barbour dijo: "La primera aparición conocida impresa de las cifras correctas para un temperamento igual fue en China, donde la brillante solución del príncipe Tsaiyü sigue siendo un enigma". El físico alemán del siglo XIX Hermann von Helmholtz escribió en Sobre las sensaciones del tono que un príncipe chino (ver más abajo) introdujo una escala de siete notas y que la división de la octava en doce semitonos se descubrió en China.

Tubos de tono de temperamento igual de Zhu Zaiyu

Zhu Zaiyu ilustró su teoría de temperamento igual mediante la construcción de un conjunto de 36 tubos de afinación de bambú que varían en 3 octavas, con instrucciones sobre el tipo de bambú, el color de la pintura y especificaciones detalladas sobre su longitud y diámetros interior y exterior. También construyó un instrumento de afinación de 12 cuerdas, con un conjunto de tubos de afinación ocultos dentro de su cavidad inferior. En 1890, Victor-Charles Mahillon , curador del Museo Conservatorio de Bruselas, duplicó un juego de tubos de tono de acuerdo con la especificación de Zhu Zaiyu. Dijo que la teoría china de los tonos sabía más sobre la longitud de los tubos de tono que su contraparte occidental, y que el conjunto de tubos duplicados según los datos de Zaiyu demostraba la precisión de esta teoría.

Europa

Van de Spiegheling der singconst de Simon Stevin c. 1605.

Historia temprana

Una de las primeras discusiones sobre la igualdad de temperamento ocurre en los escritos de Aristoxenus en el siglo IV a. C.

Vincenzo Galilei (padre de Galileo Galilei ) fue uno de los primeros defensores prácticos de la igualdad de temperamento de doce tonos. Compuso un conjunto de suites de danza sobre cada una de las 12 notas de la escala cromática en todas las "claves de transposición", y publicó también, en su " Fronimo " de 1584 , 24 + 1 ricercars . Usó la proporción de 18:17 para tocar el laúd (aunque fue necesario algún ajuste para las octavas puras).

El compatriota y compañero laudista de Galilei, Giacomo Gorzanis, había escrito música basada en el mismo temperamento en 1567. Gorzanis no fue el único laudista que exploró todos los modos o claves: Francesco Spinacino escribió una "Recercare de tutti li Toni" ( Ricercar en todos los tonos) tan temprano como 1507. En el siglo XVII, el laudista y compositor John Wilson escribió un conjunto de 30 preludios, incluidos 24 en todas las tonalidades mayores y menores. Henricus Grammateus hizo una aproximación cercana al temperamento igual en 1518. Las primeras reglas de afinación en temperamento igual fueron dadas por Giovani Maria Lanfranco en su "Scintille de musica". Zarlino en su polémica con Galilei inicialmente se opuso a la igualdad de temperamento, pero finalmente lo concedió en relación con el laúd en su Sopplimenti musicali en 1588.

Simon Stevin

La primera mención de temperamento igual relacionada con la raíz duodécima de dos en Occidente apareció en el manuscrito de Simon Stevin Van De Spiegheling der singconst (ca. 1605), publicado póstumamente casi tres siglos después en 1884. Sin embargo, debido a la insuficiente precisión de En su cálculo, muchos de los números de longitud de cuerda que obtuvo estaban desviados en una o dos unidades de los valores correctos. Como resultado, las relaciones de frecuencia de los acordes de Simon Stevin no tienen una relación unificada, sino una relación por tono, que Gene Cho afirma que es incorrecta.

Los siguientes fueron los acordes de Simon Stevin de Van de Spiegheling der singconst :

Una generación más tarde, el matemático francés Marin Mersenne presentó varios acordes de igual temperamento obtenidos por Jean Beaugrand, Ismael Bouillaud y Jean Galle.

En 1630, Johann Faulhaber publicó una tabla de monocordios de 100 centavos, que contenía varios errores debido a su uso de tablas logarítmicas. No explicó cómo obtuvo sus resultados.

Época barroca

Desde 1450 hasta aproximadamente 1800, los intérpretes de instrumentos punteados (laudistas y guitarristas) generalmente favorecieron el temperamento igual, y el manuscrito para laúd de Brossard compilado en el último cuarto del siglo XVII contiene una serie de 18 preludios atribuidos a Bocquet escritos en todas las tonalidades, incluido el último preludio, titulado Preludio sur tous les tons , que modula enarmónicamente a través de todas las teclas. Angelo Michele Bartolotti publicó una serie de pasacalles en todas las teclas, con la conexión de enharmonically modulación de pasajes. Entre los compositores de teclados del siglo XVII, Girolamo Frescobaldi defendía la igualdad de temperamento. Algunos teóricos, como Giuseppe Tartini , se opusieron a la adopción de un temperamento igual; sintieron que degradar la pureza de cada acorde degradaba el atractivo estético de la música, aunque Andreas Werckmeister defendió enfáticamente la igualdad de temperamento en su tratado de 1707 publicado póstumamente.

El temperamento igual de doce tonos se apoderó de una variedad de razones. Era un ajuste conveniente para el diseño de teclado existente y permitía una libertad armónica total con la carga de una impureza moderada en cada intervalo, en particular consonancias imperfectas. Esto permitió una mayor expresión a través de la modulación enarmónica , que se volvió extremadamente importante en el siglo XVIII en la música de compositores como Francesco Geminiani , Wilhelm Friedemann Bach , Carl Philipp Emmanuel Bach y Johann Gottfried Müthel . El temperamento igual de doce tonos tenía algunas desventajas, como tercios imperfectos, pero cuando Europa cambió a un temperamento igual, cambió la música que escribía para adaptarse al sistema y minimizar la disonancia.

El progreso del temperamento igual desde mediados del siglo XVIII en adelante se describe con detalle en bastantes publicaciones académicas modernas: ya era el temperamento elegido durante la era clásica (segunda mitad del siglo XVIII), y se convirtió en estándar durante el siglo XVIII. Era romántica temprana (primera década del siglo XIX), a excepción de los órganos que cambiaron a ella de manera más gradual, completando solo en la segunda década del siglo XIX. (En Inglaterra, algunos organistas de la catedral y directores de coro se opusieron incluso después de esa fecha; Samuel Sebastian Wesley , por ejemplo, se opuso desde el principio. Murió en 1876).

Es posible un temperamento igual preciso utilizando el método Sabbatini del siglo XVII de dividir la octava primero en tres tercios mayores templados. Esto también fue propuesto por varios escritores durante la era clásica. En las primeras décadas del siglo XIX ya se realizaba sintonización sin ritmos de pulso pero empleando varias comprobaciones, logrando una precisión prácticamente moderna. El uso de ritmos, propuesto por primera vez en 1749, se volvió común después de su difusión por Helmholtz y Ellis en la segunda mitad del siglo XIX. La máxima precisión estaba disponible con tablas de 2 decimales publicadas por White en 1917.

Es en un entorno de temperamento igual donde se desarrollaron y florecieron los nuevos estilos de tonalidad simétrica y politonalidad , la música atonal como la escrita con la técnica de doce tonos o serialismo , y el jazz (al menos su componente de piano).

Comparación de aproximaciones históricas del semitono

Propiedades matematicas

Una octava de 12 tet en un monocordio

En el temperamento de doce tonos iguales, que divide la octava en 12 partes iguales, el ancho de un semitono , es decir, la relación de frecuencia del intervalo entre dos notas adyacentes, es la duodécima raíz de dos :

${\ Displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}} = 2 ^ {\ frac {1} {12}} \ approx 1.059463}$

Esto es equivalente a:

${\ Displaystyle e ^ {{\ frac {1} {12}} \ ln 2} \ approx 1.059463}$

Este intervalo se divide en 100 centavos .

Calcular frecuencias absolutas

Para encontrar la frecuencia, P _n , de una nota en 12-TET, se puede utilizar la siguiente definición:

${\ Displaystyle P_ {n} = P_ {a} \ left ({\ sqrt [{12}] {2}} \ right) ^ {(na)}}$

En esta fórmula, P _{n se} refiere al tono o frecuencia (generalmente en hercios ) que está tratando de encontrar. P _{a se} refiere a la frecuencia de un tono de referencia. n y una se refieren a los números asignados a la de cabeceo deseada y el tono de referencia, respectivamente. Estos dos números provienen de una lista de enteros consecutivos asignados a semitonos consecutivos. Por ejemplo, A ₄ (el tono de referencia) es la tecla 49 desde el extremo izquierdo de un piano (afinado a 440 Hz ), y C ₄ ( C central ) y F # ₄ son las teclas 40 y 46 respectivamente. Estos números se pueden usar para encontrar la frecuencia de C ₄ y F # ₄  :

${\ Displaystyle P_ {40} = 440 \ left ({\ sqrt [{12}] {2}} \ right) ^ {(40-49)} \ approx 261.626 \ \ mathrm {Hz}}$

${\ Displaystyle P_ {46} = 440 \ left ({\ sqrt [{12}] {2}} \ right) ^ {(46-49)} \ approx 369.994 \ \ mathrm {Hz}}$

Solo intervalos

Los intervalos de 12-TET se aproximan mucho a algunos intervalos en la entonación justa .

Por limite

12-TET es muy preciso en el límite 3, pero a medida que uno aumenta los límites primos a 11, empeora gradualmente en aproximadamente un sexto de semitono cada vez. Sus armónicos undécimo y decimotercero son extremadamente inexactos. Los armónicos decimoséptimo y decimonoveno de 12-TET son casi tan precisos como su tercer armónico, pero en este punto, el límite principal se ha vuelto demasiado alto para que suene consonante para la mayoría de la gente.

3 límites

12-TET tiene una muy buena aproximación de la quinta perfecta (3/2) y su inversión , la cuarta perfecta (4/3), especialmente para la división de la octava en un número relativamente pequeño de tonos. Específicamente, una quinta perfecta es un poco menos de dos centavos, que es una quincuagésima parte de un semitono, más aguda que la aproximación igualmente templada. Debido a que el tono mayor (9/8) es simplemente dos quintas perfectas menos una octava, y su inversión, la séptima menor pitagórica (16/9), es simplemente dos cuartas perfectas combinadas, en su mayor parte, conservan la precisión de sus predecesores; el error se duplica, pero sigue siendo pequeño, tan pequeño, de hecho, que los humanos no pueden percibirlo. Se pueden seguir utilizando fracciones con potencias superiores de tres, siendo las dos siguientes 27/16 y 32/27, pero a medida que los términos de las fracciones crecen, se vuelven menos agradables al oído.

Límite de 5

La aproximación de 12-TET del quinto armónico (5/4) está entre un sexto y un séptimo de semitono. Debido a que los intervalos que son menos de un cuarto de un escalón de escala aún suenan afinados, 12-TET tiene un quinto armónico afinado que se puede usar para generar otros intervalos de cinco límites, como 5/3 y 8/5, con errores de tamaño similar. La música occidental aprovecha el quinto armónico afinado, por ejemplo usándolo en la secuencia aritmética 4: 5: 6 .

7 límites

La aproximación de 12-TET del séptimo armónico (7/4) es aproximadamente un tercio de semitono. Debido a que el error es mayor que un cuarto de semitono, los intervalos de siete límites en 12-TET tienden a sonar desafinados. En las fracciones de tritono 7/5 y 10/7, los errores de los armónicos quinto y séptimo se cancelan parcialmente entre sí de modo que las fracciones justas están dentro de un cuarto de semitono de sus equivalentes igualmente templados, pero el tritono todavía suena disonante. para la mayoría de la gente.

11 y 13 límites

El undécimo armónico (11/8) es de aproximadamente 550 cents, lo que significa que cae casi exactamente entre los dos intervalos igualmente templados más cercanos en 12-TET y, por lo tanto, no se aproxima a ninguno de los dos. De hecho, 11/8 está casi tan lejos de cualquier aproximación de temperamento uniforme como sea posible en 12-TET. El decimotercer armónico (13/8) es casi tan malo. Sin embargo, esto significa que la fracción 13/11 (y también su inversión, 22/13) se aproxima con precisión por 12-TET (específicamente por tres semitonos) porque los errores de los armónicos undécimo y decimotercero se cancelan entre sí. Sin embargo, la mayoría de las personas no están acostumbradas a los armónicos undécimo y decimotercero, por lo que esta fracción no sonaría consonante para la mayoría de las personas. De manera similar, el error del undécimo o decimotercer armónico podría ser cancelado en su mayor parte por el error del séptimo armónico, pero por la misma razón que antes, la mayoría de las personas no encontrarían consonantes las fracciones resultantes.

17 y 19 límites

El decimoséptimo armónico (17/16) es solo alrededor de 5 centavos más agudo que un semitono en 12-TET. Se puede combinar con la aproximación de 12-TET del tercer armónico para producir 17/12, que es, como la siguiente aproximación de Pell después de 7/5, a solo tres centavos de distancia del tritono igualmente templado (la raíz cuadrada de dos) y 17/9, que está a solo un centavo del séptimo mayor de 12-TET. El decimonoveno armónico es solo aproximadamente dos centavos y medio más plano que tres de los semitonos de 12-TET, por lo que también se puede combinar con el tercer armónico para producir 19/12, que es aproximadamente cuatro centavos y medio más plano que uno igualmente templado. sexta menor y 19/18, que es aproximadamente seis centavos y medio más plana que un semitono. Sin embargo, debido a que 17 y 19 son bastante grandes para las proporciones de consonantes y la mayoría de las personas no están familiarizadas con los intervalos de 17 y 19 límites, los intervalos de 17 y 19 límites no son útiles para la mayoría de los propósitos, por lo que es probable que no se puedan juzgar como jugando un papel en cualquier consonancia de 12-TET.

Mesa

En la siguiente tabla, los tamaños de varios intervalos justos se comparan con sus contrapartes de temperamento igual, expresados ​​como una proporción y en centavos . La mayoría de las personas no pueden notar diferencias de menos de seis centavos, y los intervalos que son más de un cuarto de paso, que en este caso son 25 centavos, suenan desafinados.

Numero de pasos	Nota subiendo desde C	Valor exacto en 12-TET	Valor decimal en 12-TET	Audio igualmente templado	Centavos	Solo nombre del intervalo de entonación	Solo fracción de intervalo de entonación	Audio de entonación justa	Céntimos en entonación justa	Diferencia
0	C	2 0 ⁄ 12 = 1	1	jugar  ( ayuda · info )	0	Unísono	1 ⁄ 1 = 1	jugar  ( ayuda · info )	0	0
1	C ♯ o D ♭	2 1 ⁄ 12 = 12 √ 2	1.05946…	jugar  ( ayuda · info )	100	Tercer tono Septimal	28 ⁄ 27 = 1.03703…	jugar  ( ayuda · info )	62,96	-37,04
						Solo semitono cromático	25 ⁄ 24 = 1.04166…	Jugar  ( ayuda · info )	70,67	-29,33
						Semitono undecimal	22 ⁄ 21 = 1.04761…	jugar  ( ayuda · info )	80,54	-19,46
						Semitono cromático Septimal	21 ⁄ 20 = 1.04	jugar  ( ayuda · info )	84,47	-15,53
						Novendecimal semitono cromático	20 ⁄ 19 = 1.05263…	jugar  ( ayuda · info )	88,80	-11,20
						Semitono diatónico pitagórico	256 ⁄ 243 = 1.05349…	jugar  ( ayuda · info )	90,22	-9,78
						Semitono cromático más grande	135 ⁄ 128 = 1.05468…	jugar  ( ayuda · info )	92,18	-7,82
						Novendecimal semitono diatónico	19 ⁄ 18 = 1.05555…	jugar  ( ayuda · info )	93,60	-6,40
						Semitono cromático septadecimal	18 ⁄ 17 = 1.05882…	jugar  ( ayuda · info )	98,95	-1.05
						Decimoséptimo armónico	17 ⁄ 16 = 1.0625…	jugar  ( ayuda · info )	104,96	+4,96
						Solo semitono diatónico	16 ⁄ 15 = 1.06666…	jugar  ( ayuda · info )	111,73	+11,73
						Semitono cromático pitagórico	2187 ⁄ 2048 = 1.06787…	jugar  ( ayuda · info )	113,69	+13,69
						Septimal semitono diatónico	15 ⁄ 14 = 1.07142…	jugar  ( ayuda · info )	119,44	+19.44
						Tridecimal menor de 2/3 tonos	14 ⁄ 13 = 1.07692…	jugar  ( ayuda · info )	128.30	+28.30
						Semitono diatónico mayor	27 ⁄ 25 = 1.08	jugar  ( ayuda · info )	133,24	+33.24
2	D	2 2 ⁄ 12 = 6 √ 2	1,12246…	jugar  ( ayuda · info )	200	Tercio disminuido pitagórico	65536 ⁄ 59049 = 1,10985…	jugar  ( ayuda · info )	180,45	-19,55
						Tono menor	10 ⁄ 9 = 1,11111…	jugar  ( ayuda · info )	182,40	-17,60
						Tono mayor	9 ⁄ 8 = 1,125	jugar  ( ayuda · info )	203,91	+3,91
						Tono completo Septimal	8 ⁄ 7 = 1,14285…	jugar  ( ayuda · info )	231.17	+31,17
3	D ♯ o E ♭	2 3 ⁄ 12 = 4 √ 2	1.18920…	jugar  ( ayuda · info )	300	Séptima tercera menor	7 ⁄ 6 = 1,16666…	jugar  ( ayuda · info )	266,87	-33,13
						Tercio menor tridecimal	13 ⁄ 11 = 1,18181…	jugar  ( ayuda · info )	289.21	-10,79
						Tercera menor pitagórica	32 ⁄ 27 = 1,18518…	jugar  ( ayuda · info )	294,13	-5,87
						Decimonoveno armónico	19 ⁄ 16 = 1,1875	jugar  ( ayuda · info )	297,51	-2,49
						Solo un tercio menor	6 ⁄ 5 = 1,2	jugar  ( ayuda · info )	315,64	+15,64
						Segunda aumentada pitagórica	19683 ⁄ 16384 = 1,20135…	jugar  ( ayuda · info )	317.60	+17,60
4	mi	2 4 ⁄ 12 = 3 √ 2	1,25992…	jugar  ( ayuda · info )	400	Cuarta disminuida pitagórica	8192 ⁄ 6561 = 1,24859…	jugar  ( ayuda · info )	384,36	-15,64
						Solo un tercio mayor	5 ⁄ 4 = 1,25	jugar  ( ayuda · info )	386,31	-13,69
						Tercero mayor pitagórico	81 ⁄ 64 = 1.265625	jugar  ( ayuda · info )	407,82	+7,82
						Tercio mayor undecimal	14 ⁄ 11 = 1,27272…	Jugar  ( ayuda · info )	417.51	+17.51
						Séptima tercera mayor	9 ⁄ 7 = 1,28571…	jugar  ( ayuda · info )	435.08	+35.08
5	F	2 5 ⁄ 12 = 12 √ 32	1.33484…	jugar  ( ayuda · info )	500	Cuarto perfecto	4 ⁄ 3 = 1.33333…	jugar  ( ayuda · info )	498.04	-1,96
						Tercio aumentado pitagórico	177147 ⁄ 131072 = 1,35152…	jugar  ( ayuda · info )	521.51	-21,51
6	F ♯ o G ♭	2 6 ⁄ 12 = √ 2	1.41421…	jugar  ( ayuda · info )	600	Cuarta aumentada clásica	25 ⁄ 18 = 1.38888…	jugar  ( ayuda · info )	568,72	-31,28
						Tritono de Huygens	7 ⁄ 5 = 1,4	jugar  ( ayuda · info )	582.51	-17,49
						Quinta disminuida pitagórica	1024 ⁄ 729 = 1,40466…	jugar  ( ayuda · info )	588,27	-11,73
						Cuarto recién aumentado	45 ⁄ 32 = 1,40625	Jugar  ( ayuda · info )	590.22	-9,78
						Solo quinta disminuida	64 ⁄ 45 = 1,42222…	jugar  ( ayuda · info )	609,78	+9,78
						Cuarta aumentada pitagórica	729 ⁄ 512 = 1,42382…	jugar  ( ayuda · info )	611,73	+11,73
						Tritono de Euler	10 ⁄ 7 = 1,42857…	Jugar  ( ayuda · info )	617,49	+17.49
						Quinta disminuida clásica	36 ⁄ 25 = 1,44	jugar  ( ayuda · info )	631,28	+31,28
7	GRAMO	2 7 ⁄ 12 = 12 √ 128	1.49830…	jugar  ( ayuda · info )	700	Pitágoras disminuido sexto	262144 ⁄ 177147 = 1,47981…	jugar  ( ayuda · info )	678,49	-21,51
						Simplemente perfecto quinto	3 ⁄ 2 = 1,5	jugar  ( ayuda · info )	701,96	+1,96
8	G ♯ o A ♭	2 8 ⁄ 12 = 3 √ 4	1.58740…	jugar  ( ayuda · info )	800	Séptima menor sexta	14 ⁄ 9 = 1,55555…	jugar  ( ayuda · info )	764,92	-35,08
						Sexta menor undecimal	11 ⁄ 7 = 1,57142…	jugar  ( ayuda · info )	782.49	-17,51
						Sexta menor pitagórica	128 ⁄ 81 = 1,58024…	jugar  ( ayuda · info )	792.18	-7,82
						Solo sexto menor	8 ⁄ 5 = 1,6	jugar  ( ayuda · info )	813,69	+13,69
						Quinta aumentada pitagórica	6561 ⁄ 4096 = 1,60180…	jugar  ( ayuda · info )	815,64	+15,64
9	A	2 9 ⁄ 12 = 4 √ 8	1,68179…	jugar  ( ayuda · info )	900	Séptima disminuida pitagórica	32768 ⁄ 19683 = 1,66478…	jugar  ( ayuda · info )	882.40	-18,60
						Solo sexto mayor	5 ⁄ 3 = 1,66666…	jugar  ( ayuda · info )	884,36	-15,64
						Decimonoveno subarmónico	32 ⁄ 19 = 1,68421…	jugar  ( ayuda · info )	902.49	+2.49
						Sexta mayor pitagórica	27 ⁄ 16 = 1,6875	jugar  ( ayuda · info )	905,87	+5,87
						Septimal mayor sexta	12 ⁄ 7 = 1,71428…	Jugar  ( ayuda · info )	933,13	+33,13
10	A ♯ o B ♭	2 10 ⁄ 12 = 6 √ 32	1,78179…	jugar  ( ayuda · info )	1000	Séptimo armónico	7 ⁄ 4 = 1,75	jugar  ( ayuda · info )	968,83	-31,17
						Séptima menor pitagórica	16 ⁄ 9 = 1.77777…	jugar  ( ayuda · info )	996.09	-3,91
						Séptima menor grande	9 ⁄ 5 = 1.8	jugar  ( ayuda · info )	1017.60	+17,60
						Sexta aumentada pitagórica	59049 ⁄ 32768 = 1,80203…	jugar  ( ayuda · info )	1019.55	+19.55
11	B	2 11 ⁄ 12 = 12 √ 2048	1.88774…	jugar  ( ayuda · info )	1100	Séptima neutra tridecimal	13 ⁄ 7 = 1.85714…	jugar  ( ayuda · info )	1071.70	-28,30
						Octava disminuida pitagórica	4096 ⁄ 2187 = 1,87288…	jugar  ( ayuda · info )	1086,31	-13,69
						Solo séptima mayor	15 ⁄ 8 = 1.875	jugar  ( ayuda · info )	1088.27	-11,73
						Decimoséptimo subarmónico	32 ⁄ 17 = 1,88235…	jugar  ( ayuda · info )	1095.04	-4,96
						Séptima mayor pitagórica	243 ⁄ 128 = 1.89843…	jugar  ( ayuda · info )	1109.78	+9,78
						Séptima mayor séptima	27 ⁄ 14 = 1.92857…	jugar  ( ayuda · info )	1137.04	+37.04
12	C	2 12 ⁄ 12 = 2	2	jugar  ( ayuda · info )	1200	Octava	2 ⁄ 1 = 2	jugar  ( ayuda · info )	1200,00	0

Comas

12-TET templa varias comas , lo que significa que hay varias fracciones cercanas a 1 ⁄ 1 que se tratan como 1 ⁄ 1 por 12-TET debido a su mapeo de diferentes fracciones al mismo intervalo igualmente templado. Por ejemplo, 729 ⁄ 512 ( 3 ⁶ ⁄ 2 ⁹ ) y 1024 ⁄ 729 ( 2 ¹⁰ ⁄ 3 ⁶ ) se asignan cada uno al tritono, por lo que se tratan como el mismo intervalo; por lo tanto, su cociente, 531441 ⁄ 524288 ( 3 ¹² ⁄ 2 ¹⁹ ) se asigna a / se trata como unísono. Esta es la coma pitagórica , y es la única coma de 3 límites de 12-TET. Sin embargo, a medida que uno aumenta el límite principal e incluye más intervalos, aumenta el número de comas. La coma de cinco límites más importante de 12-TET es 81 ⁄ 80 ( 3 ⁴ ⁄ 2 ⁴ × 5 ¹ ), que se conoce como la coma sintónica y es el factor entre los tercios y sextos pitagóricos y sus contrapartes justas. Las otras comas de 5 límites de 12-TET incluyen:

• Schisma : 32805 ⁄ 32768 = 3 ⁸ × 5 ¹ ⁄ 2 ¹⁵ = ( 531441 ⁄ 524288 ) ¹ × ( 81 ⁄ 80 ) ⁻¹
• Diásquisma : 2048 ⁄ 2025 = 2 ¹¹ ⁄ 3 ⁴ × 5 ² = ( 531441 ⁄ 524288 ) ⁻¹ × ( 81 ⁄ 80 ) ²
• Diésis menor : 128 ⁄ 125 = 2 ⁷ ⁄ 5 ³ = ( 531441 ⁄ 524288 ) ⁻¹ × ( 81 ⁄ 80 ) ³
• Diésis mayor : 648 ⁄ 625 = 2 ³ × 3 ⁴ ⁄ 5 ⁴ = ( 531441 ⁄ 524288 ) ⁻¹ × ( 81 ⁄ 80 ) ⁴

Una de las comas de 7 límites que templa 12-TET es el kleisma septimal , que es igual a 225 ⁄ 224 , o 3 ² × 5 ² ⁄ 2 ⁵ × 7 ¹ . Las otras comas de 7 límites de 12-TET incluyen:

• Séptima semicomma : 126 ⁄ 125 = 2 ¹ × 3 ² × 7 ¹ ⁄ 5 ³ = ( 81 ⁄ 80 ) ¹ × ( 225 ⁄ 224 ) ⁻¹
• Coma de Arquitas : 64 ⁄ 63 = 2 ⁶ ⁄ 3 ² × 7 ¹ = ( 531441 ⁄ 524288 ) ⁻¹ × ( 81 ⁄ 80 ) ² × ( 225 ⁄ 224 ) ¹
• Cuarto de tono septimal : 36 ⁄ 35 = 2 ² × 3 ² ⁄ 5 ¹ × 7 ¹ = ( 531441 ⁄ 524288 ) ⁻¹ × ( 81 ⁄ 80 ) ³ × ( 225 ⁄ 224 ) ¹
• Jubilisma : 50 ⁄ 49 = 2 ¹ × 5 ² ⁄ 7 ² = ( 531441 ⁄ 524288 ) ⁻¹ × ( 81 ⁄ 80 ) ² × ( 225 ⁄ 224 ) ²

Sistemas de afinación similares

Históricamente, se han utilizado múltiples sistemas de afinación que pueden verse como ligeras variaciones de 12-TEDO, con doce notas por octava pero con alguna variación entre los tamaños de intervalo, de modo que las notas no están espaciadas por igual. Un ejemplo de esto es una escala de tres límites donde las quintas perfectas igualmente templadas de 700 centavos se reemplazan con quintas perfectas de entonación justa de 701.955 centavos. Debido a que los dos intervalos difieren en menos de 2 centavos, o 1 ⁄ 600 de octava, las dos escalas son muy similares. De hecho, los chinos desarrollaron la entonación justa de 3 límites al menos un siglo antes de que He Chengtian creara la secuencia de 12-TEDO. Asimismo, la afinación pitagórica, que fue desarrollada por los antiguos griegos, fue el sistema predominante en Europa hasta durante el Renacimiento, cuando los europeos se dieron cuenta de que los intervalos disonantes como 81 ⁄ 64 podían hacerse más consonantes templando a proporciones más simples como 5 ⁄ 4 , dando como resultado que Europa desarrolló una serie de temperamentos significados que modificaron ligeramente los tamaños de los intervalos, pero que aún podrían verse como un aproximado de 12-TEDO. Debido a la tendencia de los temperamentos de significados a concentrar el error en un quinto perfecto enarmónico, lo que lo hace muy disonante , los teóricos de la música europeos, como Andreas Werckmeister, Johann Philipp Kirnberger, Francesco Antonio Vallotti y Thomas Young, crearon varios temperamentos de pozo con el objetivo de dividir. arriba las comas para reducir la disonancia de los intervalos más afectados. Werckmeister y Kirnberger estaban insatisfechos con su primer temperamento y, por lo tanto, crearon múltiples temperamentos, los últimos temperamentos se aproximaron más al temperamento igual que los primeros. Del mismo modo, Europa en su conjunto pasó gradualmente de temperamentos buenos y malos a 12-TEDO, el sistema que todavía utiliza en la actualidad.

Subconjuntos

Si bien algunos tipos de música, como el serialismo , usan las doce notas de 12-TEDO, la mayoría de la música solo usa notas de un subconjunto particular de 12-TEDO conocido como escala. Existen muchos tipos diferentes de escalas.

El tipo de escala más popular en 12-TEDO es uno. Meantone se refiere a cualquier escala donde todas sus notas son consecutivas en el círculo de quintas. Existen escalas meantone de diferentes tamaños, y algunas escalas meantone utilizados incluyen meantone de cinco notas , siete notas meantone y nueve nota meantone . Meantone está presente en el diseño de instrumentos occidentales. Por ejemplo, las teclas de un piano y sus predecesores están estructuradas de manera que las teclas blancas forman una escala de siete notas y un tono y las teclas negras forman una escala de cinco notas. Otro ejemplo es que las guitarras y otros instrumentos de cuerda con al menos cinco cuerdas se afinan típicamente de modo que sus cuerdas abiertas formen una escala de cinco notas.

Otras escalas utilizadas en 12-TEDO incluyen la escala menor melódica ascendente , la menor armónica , la mayor armónica , la escala disminuida y la escala en .

Ver también

• Temperamento igual
• Solo entonación
• Acústica musical (la física de la música)
• Musica y matematicas
• Música microtonal
• Lista de intervalos significados
• Diatónico y cromático
• Sintonizador electrónico
• Afinación musical

Referencias

Notas al pie

Citas

Fuentes

Otras lecturas

enlaces externos

• Wiki de Xenharmonic sobre EDO contra temperamentos iguales
• Centro de la Fundación Huygens-Fokker para la música microtonal
• A.Orlandini: Acústica musical
• "Temperamento" de un suplemento a la cyclopaedia del Sr. Chambers (1753)
• Barbieri, Patrizio. Instrumentos enarmónicos y música, 1470–1900 Archivado el 15 de febrero de 2009 en la Wayback Machine . (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice
• Música fractal microtonal , Jim Kukula .
• Todas las citas existentes del siglo XVIII sobre JS Bach y el temperamento
• Dominic Eckersley: " Rosetta revisitada: el temperamento muy ordinario de Bach "
• Bien temperamentos, basados ​​en la definición de Werckmeister
• F AVORED C ARDINALITIES O F S CALES por P ETER B UCH